CLASIFICAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

CLASIFICAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMATE

1. ABATERILE STATIONARE DATORITA PERTURBATIILOR DE LA INTRARE

Pentru a determina natura stabilitatii unui sistem, este suficienta ecuatia caracteristica. Atunci cand se studiaza abaterile stationare (componentele stationare ale solutiilor ecuatiilor diferentiale), este insa necesara cunoasterea functiei de intrare aplicata sistemului. Voi lua in consideratie trei tipuri de functii de intrare, adecvate penru proiectarea curenta a sistemelor automate. Aceste functii tipice de intrare sunt:

F     functia treapta de pozitie

F     functia treapta de viteza

F     functia treapta de acceleratie

in care A, v si a sunt constante. Functiile se aplica la momentul t = 0, si sunt valabile numai pentru t > 0. Voi presupune ca sistemul este stabil.

in care, K este o constanta independenta de s. Intr-o prima situatie, sa presupunem functia de transfer a caii de reactie H(s) egala cu unitatea.

In acest caz transformata Laplace a abaterii este diferenta intre marimea de iesire prescrisa X_i si cea reala X_e,

si reprezinta marimea de actionare. Deci, din relatia:

Ecuatia (1.74) mai poate fi scrisa si sub forma:

Daca x_i = A, componenta stationara a solutiei ecuatiei diferentiale este de asemenea o constanta, daca sistemul este stabil. Din punct de vedere fizic, daca marimea de intrare a servosistemului din figura 1.6, este o constanta, atunci toti termenii tranzitorii dispar in timp si marimea de iesire x_e este tot o constanta in cele din urma. Toate derivatele marimii de iesire, viteza, acceleratia, sunt nule. In regim stationar abaterea va fi tot o constanta (aceasta constanta poate fi zero).

Teorema valorii finale, sta la baza unei metode simple, de determinare a abaterii stationare. Aceasta teorema stabileste ca:

in care Y(s)=Ly(t), (L - laplacean), iar y(t) reprezinta raspunsul unui sistem stabil (adica toti polii lui Y(s) se afla in semiplanul sting). Este de retinut urmatorul fapt: valoarea functiei de timp la infinit se determina direct din functia transformata pentru s = 0.

EXEMPLU: vom calcula valoarea stationara ( t) pentru functia e(t), daca functia transformata are forma:

in care functia de transfer G(s) are urmatoarea expresie:

in acest caz, limita lui G cand s tinde catre zero este egala cu constanta K, sau:

Deoarece transformata Laplace a unei functii treapta de amplitudine A este X_i = A/s, abaterea stationara pentru o functie treapta aplicata unui sistem inchis este:

Daca tinem seama si de relatia (1.79), atunci rezulta:

In figura 1.19 s-a reprezentat variatia in timp a marimilor de intrare si de iesire pentru exemplul studiat. Atunci cand la intrare se aplica o treapta, marimea  de iesire tinde sa urmareasca acea

2. CLASIFICAREA SISTEMELOR AUTOMATE

Sistemele automate se pot clasifica: in functie de principiul de functionare, in functie de aspectul variatiei in timp a marimii de la intrare, in functie de viteza de variatie a marimii de la iesire (x_e), in functie de numarul de intrari si iesiri, in functie de natura comenzii, in functie de gradul de complexitate al schemei functionale si in functie de exponentul n al termenului in s de la numitorul lui G (relatia 1.72).

a)      In functie de principiul de functionare se deosebesc:

F     S.A conventionale de baza - supuse aceleiasi conventii x_e = x_i. La randul lor, acestea pot fi:

sisteme de urmarire, la care x_e urmareste variatia de la intrare x_i, oricare ar fi aceasta si

sisteme de reglare automata, la care x_i are o variatie predeterminata (fie constanta, fie variabila dupa o lege prestabilita).

F     S.A specializate: adaptive, optimale sau extremale.

b)      In functie de aspectul variatiei in timp a marimii de la intrare x_i (deci dupa variatia in timp impusa marimii de iesire x_e) se deosebesc:

F     sisteme de stabilizare automata - (cand x_i = ct.- de exemplu mentinerea constanta a unui parametru) - se mai numesc S.R.A cu consemn fix sau program fix;

F     sisteme de reglare automata cu program variabil (cand x_i, variaza in timp dupa o lege prestabilita, de exemplu la cuptoarele industriale pentru tratamente termice) -se mai numesc S.R.A cu consemn programat;

F     sisteme de reglare automata de urmarire -(cand x_i variaza in functie de un parametru din afara S.R.A, legea de variatie in timp a acestui parametru nefiind cunoscuta dinainte).

c)      In functie de viteza de variatie a marimii de la iesire (sau de viteza de raspuns a obiectului automatizarii) se deosebesc:

F     S.A (respectiv S.R.A) pentru procese lente (cele mai raspandite, instalatiile tehnologice industriale caracterizandu-se printr-o anumita inertie);

F     S.A (respectiv S.R.A) pentru procese rapide (cum sunt cele aplicate masinilor si actionarilor electrice - de exemplu: reglarea turatiei motoarelor, reglarea tensiunii generatoarelor etc.).

d)      In functie de numarul de intrari si de iesiri se deosebesc:

F     S.A (respectiv S.R.A) cu o singura marime de intrare si o singura marime de iesire (marimea comandata sau marimea reglata);

F     S.A (respectiv S.R.A) cu mai multe intrari si iesiri (cazul S.A de comanda sau de reglare automata multivariabile).

e)      In functie de natura comenzii se deosebesc:

F     S.A (respectiv S.R.A) cu comanda continua, la care marimea de iesire a fiecarui element component este o functie continua de marimea sa de intrare. Ele contin dispozitive de automatizare, (DA) in cazul S.A, sau regulatoare (RA) in cazul S.R.A - care sunt fie liniare, fie neliniare, in raport cu modul de dependenta al marimii de comanda, de marimea de la intrare;

F     S.A (respectiv S.R.A) cu comanda discontinua (discreta) la care, marimea de la iesirea DA (sau RA) este reprezentata de o succesiune de impulsuri de comanda (sau reglare), fie modulate in amplitudine sau durata (sistemele cu impulsuri), fie codificate (sisteme numerice).

f)       In functie de gradul de complexitate al schemei functionale:

F     S.A (respectiv S.R.A) cu un singur circuit inchis (sau o bucla de reglare);

F     S.A (respectiv S.R.A) cu mai multe circuite inchise (respectiv, cu mai multe bucle de

reglare). S.R.A cu mai multe bucle de reglare pot fi:

sisteme de reglare in cascada, care cuprind mai multe regulatoare automate, cu ajutorul carora, pe langa marimea de iesire x_e sunt reglate si alte marimi intermediare din cuprinsul instalatiei sau procesului reglat, si

sisteme de reglare combinata, in care, pe langa regulatorul automat principal se prevede unul sau mai multe regulatoare suplimentare, care intra in functiune numai la aparitia anumitor actiuni perturbatoare, in diferite puncte ale instalatiei de reglare.

g)      In functie de exponentul n a termenului in s de la numitorul lui G (relatia 1.72)

F     sistem tip 0, pentru care n=0;

F     sistem tip 1, pentru care n=1;

F     sistem tip 2, pentru care n=2;

F     sistem tip 3, pentru care n=3.

3. COEFICIENTII ABATERILOR STATIONARE

Coeficientul abaterii de pozitie - K₀

Aplic la intrarea sistemului a carui functie de transfer este data de relatia (1.72), o functie treapta de pozitie, relatia (1.69). Transformata Laplace a abaterii este: E(s)= (1.73), (pentru cazul cand H(s)=1).

Pentru a gasi valoarea de regim stationar sau valoarea finala a lui e(t), atunci cand x_i(t) este functia treapta de pozitie, trebuie sa se calculeze limita cand t.

Pe baza teoremei valorii finale, se deduce:

Dar X_i(s) = A/s si , in consecinta:

in care: K₀ - coeficientul abaterii de pozitie

Pentru un sistem tip 0 (n=0),

Pentru un sistem tip 1(sau mai mare , n1) 

iar K₀=, pentru n1.

Coeficientul abaterii de viteza - K_v

Sa consideram acum raspunsul sistemelor cu marime de intrare rampa (functia treapta de viteza, relatia (1.70)). Se utilizeaza si in acest caz functia de transfer si teorema valorii finale

in care X_i(s) = v/s² este transformata Laplace a lui x_i(t) = vt.

Simplificand relatia (1.79), se obtine:

Aceasta limita nu exista pentru n=0; adica un sistem tip 0 are marime de iesire infinita, in regim stationar, deoarece pentru n=0, rezulta:

Pentru un sistem tip 1, n=1, expresia (1.80) are o valoare finita, constanta data de:

Deci e_v / v = 1 / K_v , de unde rezulta:

Din relatiile (1.80) si (1.83) rezulta coeficientul abaterii de viteza,

iar K_v=0 pentru n=0; K_v=K pentru n=1; K_v= pentru n2.

Coeficientul abaterii de acceleratie - K_a

Pentru a determina coeficientul abaterii de acceleratie K_a , sa consideram ca marimea de intrare este o functie treapta de acceleratie (relatia (1.71) x_i=at²/2).

Transformata Laplace a acestei functii este data in ANEXA 1:

Abaterea stationara de pozitie va fi:

Tinand seama de expresia lui G(s) (relatia (1.72)), se obtine:

deoarece . Abaterea stationara de pozitie datorita unei trepte de intrare de acceleratie, e_a , este infinita atat pentru sisteme tip 0 cat si pentru cele tip1. Pentru sisteme tip 2, abaterea stationara este finita, constanta, data de:

Prin urmare, coeficientul abaterii de acceleratie, va fi:

iar K_a=0 pentru n=0; K_a=0 pentru n=1; K_a=K pentru n2.

Concluziile privitoare le abaterile stationare sunt rezumate in tabelul urmator:

Abaterile stationare

4. ABATERILE STATIONARE GENERALIZATE

Daca schema bloc prezinta o forma mai generala, ca in figura 1.20, adica daca H 1, si un bloc cu functia de transfer G₂ este adaugat la intrare, abaterile stationare au alta semnificatie. Marimea de intrare in punctul de insumare este G₂X_i , iar marimea de reactie in acelasi punct este X_eH. Marimea de actionare:

Functia de transfer a lui E ' in raport cu X_i este:

Pentru o functie treapta de pozitie de intrare (x_i=A), marimea de actionare stationara va fi:

Pentru functii treapta de viteza (x_i=vt), marimea de actionare stationara se determina din functia de transfer precum urmeaza:

In mod similar, pentru functii treapta de acceleratie (x_i=at²/2) , marimea stationara de actionare va fi data de:

Desi marimea stationara de actionare nu corespunde abaterii stationare, marimea sa va fi un criteriu de apreciere a performantelor sistemului.

5. ABATERILE STATIONARE DATORITA PERTURBATIILOR

SARCINII DE IESIRE

Perturbatiile care apar in sarcina sistemului produc de asemenea abateri stationare. Sa consideram, servosistemul din figura 1.6 (paragraful 1.1.1). Marimea de intrare este o pozitie x_i(t), iar marimea de iesire x_e(t) este o pozitie determinata de un servomotor alimentat de un amplificator, a carui marime de intrare este chiar semnalul de actionare (egal cu abaterea e=x_i - x_e). Acest sistem, cu H=1, este reprezentat prin schema bloc in figura 1.21, in care K_s reprezinta factorul de transfer al potentiometrelor de intrare si de iesire, iar A este factorul de amplificare al amplificatorului. Din punct de vedere fizic, un servosistem poate fi considerat similar unui resort de torsiune. Daca exista o abatere, motorul va dezvolta un cuplu pentru a anula abaterea. In particular, daca un cuplu este aplicat la arborele de iesire, va rezulta o abatere (e= -x_e , deoarece sistemul a fost in repaus inainte de aplicarea cuplului , este corect a se considera x_i=0). Aceasta abatere va produce o tensiune la bornele motorului care va dezvolta un cuplu pentru a echilibra cuplul aplicat.

In mod similar, daca un resort de torsiune este solicitat printr-un cuplu, resortul se va roti cu un unghi x_e , pana cand cuplul elastic Kx_e dezvoltat de resort va egala cuplul aplicat. Constanta de elasticitate a resortului K este egala cu cuplul raportat la unitatea de unghi. Pentru servosistem, cuplul raportat la unitatea de unghi este M₀ / e = K₁K_sA, unde e -abaterea stationara, e =e(t) =, unde ,   , determinata cu ajutorul functiei de transfer pentru un sistem liniar a carui functie de intrare este un cuplu, respectiv: , K₁,K₂ - constante care se pot determina din caracteristicile mecanice liniarizate, J - cuplul de inertie, iar M - transformata Laplace a cuplului perturbator. Daca cuplul este o functie diferita de o constanta, abaterea rezultata prin aplicarea acestui cuplu la arborele de iesire se poate calcula prin metode obisnuite.

6. CERINTELE DE CALITATE ALE SISTEMELOR DE

REGLARE AUTOMATE

Cerintele de calitate in domeniul frecventei.

Cerintele sistemelor de reglare automate, sunt similare cu performantele amplificatoarelor electronice realizate pe baza latimii benzii de trecere (de exemplu de la 2020000 Hz) sau a filtrelor. Cele mai multe filtre (trece-banda, trece-jos, etc.) sunt przentate in functie de caracteristica amplitudine-frecventa. Latimea benzii (figura 1.22) reprezinta domeniul de frecventa in care raspunsul in amplitudine nu scade sub 3 dB (0.707 din amplitudine) in raport cu cea corespunzatoare frecventei centrale a benzii de trecere. Ea indica in anumite limite, viteza de raspuns a sistemului. In teoria filtrelor, latimea benzii evidentiaza capacitatea sistemului de a reproduce forma semnalului de intrare. In unele cazuri se indica nu numai latimea benzii de trecere, dar si alte date suplimentare legate de taierea frecventelor. De exemplu, se indica uneori panta caracteristicii atenuare-frecventa de 12dB /octava, (octava se defineste ca intervalul in care frecventa devine dubla).

Cerinte de calitate in domeniul timp.

F     Suprareglarea maxima s , in procente din valoarea finala, masoara depasirea maxima realizata la iesire in raport cu valoarea regimului stationar la o treapta unitara de intrare.

F     Timpul de crestere t_c , definit ca timpul necesar raspunsului la o treapta unitara sa creasca de la 10 la 90 procente din valoarea finala.

F     Timpul de linistire t_l , definit ca timpul necesar ca raspunsul sa atinga iar valoarea finala dupa parcurgerea suprareglarii maxime.

F     Factorul de amortizare x, este definit prin relatia (1.19), poate fi calculat din raspunsul in timp, atunci cand se cunoaste raportul a doua maxime succesive A₁ si A₂ (figura 1.23).