Studiul caracteristicilor de frecventa ale sistemelor liniare invariante

Studiul caracteristicilor de frecventa ale sistemelor liniare invariante

1.Scopul lucrarii.

Insusirea modului de calcul si reprezentarea grafica a caracteristicilor de frecventa.

Insusirea unui procedeu experimental de determinare a caracteristicilor de frecventa.

2. Consideratii privind studiul caracteristicilor de frecventa.

Caracteristicile de frecventa sunt o forma speciala de reprezentare grafica a comportamentului sistemelor liniare la un semnal de intrare:

(1)

Daca sistemul este liniar, dupa intrarea in regim stationar, marimea de iesire va fi de asemenea sinusoidala.

Expresia marimii de la iesire va fi de forma :

(2)

Se demonstreaza ca marimea de la iesire va avea amplitudinea Ymax atenuata sau amplificata fata de    cea a marmii de la intrare, adica:

(3)

si va fi defazata fata de aceasta cu un unghi j

Daca se modifica frecventa marimii de la intrare, marimea de la iesire va avea la inceput un regim tranzitoriu dupi care va intra intr‑un nou regim stationar, insa cu un alt raport al amplitudinilor si cu o alta faza.

Observatie: In studiul caracteristicilor de frecventa se obisnuieste ca pulsatia ' ' a semnalului aplicat la intrare sa fie denumit_ 'frecventa'.

Caracteristica de raspuns la frecventa H(j ) este o functie complexa de variabila reala ' ' si se obtine inlocuind in expresia funtiei de transfer variabila 's' cu 'j'

(4)

In planul compex Re[H(j )] ‑ 0 ‑ Im[H(j )] raspunsul la frecventa este reprezentat printr‑un loc geometric. Pentru fiecare punct al acestui loc geometric exista un fazor cu lungimea |H(j )| si de argument sau defazaj j(w) fata de semiaxa pozitiva ca in figura 1.

Caracteristica de raspuns la frecventa H(j ) se scrie, de obicei, sub una din urmatoarele forme:

(5)

sau

(6)

unde:

(7)

(8)

P( ), Q( ), A( ) si j ) sunt si ele caracteristici de frecventa cu urmatoarele denumiri:

P(ω) ‑ caracteristica reala de frecventa   

Q(ω) ‑ caracteristica imaginar_ de frecventa

A(ω) ‑ caracteristica atenuare‑freventa

j(ω) ‑ caracteristica faz_‑frecventa

Pentru simplificarea unor calcule este mai usor sa se lucreze cu reprezentarea logaritmica a caracteristicilor A( ) si j ). Constructia grafica a caracteristicilor logaritmice A( ) si j ) se face tinand seama de urmatoarele indicatii:

‑ valoarea frecventelor ' ' se reprezinta pe axa absciselor prin valoarea logaritmului zecimal.

‑ Valoarea functiei se reprezinta pe axa ordonatelor in decibeli

Caracteristica logaritmica faza frecventa are pe axa absciselor valoarea logaritmului zecimal a frecventei 'ω', iar pe ordonata valoarea naturala a lui j

3. Caracteristicile de frecventa ale elementului de tip PT1

Sistemul de studiat este un sistem liniar de ordinul intai de tip PT1 avand modelul matematic:

(9)

Functia de transfer a acestui sistem este:

(10)

Conform celor prezentate anterior, caracteristica de raspuns la frecventa H(j ) are expresia:

(11)

Expresiile functiilor P( ), Q( ), A( ) si ) se obtin din expresia lui H(j

(12)

Rezult_ ca:

(13)

(14)

(15)

(16)

Cunoscand expresiile functiilor de raspuns la frecventa se pot construi caracteristicile de raspuns la frecventa.

In fig.2 alaturi de caracteristicile logaritmice de frecventa exacte au fost trasate si caracteristicile asimptotice corespunzatoare care aproximeaza caracteristicile exacte si se utilizeaza in scopul simplificarii calculelor si constructiilor grafice.

4. Continutul si modul de desfasurare a lucrarii

Pentru cuadripolul RC din fig.3., care este un element de tip PT1, se va determina modelul matematic intrare iesire folosind teoremele lui Kirkchoff. Comparand expresia obtinuta cu modelul matematic al unui sistem liniar de ordinul intii de tip PT1 se vor identifica constantele T si K. Dand diferite valori 'frecven_ei ' si calculand valorile lui P( ), Q( ), A( ) si 20lgA( ) se va completa urmatorul tabel.

Tabelul 1

Cu datele tabelului intocmit se construiesc caracteristicile de frecventa cerute. Alaturi de caracteristicile de frecventa exacte se vor trasa caracteristicie logaritmice asimptotice corespun- zatoare.

Pentru determinarea experimentala a caracteristicilor de frecventa se va realiza montajul din fig.3.

De la generatorul de semnal sinusoidal se aplica succesiv la intrarea cuadripolului RC, semnale de frecventa diferita.

Prin vizualizare pe ecranul osciloscopului pentru fiecare secventa a semnalelor de intrare si de isire se poate determina valoarea lui A(

(17)

Pentru determinarea defazajului dintre semnalul de iesire si cel de intrare se vor vizu aliza simultan semnalul de intrare si cel de iesire pe un osciloscop cu doua spoturi, sincronizarea fiind realizata pe semnalul de intrare, obtinadu‑se doua sinusoide ca in fig.4. Se vor masura intervalele de timp T1 si T2. Cunoscand cantervalul de timp T1 este chiar perioada semnalului alternativ, deci ii va corespunde un unghi de 360 grd., rezulta ca lui T2 ii va corespunde un unghi dat de relesia:

(18)

Observatii:

‑ Pentru o precizie cat mai buna la determinarea unghiului de defazaj j(ω) se va asigura ca semnalele vizualizate sa aiba perioada T1>0,6 din latimea ecranului (prin alegerea si reglarea corespunzatoare a bazei de timp a osciloscopului).

Intervalul de frecvente recomandat pentru efectuarea m_suratorilor este

(19)

unde

(20)

(21)

Cu ajutorul valorilor A( ) si j ) se calculeaza si valorile celorlalte caracteristici de frecventa, folosind relatiile:

(22)

Rezultatele calculelor se vor trece in tabelul urmator.

Tabelul 2

Cu datele din tabelul 2 se construiesc, spre comparare, caracteristicile de frecventa__ determinate experimental, alaturi de cele determinate prin calcul analitic.

Se vor face observatii critice asupra rezultatelor obtinute.