Seria Fourier complexa

Seria Fourier complexa

O functie periodica reala f(t) care admite o dezvoltare in serie Fourier sub forma (2):

(14)

se poate scrie si ca suma a unei serii cu termeni complecsi.

Sa dam lui k valoarea zero si valori negative si sa vedem ce devin coeficientii Fourier :

;

Se observa ca e o functie impara de k, iar o functie para :

(15)

Seria (14) se poate aduce la forma:

(16)

Intr-adevar pentru: k>0 se obtin jumatate din termenii seriei (14); k=0 rezulta termenul liber al seriei: ; k<0 se obtine cealalta jumatate a termenilor seriei (14).

Inlocuind sinusul si cosinusul cu relatiile lui Euler :

seria (16) devine: (17)

Deoarece pentru k<0 se obtin aceleasi valori ca pentru k>0 se pot restrange termenii seriei (17) si se obtine: (18)

Daca introducem notiunea de amplitudine spectrala complexa

(19)

obtinem forma finala a seriei Fourier complexa: (20)

Amplitudinea armonicelor unui semnal este dublul modulului amplitudinilor complexe spectrale: (21)

Intr-adevar:   

Multimea amplitudinilor armonicelor unui semnal se numeste spectrul de amplitudine al semnalului si se reprezinta grafic ca un sir discret de valori, in functie de pulsatie.