Aplicatiile reprezentarilor timp-frecventa in Sistemul Radar

Universitatea  din  oradea

facultatea de INGINERIE ELECTRICa SI TEHNOLOGIA INFOMATIEI

Specializarea Tehnologii Audio video și telecomunicații

Invatamant la zi

Aplicatiile reprezentarilor timp-frecventa in Sistemul Radar

Capitolul 1 . Introducere

    RADAR (radio detection and ranging, adica detectarea prin radio si determinarea distantei) reprezinta o instalatie de radiolocatie care radiaza microunde electromagnetice si foloseste reflexia acestora pe diferite obiecte pentru a determina existenta si distanta lor fata de antena . Se compune, de obicei, dintr-un emitator, un receptor si un sistem de antene (care, de obicei, se poate roti in plan orizontal si/sau vertical) cu directivitate pronuntata . Receptorul cuprinde si un indicator al existentei si pozitiei obiectului (de obicei un tub catodic cu persistenta marita a imaginii) .

    Desi principiile radarului au fost enuntate de catre Nicolae Tesla la sfarsitul secolului al XIX-lea, primele implementari fizice au avut loc in Marea Britanie, pe coasta de sud, in 1935 - 1936 . Initial, aparatele erau destinate navigatiei maritime, insa ele s-au dovedit foarte utile in timpul celui de-Al Doilea Razboi Mondial, pentru detectia din timp a bombardierelor inamice .

Principiul de functionare

Figura 1 . Principiul de funcționare al sistemului radar

    Principiul de baza al radarului este reprezentat de reflexia microundelor pe suprafete solide . Receptorul, analizand diferenta de timp dintre emisia si receptia undei reflectate de catre un corp detectat, poate aprecia distanta r a acestuia fata de sursa microundelor . Antena de microunde este reciproca, putand atat emite cat si receptiona undele electromagnetice . Cele doua stari ale antenei functioneaza secvential (pe rand) .

Pentru obiectele in zbor, pozitia este caracterizata de trei coordonate . In practica nu se foloseste sistemul tridimensional (cartezian) ci se lucreaza cu coordonate polare . Azimutul Θ si unghiul de inaltre β nu pot fi deduse prin procedeul radar . Ele sunt stabilite la sol, cu ajutorul mecanismului de orientare al antenei . Pozitia curenta a acesteia se compara cu cea de referinta: orientarea catre nord (Θ = 0) pe o traiectorie paralela cu solul (β = 0) .

In mediile militare, unghiul Θ nu se exprima in grade sau radiani, ci in sutimi . Acestea sunt unitati fixe, corespunzatoare principalelor puncte cardinale, in sens antitrigonometric (N = 000 sutimi, E = 100 sutimi, S = 200 sutimi, V = 300 sutimi si iarasi N = 400 sutimi) . Spre exemplu, unghiul corespunzator directiei NNE va avea 25 sutimi, iar cel corespunzator directiei SVV - 275 sutimi .

Figura 2 . Sistem radar avansat

Cea mai avansata tehnologie in materie: radar cu unde coordonate fazat activ AN/APG-77 pentru avionul F-22 Raptor .

Limitari ale radarului

Distanta maxima rmax pana la care un radar poate detecta corpurile zburatoare depinde de puterea de emisie a antenei:

In formula de mai sus, σ reprezinta suprafata de reflexie eficace (ori sectiunea transvesrsala), P_e - puterea emisa de antena, P_r min - puterea reflectata minima, inca detectabila, G - castigul antenei (gain), iar λ - lungimea de unda a radiatiei emise . Distanta minima rmin de detectie a radarului este limitata de valoarea minima a intervalului Δt masurabil . In practica, rmin < 100 m, ceea ce inseamna ca obiectele ce zboara la o altitudine mai mica de 100 m nu sunt detectate de catre radar . Lipsa reflexiei sau mai bine zis lipsa unei unde reflectate care sa poata fi captata de catre radar este un fenomen caracteristic corpurilor fara portiuni rotunjite . Acest fapt a fost exploatat de catre fabricantii avioanelor cu tehnologie stealth, care pe langa dotarea lor cu un strat absorbant de microunde, le-au creat avand la baza o arhitectura numai cu unghiuri si suprafete plane . Astfel, posibilitatea ca o unda reflectata de catre suprafetele plane ale avionului sa ajunga inapoi la radar este foarte mica, iar in cazul in care ar avea loc, s-ar intampla doar pentru o fractiune de secunda (avionul miscandu-se, urmatoarea unda reflectata va ajunge in alt loc) . Lockheed F-117A Nighthawk este primul avion operational din lume care foloseste tehnologia stealth .       Conditiile reale din mediile de propagare a semnalului RADAR determina la intrarea receptoarelor din sistemele de locatie existenta unor semnale cu efect perturbator ( semnale ecou de la alte tinte care nu prezinta interes, reflexii de la obiecte fixe sau formatiuni meteo pe fundalul carora se pierde semnalul util, bruiaj activ sau pasiv de diferite tipuri, zgomotul gaussian al traseului de receptie din sistemul de locatie) . Prezenta perturbatiilor aleatoare, cat si fluctuatia semnalului ecou imprima un character statistic algoritmilor de prelucrare a semnalului, impunand metodele teoriei probabilitatilor si a statisticii matematice pentru sinteza structurilor de procesare . Principalele functiuni care vizeaza etapa de prelucrare primara a semnalului intr-un sistem RADAR se refera la: identificarea componentelor utile ale semnalului (componentele purtatoare ale informatiilor de interes), separarea acestora de componentele perturbatoare si apoi masurarea parametrilor purtatori de informatie . In scopul obtinerii unor informatii cat mai concludente, exacte si detaliate asupra obiectelor din spatiul explorat, procesarea semnalelor de tip RADAR presupune mai intai o reprezentare cat mai exacta, daca e posibil chiar in 'detaliu' a semnalului ecou in a carui parametri se regasesc informatiile utile ce caracterizeaza structura zonei de supraveghere RADAR . In general neajunsurile reprezentarilor Fourier sunt legate de imposibilitatea de a descrie proprietatile spectrale ale semnalului simultan cu proprietatile temporale, ingreunandu-se analiza semnalelor nestationare si selectia semnalului util din fondul zgomotelor . Pentru eliminarea acestui neajuns se pot utiliza alte spatii de reprezentare a semnalului, care contin aceeasi cantitate de informatie ca si reprezentarile clasice, dar parametrii utili se regasesc sub o forma mai accesibila sistemului de prelucrare si masurare ale acestora . Astfel modelul de reprezentare al semnalului devine determinant pentru alegerea strategiilor de prelucrare, impunand algoritmul de procesare si structura sistemului . De asemenea se poate utiliza o reprezentare mixta a semnalului ecou, intr-o serie de semnale elementare, care sa ocupe fiecare un domeniu bine determinat in planul timp-frecventa . Aceasta presupune reprezentarea semnalului ca o superpozitie de undisoare elementare, care poseda fiecare o frecventa definita ( localizare intr-o fereastra de frecventa ) si o localizare temporala bine definita (fereastra temporala) . In acest mod se obtine un spectru 'instantaneu', care ofera informatii spectrale asociate unei portiuni temporale cunoscute a semnalului . Daca, in plus, se utilizeaza "undisoare" scalate temporal ( Transformata Wavelet ) se obtine o rezolutie variabila a informatiei spectrale, care scade odata cu cresterea frecventei, iar rezolutia temporala creste odata cu frecventa . Aceste reprezentari permit alegerea unor algoritmi de prelucrare in concordanta cu scopul urmarit, determinand marirea preciziei si a calitatii informatiilor extrase in urma procesarii semnalului RADAR . In etapa de prelucrare primara a semnalului intr-un sistem RADAR, un element foarte important il reprezinta identificarea componentelor utile ale semnalului ecou, precum si separarea acestora de componentele perturbatoare . Practic nu se poate obtine o separare totala, dar se urmareste imbunatatirea semnificativa a raportului semnal util/ zgomot . Cu cat acest raport este mai mare cu atat se asigura o calitate mai buna a procesarii ulterioare a semnalului si o precizie mare la masurarea parametrilor purtatori de informatie .

In acest sens, in scopul obtinerii unor informatii cat mai concludente si exacte asupra obiectelor din spatiul explorat, procesarea semnalelor de tip RADAR presupune mai intai o reprezentare detaliata, pe mai multe nivele de rezolutie timp-frecventa a semnalului ecou, in a carui parametri se regasesc informatiile utile ce caracterizeaza structura zonei de supraveghere RADAR . Apoi se va face o analiza prin diferite metode a acestor reprezentari, se separa componentele utile de cele perturbatoare sau se evidentiaza componentele ce contin informatiile relevante, de interes la momentul respectiv si se reface semnalul intr-o forma accesibila subsistemelor care urmeaza sa-l prelucreze sau sa extraga informatia . In sistemele RADAR clasice, realizate pana in prezent se utilizeaza frecvent reprezentarea temporala pentru obtinerea parametrilor de localizare in distanta, antene directive pentru localizarea in azimut si unghi de inaltare si Transformata Fourier Rapida (SFT) pentru selectia in viteza (respective frecventa Doppler) . Dar exista situatii in care dupa aplicarea acestor tehnici, chiar implementate pe sisteme tehnologice foarte avansate, calitatea informatiilor RADAR obtinute nu este satisfacatoare, deoarece nu se realizeaza stationarizarea semnalelor receptionate si nu se ofera posibilitatea de a descrie proprietatile spectrale ale semnalului, simultan cu proprietatile temporale . De aceea este utila inlocuirea reprezentarilor clasice, cu reprezentarim timp-frecventa multirezolutie, care contin aceeasi cantitate de informatie ca si reprezentarile clasice dar parametri utili se regasesc sub o forma mai accesibila sistemului de prelucrare, analiza si masurare a acestora . Aceste reprezentari permit alegerea unor algoritmi de prelucrare in concordanta cu scopul urmarit, determinand marirea preciziei si a calitatii informatiilor extrase in urma procesarii semnalului RADAR, deschizand in acelasi timp orizonturile unor noi metode de analiza si prelucrare a semnalelor, precum si de sinteza a unor semnale de sondaj si structuri de sisteme performante .

    In cazul Radarului se emit unde electromagnetice descrise prin semnale cu modulatie liniara de frecventa . Aceste unde se reflecta de pe tinta (care este un obiect in miscare) si sunt receptionate in punctul din care au fost emise . Reprezentarea timp-frecventa de tipul Wigner-Ville a semnalului receptionat este egala cu convolutia bidimensionala a reprezentarii Wigner-Ville a semnalului emis cu reprezentarea Wigner-Ville a unui semnal care poarta informatii despre tinta .

Inversand reprezentarea timp-frecventa de tipul Wigner-Ville a semnalului care poarta informatii despre tinta, poate fi determinat acest semnal . Rezolvarea naturala a problemei radiolocatiei se bazeaza pe utilizarea reprezentarii timp-frecventa de tipul functie de incertitudine . De fapt functia de incertitudine a semnalului receptionat este legata de functia de incertitudine a semnalului emis . Se știe ca reprezentarea timp-frecventa de tipul Wigner-Ville a unui semnal reprezinta transformata Fourier bidimensionala a reprezentarii timp-frecventa de tipul functie de incertitudine a aceluiasi semnal . Pe baza celor menționate anterior se obtine o relatie foarte simpla intre reprezentarile Wigner-Ville ale semnalelor s( si s_r( . Pe baza acestei relatii pot fi determinate usor valorile t_o si . Metoda de detectie a tintei descrisa mai sus nu tine seama de zgomotul care poate perturba semnalul receptionat . De fapt in aplicatiile RADAR exista 4 surse de semnale perturbatoare:

ecourile fixe datorate mediului inconjurator (munti, cladiri, )

zgomotul propriu al sistemului RADAR

ecourile datorate conditiilor meteorologice (ploaie, nori . )

ecourile mobile datorate altor tinte (avion, vapor, vehicul de sol) .

Capitolul 2 . Folosirea metodelor timp-frecventa pentru analiza semnalelor de radiolocatie

Existenta unor mari densitati si diversitati de semnale in spatiul modern conduce la una din sarcinile primordiale ale sistemelor de receptie de radiolocatie: analiza semnalelor radar .

Cresterea gradului de rafinare a analizei este insotit si de cresterea corespunzatoare a complexitatii si volumului calculelor, deci de cresterea timpului de calcul . Acest fapt face ca, de exemplu, in cazul receptoarelor de avertizare radar, a caror principala caracteristica este viteza de raspuns cat mai mare intr-un mediu radioelectronic extrem de dens, sa fie mai oportuna aplicarea unor metode de analiza mai rapida, dar, inevitabil, de un grad de finete mai redus .

In toate situatiile, o mare importanta o are cunoasterea cat mai precisa cu putinta a amenintarii, in cazul nostru, a semnalelor radar uzuale din spatiul de lupta electronic .

2 . 1 . Analiza monodimensionala a unor semnale de radiolocatie

2 . 1 . 1 . Reprezentarea in timp si reprezentarea in frecventa

    Reprezentarea in timp este prima si cea mai naturala modaliate de descriere a unui semnal; in cele ce urmeaza, aceasta reprezentare va fi denumita forma semnalului . Reprezentarea in frecventa se obtine cu ajutorul transformatei Fourier, rezultand spectrul semnalului .

    Consultarea spectrelor semnalelor conduce la formularea urmatoarelor constatari:

coeficientii obtinuti prin dezvoltarea semnalului s(t) intr-o familie infinita de oscilatii

sunt complet nelocalizati in timp;

spectrul semnalului arata atat frecventele continute in semnal, cat si amplitudinile si

fazele corespunzatoare acestor frecvente;

din pacate, spectrul nu arata la ce momente de timp apar aceste frecvente . Din aceasta cauza, s-a pus problema gasirii unei modalitati de caracterizare simultana, in timp si frecventa, a semnalelor . Rezulta, astfel, posibilitatea de a observa evolutia in timp a fiecarei componente spectrale a semnalului;

Transformata Fourier nu este adaptata analizei semnalelor nestationare, aceasta reprezentand o proiectie a semnalului pe o familie infinita de unde (armonice) care sunt complet nelocalizate in timp;

Conceptele de pozitie medie in timp, pozitie medie in frecventa, durata, banda - definite cu ajutorul momentelor de diferite ordine ale semnalului sau puterii acestuia , precum si cel de baza nu sunt adaptate analizei unei categorii largi de semnale nestationare si al celor pe fondul zgomotului .

2 . 2 . Analiza bidimensionala a unor semnale de radiolocatie

2 . 2 . 1 . Reprezentari liniare timp-frecventa: transformata Fourier pe termen

scurt

a . Modelarea analitica a transformatei Fourier pe termen scurt

Pentru a obtine forma analitica a STFT se procedeaza la ferestruirea semnalului, s(u), in jurul unui moment de timp, t, urmata de calcularea transformatelor sale Fourier pentru fiecare moment de timp, t, al suportului temporal de definitie . Rezulta forma analitica a transformatei Fourier pe termen scurt (STFT), sau a spectrului pe termen scurt, care, impreuna cu inversa sa formeaza perechea STFT, exprimata analitic prin relatiile urmatoare:

    ST(f,t) = s(τ)∙w(t-τ)∙e^{-j∙2∙ f∙t}∙d

    s(t) = 1∕2∙π∫ ∫ ST(f,t)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙t}∙d ∙df

, unde w(t) este o fereastra de analiza pe termen scurt localizata in jurul t = 0 si f = 0

    Fereastra avand energie finita, STFT este inversabila, astfel ca semnalul poate fi descompus intr-o suma ponderata de unde elementare de forma:

    w_t,f = w(u-t)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙u}

Conform relatiei (2 . 3), fiecare unda elementara se obtine din fereastra w(t) prin translatie in timp si translatie in frecventa (modulatie, conform proprietatilor transformatei Fourier) . Cu alte cuvinte, STFT este o proiectie a semnalului analizat pe unde elementare, care sunt relative bine localizate in timp si frecventa . Cum fereastra w(t) suprima efectiv semnalul s(u) in afara sa, (respectiv in vecinatatea punctului de analiza u t ), se poate spune ca STFT este un spectru "local" al semnalului s(u) in jurul lui t . Se mai poate constata ca, spre deosebire de transformata Fourier "clasica", spectrul obtinut cu ajutorul STFT are componente variabile in timp .

    Pe baza STFT se poate realiza spectrograma Fourier, FS, care furnizeaza distributia "timp-frecventa" a energiei semnalului:

    FS(t,f) = │ST(t,f)│²       

Daca rezolutiile in timp respectiv frecventa sunt Δt si Δf, atunci, principiul de incertitudine Heisenberg - Gabor, poate fi scris si sub forma:

Δt∙Δf ≥ 1∕2

STFT se caracterizeaza prin valorile fixe ale rezolutiilor in timp si in frecventa, fapt care face ca totul sa depinda de lungimea temporala a ferestrei w(t): daca fereastra este ingusta rezulta o buna rezolutie in timp (STFT si FS vor fi bine localizate in timp), dar rezolutia in frecventa va fi slaba .

b . Rezolutia timp-frecventa a STFT

Spectrul STFT poate oferi o buna localizare in timp si frecventa a componentelor semnalului . Rezolutia in timp a STFT se poate evalua considerand ca semnal de test impulsul Dirac:

    s(t) = δ(t-t₀) F_s(t,f,w) = exp(-j∙2∙ ∙t∙f₀)∙W(f-f₀)

Se deduce ca rezolutia in timp a STFT este proportionala cu durata efectiva a ferestrei de analiza, w(t) . Ca o consecinta a principiului incertitudinii, si in cazul STFT suntem in fata unui compromis: pe de o parte, o buna rezolutie in timp impune folosirea unei ferestre w(t) foarte inguste; pe de alta parte, o buna rezolutie in frecventa impune un interval spectral de analiza foarte ingust, adica un filtru de banda cat mai ingusta, deci, ca rezultat, o fereastra temporala, w(t), foarte larga; cele doua cerinte sunt, evident, contradictorii .

    Cazul 1 corespunde unei rezolutii in timp perfecte: fereastra w(t) este aleasa de forma impulsului Dirac:

    s(t) = δ (t) Fs(t,f,w) = s(t)· exp(-j·2·π ·t·f₀) 

STFT este perfect localizat in timp, dar nu are nici un fel de rezolutie in frecventa .

    Cazul al 2-lea este cel al rezolutiei perfecte in frecventa, obtinuta cu ajutorul ferestrei constante:

    w(t) = 1, sau W(f) = δ(f) => F(t,f,w) = S(f)

, adica STFT se reduce la o transformare Fourier "clasica" a semnalului s(t), care, dupa cum se stie, nu ofera nici un fel de rezolutie in timp .

2 . 2 . 2 . Reprezentari "de tranzitie" de la reprezentarile liniare la cele neliniare

    In paragraful precedent au fost abordate una dintre reprezentarile timp-frecventa, respectiv transformata Fourier pe termen scurt (STFT); aceasta, ca si toate celelate transformari timp frecventa din clasa sa, realizeaza descompunerea semnalului in componente elementare bine localizate in timp si frecventa . Aceste reprezentari reprezinta transformari liniare ale semnalului . Trecerea catre reprezentarile neliniare se face prin intermediul unor asa-numite

transformari "de tranzitie", care, desi pastrand, in esenta un caracter liniar, au, cum se va vedea in cele ce urmeaza, si caracteristici ale reprezentarilor neliniare .

a . Spectrograma

Spectrograma furnizeaza ditributia timp-frecventa a energiei semnalului si se realizeaza pornind de la transformata Fourier pe termen scurt, cu ajutorul urmatoarei relatii de definitie:

    FS(t,f) = │STFT(t,f)│² = │∫ s(u)∙w (u-t)∙e^{-j∙2∙f∙u}du│    

Se poate constata ca spectrograma este o functie reala si pozitiva .

rezolutia timp-frecventa: datorita modului de definire, rezolutia timp-frecventa a spectrogramei are exact aceleasi limitari ca si in cazul STFT, inclusiv existenta compromisului dintre rezolutia in timp si rezolutia in frecventa .

 Interferente: fiind o reprezentare patratica, spectrograma sumei a doua semnale nu este suma celor doua spectrograme coerspunzatoare semnalelor:

  s(t) = s₁(t)+s₂(t) FS_s(t,f) = FS_s1(t,f)+FS_s2(t,f)+2

, unde FS_s1,s2(t,f) = FS_s1(t,f)+FS _s2(t,f) reprezinta spectrograma de interferenta .

Astfel, ca orice distributie patratica, spectrograma are termeni de interferenta, reprezentati de marimea FS_s1s2(t,f) .

Cu toate acestea, se arata ca acesti termeni de interferenta se limiteaza doar la acele zone ale planului timp-frecventa (t,f), in care spectrogramele FS_s1(t,f) si FS_s2(t,f) se suprapun . De aceea, daca semnalele s1(t) si s2(t) sunt suficient de distincte (departate in planul (t,f)), astfel incat suprapunerile sa fie nesemnificative, atunci si termenul de interferenta va fi nesemnificativ .

Aceasta proprietate, care este un avantaj practic al spectrogramei reprezinta o consecinta a rezolutiei bazata pe compromis a spectrogramei .

2 . 2 . 3 Reprezentari neliniare timp-frecventa . Clasa lui Cohen

    Spre deosebire reprezentarile prezentate anterior care dezvolta semnalul in componente elementare, localizate in timp si frecventa, reprezentarile neliniare (timp-frecventa) realizeaza distributia energiei semnalului in planul timp-frecventa . Este cunoscut ca energia semnalului poate fi exprimata atat in timp cat si in frecventa:

        E_s = ∫│s(t)│²dt = ∫ │S(t)│²dt     

, unde│s(t)│² si │S(t)│² pot fi interpretate ca densitati de energie in timp respectiv frecventa . Este firesc de a cauta o densitate de energie mutuala timp-frecventa, ρ_s(t,f) astfel incat

        E_s = ∫ ∫ ρ_s(t,f)dtdf       

Deoarece energia este o functie patratica de semnal, distributiile de energia timp frecventa vor fi, in general, reprezentari patratice . Pentru ca o marime sa poate fi densitate de energie ea trebuie sa satisfaca si urmatoarele proprietati:

∫ ρ_s(t,f)dt = │S(t)│²              

     ∫ ρ_s(t,f)dt = │s(t)│²          

denumite proprietati de marginalitate, care exprima faptul ca integrarea densitatii mutual functie de o variabila a planului timp-frecventa conduce la obtinerea densitatii de energie functie de cealalta variabila .

Exista mai mult de o distributie care satisface conditiile (2 . 12), (2 . 13), (2 . 14), asa incat pot fi impuse si alte cerinte suplimentare asupra densitatii mutuale ρ_s, astfel ca aceasta distributie sa aiba si alte proprietati care pot fi considerate utile . Printre aceste proprietati s-a impus, ca fundamental, principiul covariantei in timp si cel al covariantei in frecventa .

a . Reprezentarea Wigner-Ville

O distributie de energie timp-frecventa de un interes cu totul particular este distributia (reprezentarea) Wigner-Ville (WVD) definita prin relatia:

    WVs(t, f) = ∫ s(t+ ∕2)∙s (t- ∕2)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙} d

sau prin duala ei:

    WVs(t, f) = ∫ s(t+ ∕2)∙s (t- ∕2)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙} d

WVD este reala pe intreg domeniul de definitie, pastreaza deplasarile in timp si in frecventa si satisface proprietatile de marginalitate . Fiind o reprezentare neliniara si in cazul WVD se aplica principiul superpozitiei:

WV_s1+s2(t,f) = WV_s1(t,f)+WV_s2(t,f)+2∙

unde:

WV_s1+s2(t,f) = ∫ s(t+ ∕2)∙s (t- ∕2)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙} d

este termenul de interferenta al WVD aplicata semnalului s = s1 + s2 .

b . Reprezentarea pseudo Wigner-Ville

Definirea WVD impune cunoasterea variatiei functiei

    q_s(t,τ) = s(t s* (t

pe intreg domeniul τ , fapt care poate fi, practic, dificil de realizat in multe cazuri .

De aceea, de multe ori, este mai convenabil de a restrange domeniul de analiza al variabilei τ, prin inlocuirea functiei qs(t,τ) cu varianta ei ferestruita cu ajutorul functiei w(t), rezultand o noua distributie, caracterizata prin relatia:

    PWV_s(t,f) = ∫ w( )∙s(t+ ∕2)∙s (t- ∕2)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙} d

Aceasta noua reprezentare este denumita pseudodistributia Wigner-Ville (reprezentarea pseudo Wigner-Ville) . Operatia de ferestruire are ca efect o uniformizare a reprezentarii prin filtrarea in frecventa rezultand:

    PVW_s(t,f) = ∫ W(f- )∙ WV_s(t, )∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙} d

, unde W(f) este imaginea Fourier a ferestrei w(t) . Din cauza naturii lor oscilante, componentele de interferenta vor fi atenuate in PWVD fata de WVD, rezultand o claritate mai mare a reprezentarii in planul timp-frecventa . Acest avantaj este insotit, insa si de mai multe dezavantaje, dintre care mentionam:

PWVD nu mai satisface proprietatea de marginalitate;

cresterea benzii de frecventa a componentelor proprii - de tipul WV_s1 (t,f) sau WV_s2(t,f) .

c . Reprezentarea pseudo Wigner-Ville netezita

    Printre proprietatile utile ale oricarei reprezentari timp-frecventa de o mare importanta este cea a covariantei in timp si in frecventa . Faptul ca o reprezentare de energie timp-frecventa se bucura de proprietatea de covarianta este echivalent cu aceea ca, daca semnalul este deplasat in timp (intarziat) si in frecventa (mixat), atunci reprezentarea sa timp-frecventa va fi deplasata corespunzator cu aceleasi marimi in planul timp-frecventa . Se arata ca acele reprezentari timp-frecventa care se bucura de proprietatea de covarianta constituie clasa lui Cohen si au expresia generala:

    C_s(t,f;p) = ∫ ∫ ∫ e^{-j∙2∙ ∙(a-t)}∙p( s(a+ ∕2)∙s (a- ∕2)∙ e^{-j∙2∙ ∙f∙} d ∙da∙d𝜏

, unde p(ζ,τ) este denumita functia de parametrizare .

Expresia (2 . 22) se poate scrie si sub forma urmatoare :

    C_s(t,f; ) = ∫ ∫ Π(a-t, -f)∙W_s(a, )∙da∙d

unde

(t,f) =  ∫ ∫ p( ) ∙ e^{-j∙2∙ ∙(∙f∙ ∙t})∙ d ∙d

este transformata Fourier bidimensionala a functiei de parametrizare, p( . Clasa lui Cohen

are un caracter de generalitate, ea cuprinzand un mare numar de transformari timp-frecventa

particulare: astfel, WVD este cazul particular obtinut pentru p( ,τ) = 1 - funtia Π(t,f) fiind un dublu impuls Dirac in timp si in frecventa, Π(t,f) = δ(t) δ(f) . Daca Π(t,f) se interpreteaza drept o functie de netezire, atunci expresia (2 . 23) permite interpretarea Cs(t,f; Π) ca o versiune netezita (filtrata) a WVD . Se obtine o noua distributie care va atenua, intr-un anumit fel (conform aspectului particular ales al functiei de parametrizare), termenii de interferenta ai WVD . Considerand fereastra de termen scurt w(t) si imaginea sa Fourier H(f), o alegere a functiei Π(t,f) de forma:

    П(t,f) = g(t) H(f)       

este echivalenta cu controlul progresiv si independent al netezirii aplicate PWVD, atat in timp cat si in frecventa . Se obtine o noua distributie:

SPWVs(t,f) = ∫ w( ∫     g(a-t) s(a+ ∕2)∙s (a- ∕2)∙ds e^{-j∙2∙ ∙f∙} ∙d𝜏     

numita transformarea pseudo Wigner-Ville netezita (pseudodistributia Wigner-Ville netezita, SPWVD) .

d . Reprezentari timp-frecventa redistribuite: spectrograma redistribuita

    O cerinta esentiala impusa oricarei tranformari timp-frecventa il reprezinta claritatea, respectiv capacitatea acestora de a fi usor analizate, chiar in cazul semnalelor cu legi de modulatie complexe, care evolueaza pe fondul zgomotului si care pot avea componente cu frecvente rapid variabile in timp, asa cum este cazul semnalelor de radiolocatie moderne . Cu alte cuvinte, o reprezentare timp-frecventa, pentru a fi un instrument util de analiza, trebuie sa prezinte o buna concentrare a componentelor utile ale semnalului si sa nu aiba componente de interferenta care sa conduca analiza pe un drum gresit (rezultand concluzii false asupra naturii si structurii semnalului) .

Transformarile biliniare si patratice prezentate anterior ofera facilitati deosebite de analiza a semnalelor, inclusiv a celor nestationare . Cu toate acestea, de multe ori aceste transformari (dar nu numai ele) sufera, partial, din acest punct de vedere, intr-un grad mai mare sau mai mic, functie de tipul transformarii, tipul si lungimea ferestrei de analiza, etc . Acesta este motivul pentru care tehnicile de analiza a semnalelor prin transfomarile bilinare si neliniare s-au dezvoltat pe noi directii, una dintre acestea reprezentand-o metoda redistribuirii ("reassignment") transformarilor patratice . Aceasta metoda se poate aplica, in principiu, tuturor transformarilor patratice, dar, in cele ce urmeaza, ne vom opri asupra redistribuirii sprectrogramei; evident, rezultatul aplicarii acestei metode va fi spectrograma redistribuita .

Spectrograma redistribuita

    Spectrograma a fost prima transformare biliniara asupra careia s-a aplicat metoda redistribuirii . (Metoda a aparut, de fapt, pentru a imbunatati spectrograma . ) . Se demonstreaza ca, drept consecinta a uneia dintre proprietatile transformarii Wigner -Ville (respectiv proprietatea de conservare a produsului scalar din domeniul timp in domeniul frecventa, exprimata prin relatia lui Moyal :

    │ ∫ s₁((t) s₂ (t) dt│² = ∫ ∫ WV_s1(t,f) WV _s2 (t,f) dt df       

Spectrograma se poate exprima ca produs de convolutie bidimensional dintre WVD a semnalului si WVD a ferestrei de analiza:

    FS_s(t,f;w) = ∫ ∫ WV_s(a, )∙WV_w(t-a,f- )∙da∙d

De aceea, aceasta transformare reduce nivelul componentelor de interferenta, pastrandu-se, evident, compromisul 'rezolutie in timp-rezolutie in frecventa' . Se poate constata ca WV t a , f w ,delimiteaza un domeniu timp-frecventa in vecinatatea punctului (t,f), vecinatate in care se face o medie ponderata a valorilor WVD ale semnalului . Esenta metodei redistribuirii consta in observarea faptului nu exista nici un motiv consistent ca aceste valori sa fie distribuite simetric in jurul punctului (t,f), acest punct fiind centrul geometric al domeniului delimitat de WV_w t a , f . De aceea, media ponderata poate sa nu fie asociata punctului (t,f), ci, mai curand, centrului de gravitate al domeniului, care este mult mai reprezentativ pentru distributia locala de energie a semnalului . Astfel, prin metoda redistribuirii, se muta fiecare valoare a spectrogramei calculata in orice punct (t,f) in alt punct (t,f), care este, de fapt, centrul de gravitate al distributiei de energie a semnalului in jurul punctului (t,f) . Se arata ca una dintre cele mai interesante proprietati ale reprezentarii redistribuite este aceea ca ea foloseste si informatia de faza continuta in transformata Fourier pe termen scurt (STFT), si nu numai patratul modulului, precum spectrograma 'obisnuita' . Se mai poate demonstra, ca spectrograma redistribuita, desi nu mai este o transformare biliniara, pastreaza proprietatea de covarianta in timp si in ferecventa, precum si cea de ne-negativitate (similar WVD) .

e . Functia de incertitudine

    O functie de o importanta cu totul particulara in analiza semnalelor radar este functia de incertitudine (sau functia de ambiguitate) . Ceea ce ne intereseaza mai mult, in contextual analizei si clasificarii semnalelor de radiolocatie specifica razboiului electronic, este posibilitatea extragerii cat mai multor informatii despre semnale din reprezentarea AF, ca si relatiile dintre aceasta functie si celelalte reprezentari timp-frecventa, expuse la paragrafele anterioare . Este cunoscuta definitia functiei de incertitudine:

    AF_s( = ∫ s(t+ ∕2)∙s (t- ∕2)∙ e^{-j∙2∙ ∙f t}dt    

    Aceasta functie, cunoscuta si sub denumirea de functia de ambiguitate Sussman simetrica, poate fi privita, intre altele, si ca o masura a corelatiei timp-frecventa a semnalului s, sau, altfel spus, a gradului de similitudine dintre semnal si replica sa deplasata in timp (intarziata) si in frecventa (deviata Doppler) . Spre deosebire de variabilele 't' si 'f', care sunt coordonate 'absolute' timp-frecventa, variabilele 'τ' si ' sunt coordonate 'relative' (cunoscute sub numele de intarziere si deviatie Doppler) .

    Foarte important de subliniat este faptul ca functia de incertitudine este, de fapt, transformata Fourier bidimensionala a distributiei Wigner-Ville a semnalului:

    AF_s( = ∫ ∫ WV_s(t,f)     e^{-j∙2∙ ∙f} ∙^t)∙dt  ∙df    

Astfel AF este duala WVD in sensul transformarii Fourier, facand astfel parte din clasa lui Cohen . Aceasta face sa existe si o corespondenta intre proprietatile celor doua reprezentari .

Concluzii

    Analiza semnalelor radar este o sarcina de baza pentru sistemele de receptie electronice . Aceasta se poate face prin metode monodimensioanle si bidimensionale . Primele, presupun analiza numai in timp sau numai in frecventa si au un grad mai scazut de complexitate; tocmai in aceasta consta dezavantajul lor dar, paradoxal si avantajul acestora, oferind, in multe cazuri, o modalitate de prima evaluare si analiza rapida a semnalelor . Cea de-a doua categorie de metode, respectiv reprezentarile timp-frecventa, liniare si patratice, reprezinta instrumente puternice de analiza a semnalelor si, de aceea, sunt folosite, ori de cate ori situatia o permite, la procesarea semnalelor .

    Reprezentarile timp-frecventa se folosesc pentru ca anumite proprietati ale semnalelor apar mult mai clar in reprezentarile mixte timp-frecventa, dacat in reprezentarile "monodimensionale", in timp sau in frecventa . Este unanim acceptat faptul ca nu exista o reprezentare "universala", la fel de potrivita in toate aplicatiile . Mai mult, in situatii reale, cand categoriile de semnale nu sunt cunoscute si sunt specificate, este necesara implementarea unui algoritm care sa se poata gasi reprezentarea timp-frecventa optima in mod automat . O reprezentare timp-frecvența se alege in funcție de aplicatie si nu are un caracter de generalitate . Eforturile de cercetare sunt in prezent indreptate in directia rezolvarii problemei determinarii reprezentarii timp-frecventa optime pentru o categorie data de semnale si o sarcina specifica de analiza, problema care nu si-a gasit, pana in prezent, decat solutii partiale .

BIBLIOGRAFIE

www . pdfdatabase . com

www . scribd . com