Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate

Izomorfismul spatiilor vectoriale finit generate

Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare

Nucleul

Fie o aplicatie liniara. Pentru orice submultime M' a lui se noteaza:

numita preimaginea submultimii prin f. Trebuie sa distingem intre aceasta fumctie definita pe multimea partilor lui cu valori in multimea partilor lui V, numita functia preimagine, si inversa lui f, care se noteaza tot , definita insa pe cu valori in V, numai atunci cand functia f este bijectiva.

Este usor de verificat ca daca M' este un subspatiu al lui , atunci este subspatiu al lui V.

In particular numim nucleul aplicatiei f , care se noteaza Kerf preimaginea subspatiului nul al lui : in care este vectorul nul din . Mai precis,

care, asa cum am spus, este subspatiu al lui V.

Nucleul poate oferi o informatie interesanta despre aplicatia liniara si anume: aplicatia liniara f este injectiva daca si numai daca nucleul sau contine numai vectorul nul.

Intr-adevar, daca f este injectiva, atunci cum , din rezulta ca si deci . Reciproc, presupunem ca . Daca , atunci , adica de unde si deci . Asadar f este injectiva.

Imaginea

Functia f permite si definirea unei alte functii, notata tot f, care are ca domeniu de definitie multimea partilor lui V si drept codomeniu multimea partilor lui . Daca M este o submultime a lui V atunci imaginea lui M prin f se defineste astfel:

sau Aceasta functie se numeste functia imagine directa. Este usor de verificat ca daca M este subspatiu al lui V atunci este subspatiu al lui .

In particular, luand pentru M spatiul total V, imaginea sa se numeste imaginea lui f si se noteaza Imf. Mai precis,

.

Chiar daca functia f nu este liniara, surjectivitatea ei inseamna .

Determinarea nucleului

Sa consideram acum cazul cand spatiile V si sunt finit generate. Fie o baza in V, o baza in si matricea lui f in raport cu cele doua baze.

Notand X coloana coordonatelor ale vectorului , conditia este echivalenta cu unde cu 0 am notat coloana nula.

Asadar determinarea nucleului aplicatiei f se reduce la rezolvarea sistemului omogen .

Dimensiunea subspatiului Kerf este tocmai gradul de nedeterminare al sistemului, adica. . O baza a subspatiului inseamna tocmai un sistem fundamental de solutii, care se determina, de exemplu, folosind metoda eliminarii succesive.

Determinarea imaginii

Din definitia imaginii lui f se deduce usor ca acesta este subspatiul lui V' generat de vectorii : .

Coloanele coordonatelor acestor vectori, in baza a lui sunt tocmai coloanele matricei A. Conform unei teoreme din capitolul precedent, dimensiunea acestui subspatiu este egala cu rangul matricei A.

Se poate determina o baza a subspatiului folosind procedeul general de extragere a unei baze dintr-un sistem de generatori.

Din dimensiunile deduse ale imaginii si nucleului rezulta urmatoarea teorema.

Teorema

Interpretarea sistemelor de ecuatii liniare

Fie un operator liniar care in raport cu bazele si ale celor doua spatii este reprezentat de matricea A de tip .

Notand, ca mai sus, cu X coloana coordonatelor ale vectorului xIV , coloana coordonatelor lui este AX. Asadar ecuatia vectoriala care are drept multime de solutii nucleul lui f se scrie sub forma: , adica un sistem liniar si omogen. Cu alte cuvinte solutia sistemului omogen este subspatiul .

In acest context, semnificatia faptului ca aplicatia f este injectiva este ca sistemul omogen este determinat, adica are numai solutia banala. Prin urmare rangul matricei A este egal cu numarul n al coloanelor sale.

Daca , atunci sistemul este echivalent cu ecuatia vectoriala unde este vectorul ale carui coordonate in baza sunt elementele coloanei B. Prin urmare multimea solutiilor sistemului neomogen este tocmai .

Daca este o solutie particulara a sistemului neomogen , atunci, dupa cum se stie, solutia generala a sistemului neomogen este suma dintre si solutia generala a sistemului omogen. Altfel spus, multimea este unde este vectorul ale carui coordonate sunt elementele coloanei .

Compatibilitatea sistemului inseamna ca vectorul b se afla in subspatiul Imf al lui . Reamintim ca acest subspatiu este generat de vectorii din V' care au drept coordonate elementele coloanelor matricei A, adica .

Surjectivitatea lui f inseamna ca , adica:

Cum rezulta adica este egal cu numarul liniilor matricei A. In acest caz, si teorema Kronecker-Capelli ne asigura ca sistemul este compatibil oricare ar fi coloana .

Reamintim ca daca este o solutie a sistemului , atunci solutia generala se obtine adunand la solutia generala a sistemului omogen . Acest lucru este exprimat de urmatoarea egalitate:

,

unde este vectorul din V avand drept coordonate elementele coloanei , iar b este vectorul din avand drept coordonate elementele coloanei B.

Izomorfismul spatiilor vectoriale

Pentru ca aplicatia liniara sa fie un izomorfism trebuie sa fie atat injectiva cat si surjectiva. Am stabilit mai sus ca pentru aceasta este necesar ca :

(numarul coloanelor) = m (numarul liniilor),

adica matricea A trebuie sa fie patratica de ordinul n si inversabila.

Este usor de verificat ca in acest caz matricea defineste o aplicatie liniara de la la V care este chiar inversa aplicatiei liniare f.

Asadar, doua spatii vectoriale finit generate sunt izomorfe daca si numai daca au aceeasi dimensiune.

Este atunci convenabil ca pentru orice numar natural n sa fixam un spatiu concret si anume . Tot ce deriva din structura de spatiu vectorial a lui este valabil pentru orice alt spatiu vectorial de dimensiune n peste corpul K.