Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme

Utilizarea unri functii definite printr-o integrala in rezolvarea unor probleme

Fie functiile si astfel incat v(t)>u(t) ; I,J sunt intervale,Fie functia , , si .

Exemplul 1 Sa se arate ca pentru orice functie inversabila,derivabila si cu derivata continua , unde a<b si c<d avem:

(Olimpiada de matematica etapa judeteana 1985)

Solutie: Consideram functia si:

Functia F este derivabila de unde rezulta:

unde c este o constanta.

Pentru t=a avem:

Deci c= de unde de unde obtinem concluzia:

Exemplul 2: Fie o functie continua.Notand m=inf(f(x)) si M=sup(f(x)) , sa se arate ca ; 0<a<b

Solutie : Fie functia astfel incat:

Deci F este crescatoare si cum

Fie acum functia si

Deci si G este crescstoare de unde rezulta:

Exemplul 3: Fie o functie de 2 ori derivabila cu Atunci:

Solutie: Fie si

Din Teorema lui Lagrange rezulta ca exista a.i

Dar ,deci este crescatoare si cum

Apoi se considera functia : si

Iar

Deci crescatoare si

Cum deci crescatoare

Exemplul 5: Fie functie de 2 ori derivabila cu

Sa se arate ca :

Solutie: Fie si

Avem

crescatoare

Si cum crescatoare si F(b) F(a)=0

Pentru demonstrarea celeilalte inegalitati consideram functia : cu

si se dem. Analog

Exemplul 6: Fie functiile ,h continua pe intervalul iar

Notand si sa se arate ca :

Solutie: Fie functia si

Deci este crescatoare si crescatoare,de unde rezulta ca .

Pentru demonstrarea inegalitatii din dreapta se considera functia cu

Deci este descrescatoare si descrescatoare,de unde :

Exemplul 7: Daca este o functie continua descrescatoare,sa se arate ca

Solutie: Consideram functia si

Teorema de medie : continua si .Deci

Deci cum f este descrescatoare si G este descrescatoare si

Pentru cea de-a doua inegalitate se considera functia: si

Exemplul 8:Fie un interval, o functie monoton crescatoare pe I.Sa se arate ca

Solutie:Pentru x=y avem egalitate.

Fie .Considram functia: si

Deci F descrescatoare si

Pentru consideram functia si

Deci G este descrescatoare si