Definitii, exemple. Legatura cu H

Definitii, exemple. Legatura cu H

Definitia I.1. Fie (C,,) o coalgebra si (M,) un C-comodul la dreapta. Notam cu spatiul morfismelor de comodule de la C la M si il numim spatiul integralelor.

In particular, daca H este o k-bialgebra, k-corp comutativ, vom numi integrala la stanga a bialgebrei H, un morfism de H-comodule stangi T:Hk (unde structura de H-comodul stang a lui k este data de

Daca H este bialgebra, H are o structura de algebra duala structurii de coalgebra a lui H astfel: daca f,gH atunci fgH si (fg)(h)=f(h)g(h),oricare ar fi hH.

Definitia I.2.    TH se numeste integrala la stanga pentru bialgebra HhT h(1)T,oricare ar fi hH.

Multimea integralelor la stanga pentru H se noteaza cu .

Propozitia I.3. Cele doua moduri in care au fost definite integralele la stanga sunt echivalente.

Demonstratie

hT=h(1) T, ()hH (hT)(h)=h(1)T(h) , ()hH si hH h , ()hH si ()hH , ()hH.

Pe de alta parte, T este morfism de H-comodule stangi T IT) ()hH T(h) ()hH.

In mod analog se defineste si multimea integralelor la dreapta pentru H, notata (ele sunt de fapt integralele la stanga pentru H sau morfismele de H-comodule drepte de la H la k ).

Observatii I.4. :

i). este subspatiu vectorial al lui H.

ii). este chiar ideal al algebrei H.

Daca gH, h(gT)=(hg)T=(hg)(1)T=hgT) gT.

De asemenea h(Tg)=(hT)g=(h(1)T)g=h(1)(Tg) Tg.

Sa ne reamintim ca M este C-modul rational, unde C este o coalgebra pentru orice mM, exista doua familii finite de elemente M si C astfel incat cm= (C.

Tinand cont de acest fapt (suma idealelor stangi rationale ale lui H). Deci daca .

Vom prezenta acum cateva exemple de bialgebre , dintre care unele au integrale nenule, altele nu.

Exemple I.5.

i). Fie G un monoid, B=kG algebra monoidala, inzestrata cu structura de bialgebra si F(kG), F(g)= unde 1 este elementul identitate al monoidului.

(hF)(g)=h(g)F(g)=h(1)F(g) F e integrala la stanga.

Cum B este cocomutativa B e comutativa F este integrala la dreapta.

ii). Fie H un spatiu vectorial cu baza . Definind si obtinem o structura de algebra pe H.

Definind si obtinem o structura de coalgebra pe H. Cele doua structuri fac din H o bialgebra si H=k[[X]] (seriile de puteri in nedeterminata X). Identificand Hcu k[[X]], daca PH, <P,1> este chiar termenul liber, adica P(0). Sa presupunem acum ca Q ar fi o integrala si sa alegem un P 0, astfel incat P(0)

Atunci PQ=P(0)Q=0.

Dar cum k[[X]] este integru Q=0.Deci H nu are integrale nenule.

iii)Fie H=H(C,n,c,c,a,b)o algebra Hopf obtinuta cu ajutorul extinderilor Ore.

Daca gC si w=, fie EH morfismul care duce pe gX in 1 si toate celelalte elemente ale bazei in 0. Se poate demonstra prin calcul direct ca E, unde h=si n-1= este integrala la stanga , iar E, unde 1 este element neutru al grupului C, este integrala la dreapta.

Vom vedea acum de unde provine numele de integrala.

Fie G un grup compact. O integrala Haar pe G este , o functionala lineara pe spatiul

functiilor continue de la G la R care e invarianta la translatii, adica continua si Restrictia lui la algebra Hopf a functiilor continue reprezentative pe G, este o integrala in sensul dat de definitia I. 2, caci

si , (xf)=(f)

Daca H este o algebra Hopf finit dimensionala, poate fi dat si un alt sens notiunii de integrala. H fiind algebra Hopf , are sens sa vorbim despre integralele pentru H, care sunt elemente din H. Fie insa izomorfismul canonic. Orice element din H este de forma . Deci relatia din definitia I.2 devine:

Deci putem da definitia urmatoare

Definitia I.6.: Daca H este o algebra Hopf finit dimensionala, vom numi integrala la stanga in H un element astfel incat

Exemple I.7.

i). Daca G este un grup finit, atunci este integrala la stanga si la dreapta in kG.

ii). Daca H este algebra Hopf a lui Sweedler, atunci este integrala la stanga, iar este integrala la dreapta.

iii). Daca k este un corp de caracteristica si H=k[X]/, Atunci H este algebra Hopf si cu , iar este o integrala cu

Definitia I.8. Vom spune ca o algebra Hopf H finit dimensionala este unimodulara spatiul integralelor la stanga si la dreapta in H coincid.

Observatie: Exista algebre Hopf cocomutative care nu sunt unimodulare.

Fie H o algebra Hopf si H partea sa rationala la stanga. H este un H-modul stang rational si deci un H-comodul drept cu structura data de , astfel incat

De asemenea H devine H-modul stang cu actiunea: , Aceasta induce o structura de H-modul drept pe H astfel :

Teorema I.9. H este un H-submodul drept al lui H (cu actiunea " ").Aceasta structura de H-modul drept si structura de H-comodul drept data de determina pe Ho structura de H-Hopf modul drept.

Demonstratie

Fie si . Fie si Avem

Deci Rezulta ca si ca

, deci ca H este un H-Hopf modul drept.

Lema I.10. Subspatiul coinvariantilor (H)este chiar .

Demonstratie: Fie . Atunci

Teorema I.11. Functia definita prin

si este un izomorfism de H-Hopf module drepte.

Demonstratie: Este chiar teorema fundamentala a modulelor Hopf aplicata pentru Hcare este H-Hopf modul.

Consecinta I.12. H

Tinand cont de caracterizarea lui H avem

Consecinta I.13. Fie H o algebra Hopf. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente

1). H are integrale la stanga nenule

2). H contine un ideal stang finit dimensional

3). H contine un coideal stang propriu de codimensiune finita.

Consecinta I.14. Fie H o algebra Hopf cu antipodul S si avand integrale nenule. Atunci S este injectiv. Daca in plus H este finit dimensionala, atunci are dimensiunea 1 si S este bijectiv.

Demonsrtatie: Daca ar exista un h0astfel incat S(h)=0 atunci ar exista t,t0 cu f(th)=0, ceea ce ar contrazice injectivitatea lui f din teorema I.11.

Daca H este finit dimensionala ,atunci H=Hsi atunci f:HH f(th)=t h

este izomorfism de module Hopf ,deci si izomorfism de spatii vectoriale Dar , iar

S fiind un endomorfism injectiv al unui spatiu vectorial finit dimensional este bijectiv.

Teorema I.15. (MASCHKE) Fie H o algebra Hopf finit dimensionala. Atunci H este semisimpla exista o integrala la stanga astfel incat .

Demonstratie

"" Sa presupunem mai intai ca H este semisimpla.

este ideal de codimensiune 1 in H. Sa il privim ca pe un submodul stang si, H fiind semisimpla este sumand direct in H, deci exista un ideal stang I al lui H astfel incat Fie reprezentarea lui 1 in aceasta suma. Cum .

Codim =1

Fie acum reprezentarea lui in suma este

Dar iar Cum reprezentarea unui element este unica 0 si b este o integrala la stanga in H. Cum

"" Sa presupunem acum ca exista o integrala la stanga t in H astfel incat Inlocuind-o, eventual cu , putem presupune ca .

Vom demonsta ca pentru orice H-modul stang M si orice H-submodul N al lui M, N este sumand direct in M si de aici va rezulta ca N este semisimpla.

Fie un morfism linear astfel incat (de exemplu proiectia pe N in scrierea lui M ca suma dintre N si un alt subspatiu

Fie Fie

(am folosit ca

Sa aratam acum ca P este un morfism de H-module stangi.

Fie Atunci

Deci exista un morfism de H-module stangi astfel incat N este sumand direct al lui M ca H-module stangi ) H este semisimpla.

Consecinta I.16. Fie H o algebra Hopf finit dimensionala si semisimpla si B o subalgebra Hopf. Atunci si B este semisimpla.

Demonstratie: Conform teoremei Nichols-Zoeller H e libera peste B.

Fie o integrala la stanga in H astfel incat Daca este o baza a lui H peste B exista astfel incat .

Pentru orice avem :

H fiind liber peste B sunt integrale la stanga pentru B.

Dar exista j astfel incat B este semisimpla.

Consecinta I.17. Daca H este semisimpla, atunci este unimodulara.

Demonstratie: Fie o integrala la stanga astfel incat si fie elementul grupal distins al lui . Fie .

Atunci Cum H este unimodulara.

Integrale si algebre Hopf cosemisimple

Definitia II.1. Fie R un inel. Un R-modul M se numeste complet reductibil daca orice submodul este sumand direct al lui M.

Propozitia II.2. Pentru o coalgebra C urmatoarele afirmatii sunt echivalente

1). Orice -modul rational este complet reductibil.

2). C este suma de subcoalgebre simple.

Definitia II.3. O coalgebra ce satisface una din conditiile propozitiei anterioare se numeste cosemisimpla.

Propozitia II.4. Daca H este o algebra Hopf si exista astfel incat , atunci orice -modul rational este complet reductibil.

Demonstratie Inlocuind eventual pe T cu putem presupune ca

Daca U este un H-comodul drept cu morfismul de structura atunci este un morfism de comodule,considerand ca structura de comodul a lui este data de Sa consideram diagrama

si

Daca

Vom demonstra ca si ca este un morfism de H-comodule.

Pentru a demonstra ca este un morfism de H-comodule, vom arata ca este un morfism de -module stangi.

Pentru avem

=

= (caci T este integrala

=

= este morfism de comodule .

Sa presupunem ca V este un submodul al lui U astfel incat Fie proiectia lineara. Avem si fie este morfism de comodule, ca rezultat al compunerii morfismelor de comodule. Cum pentru orice si

si , rezulta ca . Deci putem considera ca este un morfism de comodule de la U la V.

Pentru si cum f este proiectie, Deci

este o proiectie de comodule de la U la V. Prin urmare Ker