Notiuni despre modulatia semnalelor

NOTIUNI DESPRE MODULATIA SEMNALELOR

1 Notiuni introductive privind modulatia semnalelor

Pentru transmiterea semnalelor se utilizeaza canale de comunicatii cu fir sau fara fir (transmisiile radio, de televiziune etc). In general semnalele transmise ocupa o banda de frecventa mult mai mica decat cea pe care o poate asigura canalul de telecomunicatii. De exemplu semnalul vocal are un spectru de frecventa sub 4 KHz in timp ce cablul bifilar asigura o banda de frecventa de ordinul sutelor de KHz, cablul coaxial permite transmiterea unei benzi de frecventa de ordinul sutelor de MHz iar pentru cablul optic banda de frecventa este de ordinul sutelor de GHz.

Pentru a folosi la intreaga capacitate un canal de telecomunicatii se impune transmiterea simultana a mai multor semnale de banda limitata pe acelasi circuit fizic. Acest lucru nu este posibil fara o interferenta, intre semnale, astfel incat la receptie ele ar fi imposibil de separat.

Transmiterea simultana a mai multor semnale pe un acelasi circuit fizic este posibila prin folosirea modulatiei deoarece aceasta permite deplasarea in frecventa a spectrelor diverselor semnale evitandu-se astfel suprapunerea lor.

In teoria propagarii undelor electromagnetice se arata ca, pentru ca un semnal sa poata fi emis cu un randament acceptabil, antena trebuie sa aiba o lungime de cel putin 1/10 din lungimea de unda corespunzatoare frecventei minime din spectrul acelui semnal. Lungimea de unda , corespunzatoare unui semnal armonic se defineste ca fiind spatiul parcurs de frontul de unda intr-o perioada de oscilatie a semnalului.

Rezulta ca transmiterea semnalului vocal de exemplu ar necesita antene cu lungimea de ordinul kilometrilor. Procesul de modulatie permite deplasarea spectrului semnalului de transmis in domeniul frecventelor inalte si deci folosirea unor antene cu dimensiuni rezonabile.

In procesul de modulatie intervin urmatoarele semnale:

semnalul x(t) ce contine informatia de transmis, numit semnal modulator;

semnalul x_P(t) asupra caruia se transfera informatia, numit purtator;

semnalul x_M(t) rezultat prin actiunea semnalului modulator asupra purtatorului, numit semnal modulat.

Modulatia consta in stabilirea unei dependente, in general liniare intre un parametru al purtatorului x_P(t) si semnalul modulator x(t).

Este indicat ca aceasta dependenta sa fie liniara pentru ca in acest caz prin operatia inversa numita demodulare se poate obtine simplu semnalul util x(t) din semnalul modulat x_M(t).

Dupa natura semnalului purtator x_P(t) exista:

- modulatie cu purtator armonic;

- modulatie cu purtator in impulsuri;

Semnalul purtator armonic este dat de relatia:

x_P(t) = A_P cos(W_Pt+F_P (1)

in care intervin trei parametri: amplitudinea A_P, pulsatia W_P pf_P si respectiv faza initiala F_P

Fiecare din acesti trei parametri poate prelua variatiile semnalului modulator x(t) de unde rezulta urmatoarele tipuri de modulatie cu purtator armonic:

- modulatie de amplitudine (MA);

- modulatie de frecventa (MF);

- modulatie de faza (MP).

Modulatia cu purtator in impulsuri foloseste ca semnal purtator o succesiune de impulsuri periodice ca cea din fig. 1.

Fig. 1 Purtator in impuls

In acest caz purtatorul x_P(t) este definit prin patru parametri: amplitudinea A_P a impulsurilor, frecven;a F_P = 1/T_P a impulsurilor, poizitia acestor impulsuri t_P pe axa timpului si durata t_P a acestora.

Corespunzator exista urmatoarele tipuri de modulatie cu purtator in impulsuri:

- modulatia impulsurilor in amplitudine (MIA);

- modulatia impulsurilor in durata (MID);

- modulatia impulsurilor in pozitie (MIP);

- modulatia impulsurilor in frecventa (MIF);

Modificarea frecventei F_P a impulsurilor implica modificarea pozitiilor si deci MIF poate fi considerata ca o MIP.

Specific pentru modulatia de impulsuri este faptul ca oricare din cei patru parametri ai purtatorului x_P(t) depinde de valorile pe care le ia semnalul modulator x(t) presupus continuu (analogic) la momente discrete de timp in care sunt plasate impulsurile purtatorului.

Pentru a nu se pierde din informatia continua a semnalului modulator x(t) trebuie ca perioada de receptie T_P a impulsurilor purtatorului sa indeplineasca conditia lui Nyquist :

(2)

unde f_Meste frecventa maxima a spectrului semnalului modulator presupus de banda limitata. In continuare, pentru tipurile de modulatie prezentate anterior se vor folosi abrevierile cu majuscule din paranteze.

Modulatia de amplitudine cu purtator armonic

In cazul modulatiei de amplitudine cu purtator armonic amplitudinea instantanee a semnalului modulat x_MA(t) depinde liniar de semnalul modulator x(t) conform relatiei:

A(t) = A_P + K x(t)    (3)

Rezulta ca semnalul modulat in amplitudine este:

x_MA(t) = [A_P + K x(t)] cos (W_P t + F_P (4)

Fara a efectua calitativ rezultatele finale se poate considera F_P = 0 caz in care relatia (2) devine:

x_MA(t) = [A_P + K x(t)] cos W_P t (5)

In fig. 2a sunt reprezentate un semnal modulator oarecare x(t), semnalul purtator cosinusoidal, semnalul modulat in amplitudine pentru K = 1.

Se observa ca informatia semnalului modulator x(t) se transfera anvelopei semnalului modulat reprezentata punctat. Pentru reproducerea exacta a formei semnalului x(t) se impune ca:

DA = K max x(t) A_P (6)

Din (5) se obtine functia densitate spectrala a semnalului MA:

Tinand seama de proprietatile de deplasare a spectrului a transformatei Fourier:

si relatia

in final se obtine densitatea spectrala a semnalului modulat in amplitudine:

(7)

In figura 2 sunt reprezentate formele de unda si functiile densitate spectrala ale semnalului modulator si semnalului modulat in amplitudine.

Asocierea formelor de unda x(t) si a densitatilor spectrale X(w) din figura de mai sus este conventionala. Din relatia (7) rezulta ca reprezentarea in domeniul frecventa a semnalului MA contine purtatoarea (cele doua impulsuri Dirac localizate la + W_P corespund semnalului purtator cosinusoidal cu pulsatia W_P) si doua benzi laterale superioara si respectiv inferioara simetrice in raport cu purtatoarea. In fiecare din aceste benzi se regaseste spectrul semnalului modular deosebirea fiind ca in banda superioara ordinea in frecventa a componentelor este naturala iar in banda inferioara este inversata.

Considerand semnalul modulator de banda limitata B = w w j w rezulta ca semnalul MA ocupa o banda dubla B_MA = 2w . In figura 2 doar axa frecventelor pozitive are sens fizic si de aceea latimea benzilor de frecventa se determina pe aceasta axa. Modulatia realizata conform relatiei (4) este de tipul modulatiei de amplitudine cu purtatoare si doua benzi laterale notata prescurtat MA(P + 2BL).

Fig. 2 a) Semnaulul modulator b) semnalul modulat in amplitudine si densitatile spectrale ale c) semnalului modulator si d) semnalului modulat

Pentru a defini gradul de modulatie al unui semnal MA este util sa se determine si sa se reprezinte grafic spectrul de amplitudini al semnalului x_MA(t) atunci cand semnalul modulator este de tip cosinusoidal:

x(t) = a₀ cos w t (8)

Plecand de la (5) si folosind (8) semnalul MA devine:

x_MA(t) = (A_P + Ka₀ cos w t) cos W t = A_P (1 + m cos w t) cos W t (9)

In relatia de mai sus parametrul definit prin:

(10)

se numeste grad de modulatie si pentru K si A_P constante este proportional cu amplitudinea semnalului modulator.

In figura 3 sunt reprezentate grafic semnalul modulator, purtatoarea si respectiv semnalul modulat in amplitudine.

Fig. 3 a) Semnal cosinusoidal modulator b) purtatorul cosinusoidal si

c) semnal modualt in amplitudine

Din (8) rezulta amplitudinile maxima si minima ale semnlului MA:

A_M = A_P (1+m)

A_m = A_P (1- m)

In functie de care se poate exprima gradul de modulatie:

(11)

Relatia (11) permite determinarea experimentala a gradului de modulatie prin vizualizarea pe osciloscop a semnalului MA.

Pentru a putea recupera semnalul x(t) prin detectie de anvelopa conditia (6) devine in acest caz:

m (12)

Din relatia (9) prin transformari simple rezulta:

(13)

si deci spectrul de amplitudini al semnalului MA cu modulator armonic contine o componenta centrala de frecventa si amplitudine egale cu ale purtatoarei si doua componente laterale de amplitudine m A_P/2 dispuse simetric fata de componenta centrala la frecventele W_P w

Reprezentarea spectrelor de amplitudini ale modulatorului, purtatoarei si respectiv semnalului MA este data in figura 4.

Fig. 4 Spectrele de amplitudine ale a) semnalului modulator b) purtatorului si c) semnalului modulat in amplitudine

Asa cum se poate observa din figura de mai sus, banda de frecventa B_MA=2w ocupata de semnalul MA este dubla fata de cea a semnalului modulator. Daca semnalul modulator x(t) se transfera direct asupra amplitudinii purtatorului, relatia (3) devine:

A(t) = A_P K x(t) (14)

iar din (5) se obtine:

x_MA(t) = A (t)cos W_Pt = A_P K x(t) cos W_Pt (15)

Modulatia de amplitudine realizata conform relatiei (15) se numeste modulatie de produs. Functia densitate spectrala corespunde semnalului MA de produs rezulta imediat:

(16)

Comparand relatiile (7) si (16) se observa ca in spectrul de frecventa al semnalului MA de produs nu mai apare purtatoarea.

Din acest motiv MA de produs se mai numeste si MA cu purtatoarea suprimata notata prescurtat MA (2BL).

Pentru exemplificare se poate determina si reprezenta grafic spectrul de amplitudini al semnalului MA de produs atunci cand semnalul modulator este cosinusoidal.

Inlocuind relatia (8), ce defineste semnalul modular in (14) se obtine:

A(t) = A_P K a₀ cos w t

de unde rezulta semnalul MA de produs:

x_MA(t) = A_P K a₀ cos w t cos W_Pt (17)

Din (17) prin transformari trigonometrice rezulta:

(18)

Relatia de mai sus arata ca spectrul semnalului MA de produs contine doua componente laterale de amplitudine proportionala cu produsul amplitudinilor modulatorului si respectiv purtatoarei dispuse simetric la pulsatiile W_P w iar componenta corespunzatoare purtatoarei lipseste.

In figura 5 sunt reprezentate semnalul modulator, purtatoarea si semnalul MA de produs pentru cazul semnalului modulator cosinusoidal.

Fig. 5 Modulatia de produs cu modulator cosinusoidal

Din figura 5 rezulta urmatoarele caracteristici ale MA de produs: infasurarea semnalului MA nu reproduce forma semnalului modulator motiv pentru care reconstituirea acestuia nu este posibila prin detectie de anvelopa iar pentru a evita discontinuitatile semnalului MA se impune ca momentele de trecere prin zero ale modulatorului si purtatoarei sa coincida

Din relatia (16) rezulta ca ambele benzi laterale ale semnalului MA de produs reproduc spectrul semnalului modulator fara distorsiuni.

Prin urmare pentru reproducerea semnalului modulator este suficienta transmiterea unei singure benzi laterale. Banda laterala aleasa poate fi selectata cu ajutorul unui filtru trece banda la iesirea caruia se obtine semnalul MA cu banda laterala unica, notat prescurtat MA (BLU).

Modulatia de frecventa si de faza cu purtator armonic

Semnalul armonic dat de (1) este caracterizat de trei parametri constanti in timp si anume amplitudinea, frecventa si faza initiala. In cazul semnalului armonic generalizat acesti trei parametri pot sa fie variabili in timp.

In paragraful anterior s-a folosit notiunea de amplitudine variabila. In continuare se considera ca variabile in timp frecventa si respectiv faza.

Se defineste semnalul armonic generalizat prin:

x_P(t) = A_P(t) cos F(t) (19)

unde F(t) reprezinta faza semnalului armonic la un moment dat si se numeste faza instantanee a acestuia.

Frecventa instantanee a semnalului armonic la un moment se defineste ca viteza de variatie a fazei in timp:

(20)

Din (20) rezulta ca, daca se cunoaste frecventa instantanee, faza instantanee a semnalului armonic generalizat se obtine prin integrare:

(21)

Semnalul armonic (1) se caracterizeaza prin aceea ca faza instantanee este o functie liniara de timp F(t) = W_Pt + F_P iar frecventa instantanee este, asa cum rezulta din (20), constanta in timp W(t) = W_P

In cazul modulatiei de frecventa se stabileste o dependenta liniara intre frecventa instantanee a semnalului MF si semnalul modulator x(t) conform:

W(t) = W_P + K x(t) (22)

Folosind relatia (21) se determina faza instantanee a semnalului MF:

si neglijand constanta de integrare F₀ din (19) pentru A_P(t) = A_P rezulta:

(23)

Evaluarea functiei densitate spectrala pentru semnalul MF dat de (23) este dificila in cazul unui semnal modulator oarecare x(t).

Pentru simplificare se considera ca semnalul modulator este armonic cosinusoidal dat de (8), rezultate astfel obtinute fiind concludente pentru proprietatile modulatiei de frecventa.

In acest din urma caz din (22) se obtine fecventa instantanee:

W(t) = W_P + Ka₀ cos w t = W_P DW cos w t

reprezentata grafic in figura 6.

Fig. 6 Variatia frecventei instantanee a semnalului MF cu semnal modulator cosinusoidal

Marimea data de relatia:

DW = Ka₀ = max [W(t)] - W_P (24)

se numeste deviatia de frecventa a semnalului MF si masoara deviatia maxima a frecventei instantanee fata de frecventa purtatoarei.

Din relatia (23) cu notatia (24) se obtine expresia semnalului MF pentru un semnal modulator armonic:

(25)

Folosind relatia:

(26)

care defineste indicele de modulatie de frecventa, (25) devine:

x_MF(t) = A_P cos(W_Pt + b sin w t) (27)

Relatia de mai sus se poate scrie sub forma:

x_MF(t) = A_P cos W_Pt cos (b sin w t) - A_P sin W_Pt sin (b sin w t) (28)

Functiile cos(b sinw t) si sin(b sinw t) sunt functii periodice de perioada 2p w , para si respectiv impara.

Aceste functii se pot descompune deci in serie Fourier trigonometrica:

(29)

Coeficientii dezvoltarilor in serie Fourier din (29) reprezinta dublul valorilor functiilor Bessel J_n(x) de speta intai. Functiile Bessel de speta intai si de ordin de la 0 la 4 sunt reprezentate grafic in figura

Fig. 6 Functiile Bessel de speta intai pana la ordinul 4

Inlocuind relatia (29) in (28) se obtine:

Dezvoltand produsele trigonometrice rezulta:

de unde prin unificarea celor doua sume se obtine in final:

(30)

Relatia (30) evidentiaza faptul ca spectrul de amplitudini al semnalului MF, in cazul semnalului modulator armonic, contine purtatoarea si doua benzi laterale cu un numar infinit de componente simetrice fata de frecventa purtatoare W_P si plasate la distanta w₀ una fata de alta, spre deosebire de spectrul (13) al semnalului MA care, pentru acelasi semnal modulator armonic, contine doar purtatoarea si doua componente laterale.

Banda efectiva ocupata de semnalul MF se reduce la numarul N de perechi de componente simetrice fata de W_P care contin 99% din puterea acestuia. Se demonstreaza ca acest numar este dat de relatia aproximativa:

N b

si deci banda efectiva a semnalului MF este:

B_MF b w (31)

Spectrul de amplitudini al semnalului MF corespunzator relatiei (30) este reprezentat in figura 8.

Fig. 8 Spectrul semnalului MF cu modulator cosinusoidal

Se observa ca purtatoarea continuta in spectrul semnalului MF de amplitudine A_P J₀(b) nu are intotdeauna cea mai mare amplitudine ca in cazul semnalului MA, ba mai mult pentru valorile lui b pentru care J₀(b) intereseaza axa absciselor purtatoarea lipseste din spectru.

Pentru b<<1 sau asa cum rezulta din (26) pentru DW<<w (31) devine:

B_MF w (32)

Relatia (32) corespunde semnalului MF de banda ingusta caz in care (30) se reduce la:

(33)

deoarece pentru b<<1 atunci cand n >1 rezulta J_n(b j

Rezulta ca semnalul MF de banda ingusta are spectrul de amplitudini si banda efectiva asemanatoare celor de la semnalul MA. In cazul semnalului modulator de banda larga (b>>1) tinand cont de (26) relatia (31) devine:

B_MF bw DW (34)

ceea ce arata ca in acest caz banda efectiva a semnalului MF nu depinde de frecventa w a semnalului modulator ci doar de deviatia de frecventa DW = Ka₀, deci in ultima instanta de amplitudinea semnalului modulator.

Pentru exemplificare se considera purtatoare x_P(t) = cos2pf_Pt cu f_P = 20KHz modulata de semnalul armonic x(t) = cos2pf_P t astfel incat Df = 2KHz., pentru care se determina si se reprezinta grafic spectrul semnalului MF atunci cand f₀ = 2Kfz si respectiv f₀ = 4KFz

Indicele de modulatie de frecventa este dat de relatia:

si are valorile b = 1 respectiv b

Din tabele cu functii Bessel rezulta pentru cele doua cazuri:

a) b J₀ 0,8 J₁ 0,5 J₂ J_n 0 pentru n>2

b) b J₀ 0,98 J₁ J_n 0 pentru n>1

Spectrele de amplitudini corespunzatoare cazurilor a) si respectiv b) sunt reprezentate in figura 9.

Asa cum se poate observa din fig. 9, banda efectiva a semnalului MF este aceiasi B = 8 KHz desi frecventa semnalului modulator difera.

Egalitatea provine din faptul ca pentru cazul a) banda efectiva se determina cu formula generala (31) iar pentru cazul b) banda efectiva se determina cu formula (32) considerand b<<1.

Fig. 9 Spectrele semnalului MF pentru a) f₀ = 2Kfz si b) f₀ = 4KFz

In cazul modulatiei de faza se stabileste o dependenta liniara intre faza instantanee a semnalului MP si semnalul modulator x(t) conform:

F(t) = W_Pt + F_P + K x(t) (35)

La fel ca in cazul MF in relatia de mai sus se considera, pentru simplificare ca faza initiala este nula F_P=0 iar semnalul modulator este armonic dar de data aceasta sinusoidal:

x(t) = a₀ sin w t

Din relatia (6.35) se obtine:

F(t) = W_Pt + Dj sin w t (36)

in care:

Dj = Ka₀ (37)

reprezinta deviatia de faza. Inlocuind relatia (36) in (19) pentru cazul in care A_P(t) = A_P rezulta expresia semnalului MP:

x_MP(t) = A_P cos(W_Pt + Dj sin w t) (38)

Comparand relatiile (6.38) si (6.27) se constata ca daca prin analogie cu MF se noteaza:

a Dj

unde a este numit indice de modulatie de faza cele doua relatii sunt similare si deci (38) devine:

x_MP(t) = A_P cos (W_Pt + a sin w t) (39)

Deosebirea este ca in timp ce pentru MF, a Dj este chiar deviatia de faza. Rezulta ca toate consideratiile privind spectrul de amplitudini si banda efectiva ale semnalului MF raman valabile si pentru MP.

Astfel pentru spectrul de amplitudini al semnalului MP din (30) obtinem:

(40)

Pentru banda efectiva de frecventa din (31) rezulta:

B_MP a w (41)

In cazul MP de banda ingusta, a<< 1 si (6.41) devine:

B_MP w

relatie similara cu (32) pentru MF de banda ingusta.

In cazul MP de banda larga, a>>1 si (6.41) devine:

B_MP a w Djw (42)

de unde rezulta ca spre deosebire de MF de banda larga caracterizata de relatia (6.34) banda efectiva a semnalului MP depinde de frecventa semnalului modulator.

4 Comparatie intre metodele de modulatie cu purtator armonic

O prima comparatie intre avantajele si dezavantajele pe care le prezinta poate fi facuta pentru cele trei tipuri de modulatie de amplitudine descrise in paragraful 2.

Modulatia de amplitudine cu purtator si doua benzi laterale MA (P+2 BL) permite extragerea simpla prin detectie de anvelopa a semnalului modulator de informatie, in schimb banda de frecventa ocupata de semnalul MA este relativ mare si anume dubla fata de banda semnalului urmator, ceea ce constituie un dezavantaj.

In plus eficienta transmisiei, considerata ca raport intre puterea utila a componentelor semnalului modulator si puterea totala a semnalului MA (P+ 2 BL), este redusa. Intr-adevar daca se analizeaza cazul semnalului modulator armonic din (13) rezulta:

(43)

Acest raport este maxim atunci cand indicele de modulatie m este unitar, caz in care conditia (12) este indeplinita la limita si:

Rezulta ca pentru MA (P+ 2 BL) eficienta transmisiei este cel mult 33%. Modulatia cu purtator suprimat MA (2 BL) prezinta avantajul unei eficiente 100% asa cum rezulta din (43) pentru un semnal modulator armonic, banda de frecventa ocupata fiind aceeasi ca pentru semnalul MA (P+2BL). In plus prin suprimarea purtatoarei se reduce si puterea la emisie.

Principalul dezavantaj al acestui tip de MA il constituie complicarea extragerii semnalului modulator din semnalul MA datorita necesitatii de refacere la receptie a purtatoarei.

Modulatia de amplitudine cu banda laterala unica MA (BLU) prezinta ca principal avantaj reducerea benzii de frecventa la jumatate fata de semnalele MA (P+ 2 BL) si MA (2 BL) si in afara de acestea si micsorarea puterii la emisie fata de MA (2 BL) dar in schimb reconstituirea semnalului modulator la receptie necesita la fel ca pentru MA(2BL) generarea locala a purtatoarei.

Relatiile (34) si (42) redate mai jos:

B_MF b w D W

B_MP a w D j w

permit o comparatie a semnalelor MF si respectiv MP de banda larga. Astfel daca pentru semnalul MF banda necesara la transmisie este aproximativ constanta in raport cu frecventa semnalului modulator, pentru semnalul MP banda necesara este direct proportionala cu frecventa semnalului modulator.

Astfel daca se considera un semnal modulator de banda limitata [w_mw_M] pentru MF benzile de frecventa ocupate in urma modularii de diversele componente ale semnalului modulator sunt egale iar pentru MP acestea sunt proportionale cu frecventa componentelor, astfel ca de exemplu banda ocupata in urma modularii in faza de frecventa superioara w_M este mai mare fata de cea ocupata de frecventa inferioara w_M a spectrului semnalului modulator.

Rezulta ca banda de frecventa a canalului de transmisiuni care trebuie sa fie acoperitoare pentru banda semnalului MP nu este eficient utilizata de componentele de joasa frecventa ale semnalului modulator.

Plecand de la (22) si (35) si folosind relatiile (20) si (21) se obtin expresiile frecventei si respectiv fazei instantanee pentru semnalele MF si MP:

(44)

Analizand relatiile (44) se observa ca:

modulatia de frecventa este o modulatie de faza pentru care faza instantanee nu variaza proportional cu semnalul modulator x (t) ci cu integrala acestuia;

modulatia de faza este o modulatie de frecventa la care frecventa instantanee variaza liniar cu derivata semnalului modulator si nu proportional cu acesta.

Rezulta ca integrand semnalul modulator x(t) si moduland in faza purtatoarea se obtine semnalul modulat in frecventa cu x(t), iar diferentiind semnalul x(t) si moduland in frecventa purtatoarea se obtine semnalul modulat in faza cu x(t).

Capacitatea C a unui canal de transmisiuni reprezinta cantitatea de timp si se exprima prin relatia:

(45)

unde B este latimea de banda a canalului, P_s este puterea medie a semnalului util iar P_z puterea medie a zgomotului.

Relatia (45) permite o clasificare a diverselor metode de modulatie din punct de vedere a posibilitatii de protectie impotriva perturbatiilor. Din (45) se observa ca se poate obtine aceeasi cantitate de informatie transmisa fie folosind un semnal de banda ingusta si realizand un raport semnal/zgomot mare fie cu un semnal de banda larga in conditiile asigurarii unui raport semnal/zgomot mic.

Asa cum s-a aratat in paragrafele anterioare pentru un semnal modulator dat banda efectiva a semnalului modulat in cazul MP si MF este mai mare decat in cazul MA. Acest dezavantaj este compensat prin mai buna protectie impotriva perturbatiilor pe care o ofera semnalele MF si MP fata de cele MA. In plus puterea la emisie este mai redusa pentru semnalele MF si MP in comparatie cu cea necesara semnalelor MA.

Asa cum s-a aratat anterior in cazul MP frecventele inferioare ale semnalului modulator ocupa prin modulatie benzi de frecventa mai mici decat cele ocupate de frecventele superioare. Rezulta ca spre deosebire de MF,MP asigura o protectie mai slaba impotriva perturbatiilor pentru componentele de joasa frecventa din spectrul semnalului modulator.

Modulatia impulsurilor in amplitudine

Asa cum se poate observa din figura 10, modulatia in amplitudine a impulsurilor (MIA) reprezinta de fapt o esantionare a semnalului modulator x(t) cu purtatoarea in impulsuri x_P(t).

Spre deosebire de esantionarea ideala, care foloseste pentru esantionare functia delta periodica d_T t), in cazul MIA esantionarea se realizeaza cu o succesiune de impulsuri cu durata t 0 si perioada T, redata in figura 10b.

Semnalul MIA din figura 10c se caracterizeaza prin faptul ca amplitudinea impulsurilor urmareste variatia instantanee a semnalului modulator x(t) pe durata t a acestora. Acest tip de MIA se numeste naturala (MIAN).

In practica la iesirea circuitelor numerice care realizeaza esantionarea semnalului modulator x(t), impulsurile nu urmaresc variatia instantanee a acestuia ci iau valoarea x(kT) a lui in momentul sondarii pentru intreaga durata t a impulsurilor purtatoarei. Acest tip de modulatie a impulsurilor in amplitudine se numeste uniforma (MIAU) si este redata in figura 10d.

Asa cum se observa din figura 10c, MIA naturala este o modulatie de si deci expresia in timp a semnalului MIAN este:

x_MIAN(t) = x(t) x_P(t) (46)

Fig. 10 a) Semnalul modulator b) purtatorul in impuls c) semnal cu modulatie in impuls naturala si d) ) semnal cu modulatie in impuls uniforma

Functia densitate spectrala a semnalului MIAN se obtine din (46) aplicand transformata Fourier si folosind teorema convolutiei in frecventa:

(48)

Semnalul periodic in impulsuri x_P(t) se poate dezvolta in serie Fourier exponentiala:

(49)

unde W p /T. Aplicand transformata Fourier directa relatiei de mai sus se obtine functia densitate spectrala a purtatoarei:

(50)

Inlocuind relatia (50) in (48) si folosind proprietatea de filtrare a functiei d w) se obtine functia densitate spectrala a semnalului MIAN:

Relatia (51) arata ca X_MIAN(w) este o reprezentare periodica, cu perioada W p /T a spectrului semnalului modulator la fel ca in cazul esantionarii ideale. Deosebirea consta in faptul ca esantionarea ideala are toate spectrele repetate la aceiasi amplitudine pe cand in cazul MIAN, care corespunde unei esantionarii neideale, spectrale repetate sunt ponderate fara a fi deformate cu constantele sinc(nWt/2) determinate de functia sinus cardinal.

In fig. 11 sunt prezentate modulele functiilor densitate spectrala ale semnalului modulator si semnalului MIAN. Asocierea intre semnalul modulator x(t) si functia sa de densitate spectrala din fig. 11 este conventionala.

Rezulta ca extragerea semnalului modulator MIAN se poate face prin folosirea unui filtru trece jos ideal avand frecventa de taiere w_t w_M considerand spectrul semnalului modulator de suport marginit, X (w) - 0 pentru w >w_M. Desi conform relatiei (6.51) spectrul semnalului MIAN este infinit banda efectiva B_MIAN p t este limitata si depinde invers proportional de durata t a impulsurilor ce formeaza purtatoarea.

Semnalul MIAU se obtine prin convolutie intre semnalul modulator esantionat ideal x_e(t) si impulsul dreptunghiular singular x_z(t) cu durata t

(52)

Functia densitate spectrala a semnalului MIAU se obtine aplicand transformata Fourier directa relatiei (52) si folosind teorema convolutiei in timp:

(53)

Fig. 11 a) Spectrul semnalului modulator si b) spectrul semnalului obtinut prin modulatia naturala in amplitudine a purtatoarei in impuls

Functia densitate spectrala a semnalului modulator esantionat ideal x_e(t) este, conform teoremei esantionarii, repetarea cu perioada W p/T a functiei densitate spectrale a lui x(t):

(54)

iar functia densitate spectrala a impulsului dreptunghiular singular x_t(t) de amplitudine unitate cu durata t este:

(55)

Inlocuind relatiile (54) si (55) in (52) se obtine functia densitate spectrala a semnalului x_MIAU (t):

(56)

Functia densitate spectrala a semnalului modulator esantionat ideal si modulul functiilor densitate spectrala a purtatoarei si semnalului MIAU sunt reprezentate in fig 8b.

Din figura de mai sus se constata ca spectrul semnalului x_MIAU (t) se obtine prin repetarea spectrului semnalului modulator cu perioada W p/T, spectrele repetate fiind ponderate cu functia de frecventa sin c (wt/2), ceea ce are ca efect distorsionarea acestora.

Fig. 12 Spectrul semnalului obtinut prin modulatia uniforma in amplitudine a purtatoarei in impuls

Aceasta distorsionare se numeste efect de aparatura si este cu atat mai mare cu cat t este mai mare deoarece in acest caz functia sin c(wt/2), reprezentata punctat in figura 12 este mai abrupta).

Banda efectiva a semnalului MIAU este B_MIAU p t si deci este invers proportionala cu durata t a impulsurilor ce formeaza purtatoarea.

Analiza spectrala a semnalelor MID si MIP este relativ complicata si nu va fi prezentata in acest curs. Se mentioneaza doar ca benzile efective ocupate de semnalele MID si MIP sunt mult mai largi decat banda efectiva a semnalului MIA. Dezavantajul maririi benzii de frecvente necesare pentru transmiterea semnalelor MIP si MID este compensat de protectia impotriva perturbatiilor mult mai buna decat in cazul MIA.

Bibliografie

D. Dascalu, L. Turic, I. Hofman, Circuite electronicce, Editura didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981;

N. Balabanian, T. Bickart, Teoria moderna a circuitelor