FUNCTII INTEGRABILE

Functii integrabile

Definitie si proprietati

Fie f :si o diviziune a intervalului

Numarul numita norma diviziunii (lungimea celui mai mare interval al diviziunii).

Consideram un sistem de puncte intermediareatasat diviziunii ,adica un sistem de n puncte cu propietatea.

Se numeste suma Riemann asociata functiei f, diviziunii si sistemului de puncte intermediare numarul real;

Definitie: Functia f: se numeste integrabila Riemann daca: astfel incat o diviziune a intervalului si un sistem de puncte intermediare atasat lui avem:

Numarul I se noteaza si se numeste integrala Riemann a functiei f pe intervalul

Observatie: Intr-un alt limbaj o functie este integrabila Riemann daca sumele Riemann asociate functiei converg spre o limita finita I atunci cand

Propozitie:

Fie si daca f este integrabila pe si atunci f este integrabila pe si:

Teorema: (Formula lui Leibniz-Newton)

Fie o functie integrabila primitivabila pe si F o primitiva a ei. Atunci:

Propozitie

Daca f este continua pe atunci f este integrabila pe .

Daca f este monotona pe atunci f este integrabila pe .

Daca f este integrabila pe atunci f este marginita pe .

Observatie: Afirmatiile reciproce nu sunt in general valabile.

Spre exemplu functia:

este integrabila pe intervalul si:

dar nu este continua pe intervalul pentru ca punctul 3 este un punct de discontinuitate.

Apoi este integrabila pe si :

dar ea nu este monotona pe

Daca consideram:

atunci evident f este marginita dar ea nu este integrabila.

Intr-adevar daca consideram:

o diviziune a intervalului si un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii daca sunt numere rationale:

care converge la b-a, iar daca sunt numere irationale:

Cum limita sumelor Riemann depinde de alegerea punctelor intermediare rezulta ca functia f nu este integrabila pe

Observatie: Sa notam ca exista functii integrabile care nu sunt primitivabile si exista functii primitivabile care nu sunt integrabile.

Functia este integrabila si:

dar f nu este primitivabila pentru ca f nu are proprietatea lui Darboux.

Apoi functia:

nu este marginita si deci ea nu este integrabila, dar:

este o primitiva pentru f. Intr-adevar:

pe Apoi si deci F este continua in 0 si:

deci F este derivabila in 0 si . Obtinem astfel ca F este derivabila pe si

Teorema

Daca f,g:sunt integrabile pe si atunci este integrabila pe si :

Daca sunt integrabile si atunci

In particular:

a)      Daca atunci

b)      Daca atunci

c)      Daca f si sunt integrabile atunci:

Daca este continua atunci astfel incat:

Metode de calcul

Daca este integrabila si primitivabila atunci asa dupa cum am vazut pentru calculul integralei lui f pe intervalul poate fi aplicata formula lui Leibniz-Newton.

Tehnicile de la calculul primitivelor se vor putea transpune la calculul integralelor. Astfel vom avea:

Teorema (Formula de integrare prin parti)

Daca sunt functii derivabile cu derivate continue atunci:

Teorema (Prima formula de schimbare de variabila)

Fie (J interval) derivabila cu derivata continua si continua. Atunci:

Teorema (A doua formula de schimbare de variabila)

Fie (J interval) bijectiva astfel incat si sunt derivabile cu derivate continue. Fie continua. Atunci:

Exemplu

1) 2) 3)

Solutie:

1)

2) x²=t

x=0

3)Vom prezenta doua solutii:

a)

b) cos x=t

Integrale generalizate

Definitie, exemple si metode de calcul

In definitia integralei I se presupune ca intervalul [a,b] este de lungime finita si ca f este o functie marginita pe [a,b].

Vom conveni sa numim generalizate integralele pentru care lungimea intervalului de integrare este finita sau f nu este marginita pe [a,b] si se va utiliza urmatoarea clasificare:

1.Integrale generalizate de speta intai:

f ramanand marginita pe intervalul de integrare.

2.Integrale generalizate de speta a doua: b-a< dar f este nemarginita pe [a,b].

3.Integrale generalizate de speta a treia daca atat intervalul de integrare este de lungime infinita cat si f este nemarginita pe aceste intervale .

In continuare vom restrange discutia la cazul unei functii f:[a,b] cu proprietaea ca esta integrabila pe orice interval [a,t] . Punctul b va fi numit punct singular pentru aplicatia f.

Definitie Daca exista si este finita limita vom spune ca integrala generalizata este convergenta si ii atribuim valoarea l.

Daca limita nu exista sau este infinita atunci integrala generalizata se numeste divergenta si nu i se atribuie nici o valoare.

Observatie Acesta este cazul unei integrale generalizate de speta intai daca b, de speta a doua daca b< dar f nemarginita pe orice vecinatate a lui b, de speta a treia daca bsi f nemarginita pe orice vecinatate a lui b.

Exemplu

Solutie: Aceasta este o integrala generalizata de speta intai:

Rezulta ca integrala generalizata este convergenta si :

Exemplu

Solutie: Avem o integrala generalizata de speta intai:

Dar aceasta limita nu exista. Astfel integrala generalizata nu este convergenta si nu ii atribuim nici o valoare.

Exemplu

>0.

Solutie: Observam ca pentru p aceasta este o integrala generalizata de speta intai iar pentru p<0 avem o integrala generalizata de speta a treia.

=

Astfel observam ca exista si este finita daca si numai daca p>1. Deci integrala este convergenta daca si numai daca p>1 caz in care:

.

Exemplu

Solutie:Observam ca si astfel avem o integrala generalizata de speta a doua.

Astfel integrala este convergenta si:

Observatie Cazul unei functii f:(a,b] integrabila pe va fi tratat in mod analog. In acest caz punctul a este numit punct singular pentru aplicatia f.

Astfel daca exista si este limita atunci integrala generalizata este convergenta si ii atribuim valoarea l.

Exemplu

Solutie: Avem o integrala generalizata de speta a doua

Astfel integrala generalizata nu este convergenta.

Observatie Daca astfel incat f nemarginita pe orice vecinatate a lui c (in acest caz punctul c se numeste punct singular pentru f) atunci vom scrie:

Si am redus problema la cele doua cazuri precedente.

Teorema (Formula lui Leibniz-Newton generalizata)

Daca este integrabila pe si admite primitiva F pe atunci este convergenta daca si numai daca

In plus avem .

Demonstratie: Avem si prin trecere la limita se obtine afirmatia din enunt.

Teorema (Formula de integrare prin parti generalizata)

Fie derivabile cu derivate continue.Daca dx este convergenta si exista atunci si dx este convergenta si

Demonstratie:

si trecem la limita pentru .

Teorema (Formula schimbarii de variabila generalizata)

Fie derivabila cu derivata continua continua. Atunci:

Demonstratie: Prin trecere la limita in formula clasica de schimbare de variabila.

Exemplu

1. 2. 3.;

4. ; 5.; 6.

Solutie: 1.Facem schimbarea de variabila 5x+1=t

x=1

=

=

-

pentru ca

unde am aplicat regula lui l'Hopital.

4.Facem schimbarea de variabila:

Apoi

Daca

Atunci avem:

5.Facem mai intai schimbarea de variabila: .

Rezulta: . Daca si

Obtinem:

Vom face acum schimbarea de variabila:

si

Daca :

Deci:

Facem in prima integrala schimbarea de variabila Deci ; si obtinem

Astfel ca I=2I₂. Pentru calculul lui I₂ vom utiliza schimbarea de variabila

Deci

Apoi

Daca ; In final

Exercitii propuse

1. Definiti primitivele urmatoarelor functii:

a)

b) ,

c) , > 0

d) , x > 1

e) , x > 0

2. Determinati urmatoarele integrale nedefinite:

a) , x > 4

b) , x > 5

c) , x > 0

d) ,

e) ,

f) ,

3. Calculati integralele urmatoare:

a)

b)

c)

d)

4. Calculati urmatoarele limite:

a)

b)