Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare

Solutionarea sistemelor de ecuatii neliniare

1. Aspecte generale

Modelul general al unui sistem de ecuatii neliniare de ordinul n are forma:

    (1)

unde functiile reale f₁, f₂, , f_n depind de varibilele reale x₁, x₂, , x_n, fiind continue in domeniul de interes.

Daca se introduc notatiile:

[x] = [x₁ x₂ x_n]_t

= [f₁ f₂ f_n]_t

sistemul (1) poate fi scris sub forma:

(x) = 0, : Rⁿ R    (2)

A determina o solutie a sistemului (1) inseamna a gasi un set de valori [x^*] = [x^*₁ x^*₂ x^*_n ]_t care satisfac relatiile (1), adica (x^*) = 0.

Toate metodele practice de rezolvare a sistemului de ecuatii neliniare (1) sunt metode de tip iterativ. In principiu, exista trei mari categorii de metode iterative de rezolvare:

Metode bazate pe exprimarea explicita echivalenta a ecuatiilor sistemului, denumite metode de aproximatii succesive;

Metode care folosesc derivatele partiale ale functiilor f_i, denumite metode de tip Newton;

Metode de minimizare, numite metode de gradient.

2. Metode de tip Newton

Principala trasatura a metodelor de tip Newton o reprezinta utilizarea derivatelor partialeale functiilor f_i care definesc problema. Cel mai adesea se folosesc numai derivatele de ordinul 1. Varianta clasica a metodei Newton se caracterizeaza prin performante foarte bune cand aproximatia initiala se afla suficient de aproape de solutia exacta.

2.1. Metoda Newton

Pentru sistemul de ecuatii liniare (1) metoda Newton apeleaza la o serie de aproximari care conduc la liniarizarea problemei. In final, problema se reduce la rezolvarea unui sir de sisteme de ecuatii liniare, pentru care se poate aplica oricare dintre metodele de rezolvare directa sau iterativa.

Daca se admite ca la iteratia k s-a determinat o aproximatie [x^k] = [x^k₁ x^k₂ x^k_n ]_t, care se abate de la solutia exacta [x^*] cu vectorul [e^k e^k e^k e^k_n ]_t atunci:

    (3)

In ipoteza ca abaterile e^k_i ( i = 1, , n) sunt suficient de mici, functiile f_i([x^*]) pot fi dezvoltate in serii Taylor in jurul punctului [x^k], retinand numai termenii de ordinul 1:

    (4)

Expresia (4) poate fi scrisa sub forma matriceala:

    (5)

unde matricea J, formata din derivatele partiale ale functiilor care definesc sistemul neliniar, este matricea Jacobian:

    (6)

Deoarece [x^*] reprezinta solutia exacta a problemei (1), ([x^*]) se anuleaza, astfel incat, din relatia (5) rezulta

    (7)

care reprezinta un sistem de ecuatii liniare care are ca necunoscute corectiile [e^k

Dupa rezolvarea acestui sistem si inlocuirea lui [e^k] in relatia (3), teoretic putem determina solutia [x^*]. Insa, datorita neglijarilor facute la dezvoltarea in serii Taylor corectiile [e^k] determinate cu relatia (7) nu ai asigura deplasarea completa din aproximatia [x^k] pana la solutia exacta [x^*], ci pana la o noua aproximatie a acesteia:

    (8)

Expresiile (7) si (8) reprezinta relatiile de recurenta pe baz carora se desfasoara procesul iterativ al metodei Newton, pornind de la o solutie aproximativa [x⁰].

Controlul convergentei/divergentei se face prin impunerea unui numar maxim de iteratii.

Algoritmul asociat metodei Newton este prezentat in Fig. 1.

Mersul lucrarii

Se studiaza textul lucrarii si metoda de rezolvare numerica a sistemului de ecuatii liniare.

Se elaboreaza programul de calcul.

Se testeaza programul de calcul.

Se solutioneaza cateva aplicatii numerice semnificative, prezentandu-se rezultatele.