Metoda puterii

Metoda puterii

Fie matricea care admite n valori proprii distincte:

si un sistem de n vectori proprii, liniar independenti

Atunci, un vector arbitrar y poate fi exprimat printr-o combunatie liniara a vectorilor proprii:

Inmultind cu A si inlocuind matricea cu valorile proprii:

Inmultind din nou cu A si inlocuind matricea cu valorile proprii:

Procedand in acelasi mod in continuare, rezulta:

(8)

Deoarece valoarea este dominanta, toate rapoartele tind catre 0 pentru valori mari ale lui p.

Rezulta: (9)

Operatia de impartire a doi vectori nu are sens, dar se pot imparti componentele acestora. Astfel, impartind cele doua relatii de mai sus la nivel de componente, se obtine o valoare proprie dominanta . In plus, ultima valoare calculata va reprezenta, exceptand o constanta, o aproximare pentru vectorul propriu X₁.

Obs. Daca sistemul de ecuatii liniare este interpretat ca un model fizic liniar, a carui relatie cauza-efect este data de matricea A, iar vectorul propriu X reprezinta datele de intrare in sistem , atunci forma sistemului arata ca, la iesire se obtine tot vectorul X, multiplicat cu constanta

Folosirea vectorilor proprii permite decuparea unui sistem liniar, astfel incat, fiecare parametru de iesire sa depinda numai de un parametru de intrare.