PROGRESII ARITMETICE - set de probleme

PROGRESII ARITMETICE

set de probleme -

Introducere

Grigore Moisil spunea : « Invǎtand matematicǎ, inveti sǎ gandesti 

Acest mic set de probleme se adreseaza tocmai acestui grup de persoane, carora le place sa gandeasca.

Lucrarea de fata este conceputa pentru a veni atat in sprijinul profesorilor de matematica, cat si a elevilor talentati si pasionati de matematica spectaculoasa a concursurilor scolare. Pentru profesorii de matematica, care predau la clasa a- X- a, aceasta va constitui un material bibliografic, un suport eficace in pregatirea activitatilor in cadrul claselor de performanta sau a cercurilor de matematica. Elevilor pasionati si dornici de performante, setul de probleme le ofera un material de studiu pentru insusirea si sistematizarea cunostintelor referitoare la progresii aritmetice, in vederea pregatirii pentru concursurile scolare.

Setul de probleme contine sapte categorii de probleme cu progresii aritmetice, problemele fiind selectate din cadrul celor date la olimpiade, adica au un grad ridicat de dificultate. Acestea sunt menite sa completeze capitolul din manualul de clasa a - X- a referitor la progresii aritmetice, in vederea aprofundarii lor. Fiecare categorie de probleme contine doua probleme rezolvate ca model si trei propuse spre rezolvare.

Prin varietatea problemelor si noutatea unor solutii, sper ca prezentul set de probleme sa constituie un instrument de lucru util in pregatirea viitoarelor concursuri de matematica.

Formule utilizate in rezolvarea problemelor :

Ø      Formula termenului general al unei progresii aritmetice :

Unde

n = nr- ul de termeni ai progresiei.

Ø      Formula pentru suma :

Ø      Formula pentru trei termeni consecutivi :

I.

Numerele a, b, c sunt in progresie aritmetica daca si numai daca numerele sunt in progresie aritmetica .

Solutie:

"" Daca a, b, c sunt in progresie aritmetica

c = 2b - a.

Notam cu :

=

=

=

Verificam daca :

= (adevarat) sunt in progresie aritmetica .

""Daca sunt in progresie aritmetica .

sau

a, b, c sunt in progresie aritmetica .

Numerele pozitive a, b, c sunt in progresie aritmetica daca si numai daca numerele sunt in progresie aritmetica .

Solutie:

"" Daca a, b, c sunt in progresie aritmetica

c = 2b - a,

Notam cu :

=

=

.

Verificam daca : , adica .

(adevarat) sunt in progresie aritmetica.

""Daca sunt in progresie aritmetica .

avem :

, .

Probleme propuse:

Daca numerele sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele x, y, z sunt in progresie aritmetica sau si reciproc .

Sa se arate ca daca numerele , in aceasta ordine, sunt in progresie aritmetica, atunci si numerele sunt in progresie aritmetica, .

Sa se arate ca daca elementele formeaza o progresie aritmetica, atunci si formeaza de asemenea o progresie aritmetica. Reciproca este valabila ?

II.

Daca sunt masurile unghiurilor unui triunghi, atunci sunt in progresie aritmetica, daca si numai daca sunt in progresie aritmetica .

Solutie:

"" Daca sunt in progresie aritmetica

. Inmultind ecuatia cu se obtine :

sunt in progresie aritmetica .

""Daca sunt in progresie aritmetica

Inmultind ecuatia cu se obtine :

sunt in progresie aritmetica .

Sa se afle triunghiurile dreptunghice care au lungimile laturilor numere intregi in progresie aritmetica .

Solutie:

Consideram lungimile laturilor triunghiului w - r, w , w + r fiind in progresie aritmetica, atunci din teorema lui Pitagora

sau w = 4r.

Lungimile laturilor sunt 3r , 4r, 5r , pentru

Probleme propuse:

Numerele sunt in progresie aritmetica, daca si numai daca sunt in progresie aritmetica .

Stiind ca lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt in progresie aritmetica, sa se determine lungimea inaltimii corespunzatoare unghiului drept al triunghiului .

Stiind ca masurile unghiurilor unui triunghi sunt , atunci sunt in progresie aritmetica daca si numai daca sunt in progresie aritmetica .

III.

Sa se arate ca radacinile ecuatiei :

sunt in progresie

aritmetica si apoi sa se rezolve ecuatia.

Solutie:

Consideram ecuatia : cu radacinile . Din relatiile lui Viète :

Obtinem conditia necesara si suficienta ca ecuatia sa aiba radacinile in progresie aritmetica. Punem :

Din relatia (1)

w - r + w + w - r = - a

Relatia (2) devine :

De asemenea relatia (3) devine : , unde :

.

In cazul nostru :

(adevarat) sunt in progresie aritmetica .

Se considera ecuatia polinomiala , cu coeficienti reali nenuli si se cere sa se stabileasca o relatie intre coeficienti astfel incat radacinile sa fie in progresie aritmetica .

Solutie:

Deoarece sunt in progresie aritmetica ele vor fi de forma:

Relatiile lui Viète :

Din relatia (1) (*)

Din (2)

+

In (4) avem :

Din (3)

Din (5) , (6)

.

Probleme propuse:

Sa se determine numerele reale a si b astfel incat ecuatia :

sa admita radacini in progresie aritmetica .

Sa se arate ca radacinile ecuatiei :

, cu sunt in progresie aritmetica .

Se considera ecuatia : , cu si . Se cere sa de determine relatia intre coeficientii acestei ecuatii astfel incat radacinile sa fie in progresie aritmetica .

IV.

Fie un sir de numere reale. Sa se arate ca acest sir formeaza o progresie aritmetica daca si numai daca pentru avem :

Solutie:

"" Presupunem ca sirul dat este o progresie aritmetica cu ratia r. Avem

, de unde :

"Daca sirul dat satisface relatia din enunt , vom arata ca :

Din ipoteza avem si : , de unde prin scadere : , sau si analog, , de unde

Fie numere reale. Sa se demonstreze ca numerele sunt in progresie aritmetica daca si numai daca :

( A. V. Mihai )

Solutie:

" Daca sunt in progresie aritmetica, adica : . Atunci egalitatea devine : (adevarat)

" Fie egalitatea data. Presupunem ca sirul nu este progresie aritmetica, atunci factorii din stanga nu sunt toti egali si aplicand inegalitatea mediilor , vom avea :

Contradictie, deci toti factorii sunt egali

Probleme propuse:

Fie un sir de numere reale nenule. Acest sir formeaza o progresie aritmetica daca si numai daca pentru avem :

( Ion Cucurezeanu )

Se dau numerele nenule in progresie aritmetica si ratia

. Sa se arate ca :

Fie o progresie aritmetica de numere reale nenule si ratie . Sa se demonstreze identitatea:

V.

Sa se determine partea intreaga a numarului , unde sunt termenii unei progresii aritmetice cu ( Laszlo Balog )

Solutie:

Obtinem :

Avem si deci

2. Sa se arate ca nici o progresie aritmetica infinita de numere naturale si ratie nenula, nu poate avea toti termenii numere prime.

Solutie:

Daca r este ratia progresiei, iar este un termen oarecare al ei, atunci . Pentru si , avem :

, de unde rezulta ca nu este prim, deoarece .

Probleme propuse:

Sa se demonstreze ca daca o progresie aritmetica contine doi termeni care sunt rationali, atunci toti termenii progresiei sunt numere rationale.

4. Sa se arate ca daca o progresie aritmetica de numere naturale contine un patrat perfect, atunci contine o infinitate de patrate perfecte.

Se considera sirul definit prin pentru . Sa se determine toate valorile lui n pentru care sunt in progresie aritmetica.

( Radu Gologan )

VI.

Se considera o progresie aritmetica si progresia geometrica , ambele cu termeni pozitivi si ; . Demonstrati ca pentru orice n.

Solutie:

Fie r ratia progresiei aritmetice si q ratia progresiei geometrice.

Daca r = 0, atunci proprietatea din enunt este banala. In caz contrar rezulta

r > 0.

Prin ipoteza si , de unde si deci

q > 1. Avem apoi : ; .

Inegalitatea echivalenta cu este adevarata conform inegalitatii lui Bernoulli.

Din nici o progresie geometrica infinita, formata din numere reale pozitive distincte, nu se poate extrage o progresie aritmetica infinita.

( Ion Cucurezeanu )

Solutie:

Demonstratia se face prin reducere la absurd. Presupunem ca ar exista o progresie geometrica infinita : cu din care putem extrage progresia aritmetica infinita : renotata pentru a fi mai usor de scris :

Avem . (1)

Daca q < 1, pentru din rezulta si din (1) rezulta , de unde q = 1 contradictie.

Daca q > 1 , cum avem deci si deci sau , iar de aici pentru , cum , rezulta , contradictie, ceea ce incheie demonstratia.

Probleme propuse:

Fie o progresie aritmetica si o progresie geometrica, ambele cu termeni pozitivi. Daca si atunci:

.

Din progresia aritmetica infinita , se poate extrage o progresie geometrica infinita, daca si numai daca .

( H. V. Vasiliev, Kvant nr. 1 / 1974 )

Se construieste sirul astfel sunt in progresie geometrica, sunt in progresie aritmetica, in progresie geometrica si asa mai departe. Sa se calculeze termenul general al sirului in functie de si n .

( Horea Banea )

VII.

O conditie necesara si suficienta ca sirul sa fie o progresie aritmetica este ca pentru orice sa avem :

, unde

Solutie:

Stim ca adica :

Fie termenii unei progresii aritmetice cu ratia r, iar

a) Calculandu -se diferenta , sa se stabileasca pentru identitatea:

b) Reciproc, daca identitatea de la a) este valabila pentru orice p si n, atunci numerele formeaza o progresie aritmetica cu ratia r.

Solutie:

a)      Avem:

. De aici gasim :

. Insumand de la pana la si tinand seama de : obtinem :

(identitatea ceruta)

b) Reciproc, daca identitatea are loc pentru orice p si n numere naturale, atunci ea este adevarata si pentru n = 1, p = 1 , cand

Pentru n = 2, p = 1 avem ; pentru n = 3, p = 1 rezulta ; pentru n n - 1, p = 1, gasim . De aici deducem , adica reprezinta o progresie aritmetica de ratie r.

Probleme propuse:

O conditie necesara si suficienta ca sirul sa fie o progresie aritmetica este ca pentru orice sa avem :

Sa se arate ca daca sirul este o progresie aritmetica cu ratia , atunci sirul este tot o progresie aritmetica. Care este ratia sa ?

Sa se arate ca exista o infinitate de perechi de numere naturale (n , k) , , astfel incat coeficientii binomiali sa fie in progresie aritmetica.

Bibliografie

C. Cosnita, F. Turtoiu, « Probleme de algebra « , editia a IV- a, Ed. Tehnica, Bucuresti 1989 ;

C. Nastasescu, C. Nita, S. Popa, « Manual de matematicǎ clasa a X- a , Ed. Didacticǎ si Pedagogicǎ, Bucuresti 1983;

Dorin Andrica, Vasile Berinde, « Concursul interjudetean de matematica 'Gr. C. Moisil ', editiile I - XX (1986 - 2005) « , Ed. Cub Press 22, 2006 ;

Eliferie Rogai, Laurentiu Modan, « 871 probleme de matematica ( Date la admiterea in Facultatea de matematica din Bucuresti ) «, vol. 1 (1947 - 1995), Ed. All ;

Gh. Andrei, I. Cucurezeanu, C. Caragea, Gh. Bordea, « Probleme de algebra pentru concursuri de admitere si olimpiade scolare «, Ed. Didacticǎ si Pedagogicǎ, Bucuresti 1993;

Nicolae Musuroia, Gheorghe Boroica, Eugen Jecan, Vasile Pop, Gheorghe Lobont, « Matematica pentru grupele de performanta «, Ed. Dacia Educational, Cluj - Napoca, 2004.