Filtre Cebasev

Filtre Cebasev

Aproximarea in sens Cebasev consta in determinarea functiei de transfer care sa admita o repartitie uniforma de tip mini-max a erorii in intervalul de aproximare (Fig.1.10 b).

Daca aproximarea se realizeaza :

- in banda de trecere se obtin filtre de tip Cebasev ;

- in banda de blocare se obtin filtre de tip Cebasev invers;

- atat in banda de trecere cat si in cea de blocare se obtin filtre de tip Cauer-Cebasev numite si filtre eliptice.

In continuare se vor studia F.T.J. de tip Cebasev. In acest caz pentru a obtine o distributie de tip mini-max a erorii functia aproximanta este :

= (1.45)

unde este un polinom Cebasev de ordinul n si unde pentru frecventa normata s-a omis indicele inferior.

Polinoamele Cebasev sunt polinoame rationale definite in domeniul frecventa prin relatia de recurenta :

;

Din relatia de mai sus rezulta :    (1.46)

In Fig.1.13 sunt reprezentate grafic polinoamele Cebasev de ordin 1,2 si 3 , respectiv patratul acestora.

Fig. 1.13

Din Fig. 1.13 se observa ca in intervalul de aproximare -11 polinoamele Cebasev aproximeaza cu o eroare mini-max de valoarea 0 . Polinomul are n zerouri in intervalul de aproximare si n+1 extreme alternand ca semn. In afara intervalului de aproximare panta de crestere (descrestere) este cu atat mai mare cu cat n e mai mare. Se poate arata ca nu exista alt polinom de grad n care sa aproximeze zeroul in intervalul[-1,1] cu o eroare mai mica decat 1 si sa aiba o panta de crestere sau scadere mai mare in afara acestui interval . In acest sens polinoamele Cebasev sunt optime. Pe baza reprezentarii din Fig. 1.13.b a polinoamelor se obtin in Fig. 1.14 a graficele functiilor aproximante date de (1.45) pentru n=2 si n=3.

In banda de trecere eroarea este:

iar valoarea maxima a acestei erori se obtine pentru max []=1 adica: .

Functia aproximanta (Fig. 1.14 a) variaza intre limitele:

H_max=1 ; H_min=1-

luand la valorile H_max sau H_min dupa cum n este par sau impar si valoarea H_min la .

Tinand seama de (1.45) atenuarea este :

(1.47)

In banda de blocare iar la frecvente foarte mari comportarea lui este in principal data de termenul avand rangul cel mai mare si care asa cum rezulta din (1.46) este de forma

In aceste conditii (1.47) devine:

.

Dimensionarea functiei aproximante (1.45) , adica alegerea parametrilor si n se face plecand de la gabaritul filtrului reprezentat in Fig. 1.14.b . In aceeasi figura s-a reprezentat grafic si caracteristica de atenuare a unui filtru Cebasev de ordinul 3.

Fig. 1.14

Pentru filtrele tip Cebasev se alege frecventa extrema a benzii de trecere egala cu frecventa de taiere , adica si deoarece , din (1.47) rezulta:

a_M=10log(1+)

de unde se obtine prima relatie de dimensionare:

(1.48)

Atenuarea minima in banda de blocare se obtine la limita inferioara a acesteia : si tinand seama de (1.47) rezulta:

.

de unde explicitand patratul polinomului Cebasev de ordin n se obtine:

.

Daca in relatia de mai sus se inlocuieste dedus anterior prin (1.48) si se extrage radacina patrata se obtine:

(1.49)

Deoarece la frecvente inalte comportarea lui este dictata de termenul rezulta:

Tinand seama de aproximatia de mai sus si folosind notatiile (1.41) introduse in paragraful anterior, (1.49) devine:

ceea conduce la a doua relatie de dimensionare:

n (1.50)

unde pentru n se alege cea mai mica valoare intreaga ce satisface relatia de mai sus.

In concluzie functia (1.45) determina un F.T.J. de tip Cebasev realizabil fizic si care aproximeaza F.T.J. ideal cu o precizie impusa prin gabaritul filtrului (Fig. 1.14 b).

In expresia functiei aproximante (1.45) intervin doi parametrii si n , ceea ce permite dimensionarea acesteia in mod independent prin cerintele impuse in banda de trecere si respectiv in banda de blocare . Intr-adevar cu relatia (1.48) se determina plecand de la atenuarea maxima admisa in banda de trecere iar cu relatia (1.50) se determina n functie de atenuarea minima impusa in banda de blocare.