Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica | |
Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
Metoda sirului lui Sturm
Fie , a < b. Presupunem ca f este continua si derivabila pe .
Def.1. Se numeste sir Sturm asociat functiei f, un sir de functii f0, f1. .fm, continue pe , care satisfac conditiile:
a. f0(x) = f(x);
b. pentru
c.daca fI(x) = 0 pentru rezulta ;
d.daca f0(x) = 0 pentru rezulta .
Folosind aceasta definitie putem enunta urmatoarea teorema:
"Daca functia f cu derivata continua pe [a,b] si f(a) = 0, f(b) = 0 admite un sir Sturm f0, f1,.fm, atunci numarul radacinilor reale ale ecuatiei f(x) = 0 in intervalul (a,b) este egal cu diferenta dintre numarul variatiilor de semn ale sirului numeric:
f0(a), f1(a),.fm(a)
si numarul variatiilor de semn ale sirului numeric:
f0(b), f1(b),.fm(b)".
In principiu, teorema ne permite numai sa numaram radacinile reale dintr-un interval al ecuatiei f(x) = 0, totusi se poate realiza si o separare a acestora.
Astfel, cunoscand limita inferioara a si cea superioara b ale radacinii se poate aplica teorema pentru numerele cuprinse intre a si b. In cazul in care functia f este un polinom P cu coeficienti reali, fara radacini multiple, putem apela, pentru aflarea radacinilor reale ale ecuatiei P(x) = 0, la teorema:
"Daca P = P0, P1 = P, .Pm sunt m+1 polinoame in care Pm este o constanta diferita de 0 iar Pi+1 este restul impartirii lui Pi-1 la Pi cu semn schimbat, atunci numarul de radacini reale ale ecuatiei P(x) = 0 este egal cu numarul de variatii de semn in sirurile:
, , .,
si , , ., "
Dem. Trebuie sa demonstram ca sirul de polinoame P0, .Pm indeplineste conditiile de a fi sir Surm.
Deoarece P(x) nu are radacinile multiple rezulta ca P(x) si PI(x) sunt prime intre ele si c.m.m.d.c. (P(x);PI(x)) = Pm, Pm= const0.
Determinam c.m.m.d.c, utilizand algoritmul lui Euclid:
Verificam daca sunt indeplinite conditiile de sir Sturm:
a. P0(x) = P(x) la alegere
b. Pm(x)0 din ipoteza
c. Daca Pi(x) = 0 pentru , din relatia (a3) rezulta:
, adica
Demonstram ca doua polinoame consecutive nu se pot anula simultan:
Presupunem contrariul: daca Pi(x) = 0 rezulta Pi+1(x) = 0.
Din relatia rezulta Pi+2(x) = 0, Pi+3(x) = 0, Pm(x) = 0 contradictie.
d. Daca P0(x) = 0. Rezulta deoarece P0(x) = PI(x) iar P(x) si PI(x) nu au radacini comune.
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate