Circuit cu rezistor si condensator (RC)

Circuit cu rezistor si condensator (RC)

Se considera un circuit format dintr-o sursa de alimentare, o rezistenta de valoare R si un condensator de capacitate C (Fig. 14.1). Pentru a putea incarca si descarca condensatorul, circuitul mai contine comutatorul k.

Figura 14.1

Daca comutatorul k este in pozitia 1 atunci armatura superioara a condensatorului se incarca cu sarcina pozitiva si bineinteles armatura inferioara cu sarcina negativa.

Este interesant de studiat viteza de incarcare a condensatorului pana la atingerea starii stationare. In acest scop, la momentul t, se scrie legea a II-a a lui Kirchhoff pentru circuitul considerat:

(14.1)

unde U_R si U_C sunt respectiv caderile de tensiune la bornele rezistentei si condensatorului la momentul t si Q este sarcina de pe armaturi.

Considerand o suprafata S ce contine armatura superioara a condensatorului, ecuatia de continuitate conduce la relatia:

(14.2)

In relatia (14.2) semnul + apare datorita faptului ca sarcina din interiorul suprafetei S creste, deci condesatorul se incarca. Inlocuind (14.2) in (14.1) se obtine:

(14.3)

Relatia (14.3) este o ecuatie diferentiala de ordinul intai cu variabile separabile, deci se poate scrie:

de unde, prin integrare, se obtine:

In final:

(14.4)

Din relatia precedenta se constata ca pentru t=0, se obtine Q(0)=0, iar pentru , adica valoarea maxima a sarcinii condensatorului ce se incarca sub tensiunea E. Reprezentarea grafica a acestei legi este prezentata in figura 14.2.

Tinand cont de relatia (14.4), viteza de crestere a sarcinii condensatorului este:

(14.5)

si scade cu timpul. La momentul initial (t=0), viteza de crestere a sarcinii condensatorului este:

(14.6)

Figura 14.2

Ecuatia tangentei in origine la curba (14.5) se obtine prin integrarea relatiei (14.6) si se obtine:

(14.7)

Din relatia (14.7) se constata ca daca sarcina acumulata pe armaturile condensatorului ar creste cu viteza initiala, aceasta ar ajunge la valoarea maxima in timpul determinat de valorile rezistentei si capacitatii. Acest timp se numeste constanta de timp a circuitului RC.

Inlocuind in (14.5) timpul cu valoarea constantei de timp se obtine:

deci constanta de timp reprezinta timpul in care sarcina condensatorului ajunge la 0,63 din sarcina maxima.

Tinand seama de definitia intensitatii curentului prin circuit (14.2), se constata ce viteza de variatie a sarcinii (14.5) se poate scrie sub forma:

(14.8)

unde I₀=E/R este intensitatea curentului prin circuit la momentul t=0. Forma grafica a relatiei (14.8) este prezentata in figura 14.3. Inlocuind in (14.8) constanta de timp se obtine .

Figura 14.3

Impartind relatia (14.4) la C se obtine:

(14.9)

Figura 14.4 reprezinta graficul variatiei tensiunii U_C.

Figura 14.4

Este evident acum ca incarcarea unui condensator de la o sursa de tensiune se desfasoara astfel: la momentul initial condensatorul C nu este incarcat, intreaga tensiune cazand pe rezistenta R si determinand curentul maxim posibil. Atunci cand condensatorul incepe sa se incarce, diferenta de potential la bornele rezistentei scade iar cea de la bornele condensatorului creste. In final, la atingerea regimului stationar, sarcina pe armaturi si tensiunea la bornele condensatorului devin maxime, iar intensitatea curentului prin circuit devine nula.

In cursul procesului de incarcare, prin baterie trece sarcina totala . Pentru deplasarea acestei sarcini se efectueaza lucrul mecanic:

(14.10)

La echilibru, energia inmagazinata in condensator este:

(14.11)

deci jumatate din lucrul mecanic efectuat. Cealalta jumatate din lucrul mecanic efectuat se pierde, prin efect Joule, in rezistor. Intr-adevar, energia disipata in rezistor in intervalul dt este:

(14.12)

Integrand intre t=0 si , energia disipata in rezistor devine:

(14.13)

Deci, independent de valoarea rezistentei si a capacitatii, in procesul de incarcare a condensatorului prin rezistor, sub tensiune constanta, jumatate din energie este pierduta prin efect Joule si jumatate inmagazinata in energia electrica a condensatorului.

Deplasand comutatorul k din pozitia 1 in pozitia 2 sursa este decuplata de la circuit. In circuit are loc neutralizarea sarcinilor de semn opus de pe armaturile condensatoarelor. Se spune ca avem de-a face cu descarcarea condensatorului prin rezistenta.

In lipsa sursei, ecuatia (14.3) devine:

(14.14)

Integrand ecuatia intre momentele t=0 (condensator incarcat la maximum) si un moment oarecare t, se obtine:

de unde

(14.15)

Tensiunea la bornele condensatorului va fi:

(14.16)

iar curentul din circuit este:

(14.17)

Semnul minus din relatia precedenta apare pentru a arata ca acesta este opus sensului curentului din procesul de incarcare.

Variatiile sarcinii, tensiunii la bornele condensatorului si ce a curentului prin circuit sunt prezentate grafic in figura (14.5).

Figura 14.5