Functii monotone

Functii monotone. Fie f : A  R, o functie de variabila reala si I  A.

Definitie: Despre functia f spunem ca este:

a.     strict crescatoare pe I  A daca: () x₁, x₂  I cu x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂).

b.   strict descrescatoare pe I  A daca: () x₁, x₂  I cu x₁ < x₂  f(x₁) > f(x₂).

c.    crescatoare pe I  A daca: () x₁, x₂  I cu x₁ < x₂  f(x₁) f(x₂).

d.   descrescatoare pe I  A daca: () x₁, x₂  I cu x₁ < x₂  f(x₁) f(x₂).

Observatie: O functie f crescatoare pe I sau descrescatoare pe I se numeste monotona pe I. Daca f este strict monotona (sau monotona) pe A (pe tot domeniul de definitie ) spunem simplu ca functia f este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea. A studia monotonia unei functii f : A  R revine la a preciza submultimile lui A pe care f este strict crescatoare (crescatoare) si submultimile lui A pe care f este strict descrescatoare (descrescatoare).

Pentru studiul monotoniei unei functii numerice f : A  R, se utilizeaza raportul:

cu x₁, x₂  A si x₁ x₂ numit raportul de variatie asociat functiei f si numerelor x₁, x₂. Diferenta (x₂ - x₁) se numeste variatia argumentului, iar diferenta (f(x₂) - f(x₁)) se numeste variatia functiei. Prin urmare raportul de variatie asociat lui f si numerelor x₁, x₂ este raportul dintre variatia functiei si variatia argumentului.