Ecuatii de recurenta liniara de ordinul intai

Ecuatii de recurenta liniara de ordinul intai

Forma generala a acestor ecuatii este:

Solutia generala a ecuatiei asociate este:

V_n=Caⁿ (C

Daca gasim o solutie particulara u_n^* pentru ecuatia neomogena solutia ei generala va fi

Constanta C se poate determina daca este cunoscut primul termen al sirului x₀.

Observatie Solutia particulara pentru ecuatia neomogena se determina in functie de forma functiei g. Daca ,

Unde este un polinom de grad k atunci vom cauta sub forma:

=, daca ra, unde este un polinom de gradul k arbitrar:

, daca r = a.

Exemplu Determinati solutia urmatoarei ecuatii de recurenta liniara de ordinul intai:

Solutia a = -2 si astfel solutia ecuatiei omogene va fi v_n=C(-2)ⁿ unde C. Cum este un polinom de grad doi, vom cauta solutia particulara pentru ecuatia neomogena ca un polinom de grad doi =. Obtinem:

prin identificare obtinem

3A=6, -4A+3B=0, 2A-2B+3C=1 deci A=2, B=, C=

Astfel:

=, si

Apoi x₀=1 conduce la C= si obtinem

Propozitie (caz particular) Daca g(n)=b (constanta reala) atunci:

1.daca a≠1;

2. daca a = 1

Demonstratie: Intr-adevar, cum suntem in cazul r = 1, =b, vom avea situatiile:

1. a≠1 (adica a≠r). atunci =A (polinom de grad zero, adica constanta). El este o solutie particulara pentru ecuatia neomogena, deci

Apoi si astfel

2. a=1 (adica a=4) . Atunci =nA si el verifica ecuatia neomogena deci:

Apoi x₀=C

Exemplul: Determinati solutia urmatoarei ecuatii:

Solutie a=3 si g(n)=b=1. Aplicand propozitia precedenta avem:

Propozitie ( Caz particular) Daca g(n)=brⁿ atunci:

1. daca a≠r;

2. daca a=r

Demonstratie: Intr-adevar, daca a≠r atunci =Arⁿ este solutie particulara pentru ecuatia neomogena, deci

Cum deci

Daca a = r atunci = naⁿA si cum el este solutie pentru ecuatia neomogena avem

Apoi x₀=C, deci

Exemplu Determinati solutia urmatoarei ecuatii:

x₀=0

Solutie: Avem ecuatia de unde deci a=- si

g(n)=5ⁿ deci b=1 si r=5. Aplicand propozitia precedenta obtinem: