Ecuatia caracteristica

Ecuatia caracteristica

Se considera sistemul de ecuatii:

(1)

unde A este o matrice , (cu n linii si n coloane) iar X-matricea coloana:

(2)

iar un numar real sau complex

Sistemul de ecuatii (1) poate fi scris sub forma:

sau (3)

Relatia (3) se numeste ecuatia caracteristica a matericei A.

fiind un sistem de ecuatii liniare omogene.

Acest sistem nu admite, in general, solutii nenule. solutiile nenule decat pentru valorile parametrului rezultate din conditia . Dezvoltand determinantul in raport cu puterile lui , se gaseste polinomul:

(4)

Solutiile acestei ecuatii se numesc valorile proprii ale matricei A.

introducand una din valorile proprii in sistemul (3) se obtine un sistem liniar de ecuatii omogene, nu toate independente.

a.       Daca valoarea proprie considerata este o radacina simpla a ecuatiei caracteristice se alege o valoare arbitrara pentru prima necunoscuta (ex. x₁ = 1), se elimina o linie din sistem si se determina celelalte necunoscute din ecuatiile ramase.

b.       Daca valoarea proprie este o radacina multipla, atunci se aleg valori arbitrare pentru un numar corespunzator de necunoscute.

Daca este o valoare proprie introdusa in sistemul (3), atunci matricea coloana:

(5)

formata cu solutiile sistemului (3) se numeste vector propriu, corespunzator valorii proprii

Fie matricea avand vectorii proprii drept coloane:

. Notand cu D matricea diagonala

(6)

avem sau

Obs. In cazul in care A este o matrice simetrica si are valori proprii distincte, avem (7)

Daca matricea A este simetrica si are valori proprii multiple, este posibil sa combinam liniar vectorii proprii corespunzatori aceleiasi valori proprii, astfel incat relatia (7) sa fie satisfacuta.

Sunt mai multe metode pentru calculul valorilor proprii: metoda puterii, metoda Rayleigh,.