Valoarea rezistentei echivalente fata de bornele a si b a circuitului

CURS 10 CTI

Exemplul 7

Sa se determine valoarea rezistentei echivalente fata de bornele a si b a circuitului din Fig. 2.15.13a. Date numerice: R₁ = 1Ω, β = 2

Solutie Se va aplica o sursa ideala curent I = 1 A la bornele a si b ale circuitului. Prin aceasta

se forteaza valoarea curentului i_y, care este variabila de control a sursei comandate. Acest procedeu este indicat in Fig. 2.15.13b . Scriind teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru ochiul de circuit ce contine pe u_x avem:

- β i_y = i_x R₁ - u_x, de unde u_x = i_x R₁ + β i_y = i_x R₁ - β i_x = i_x (R₁ - β) = -1V

Rezistenta echivalenta se poate calcula:

Procedeul de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff ne conduce la ecuatiile:

u_x = i_x R₁ + β i_y

i_y = - i_x

Rezulta: u_x = i_x R₁ - β i_x = i_x (R₁ - β), de unde valoarea rezistentei echivalente este:

R_ech = u_x / i_x = R₁ - β

Valoarea numerica este aceeasi cu cea dedusa mai sus, R_ech = -1Ω.

Exemplul 8

Sa se determine rezistenta echivalenta a circuitului din Fig. 2.15.14a.

Solutie Date numerice: R₁ = 2Ω, R₂ = 3Ω, β = 3, σ = 4. Aplicand la intrare o sursa de curent de 1 A se va forta curentul i_y care este variabila de comanda a sursei de curent comandate. Se observa din Fig. 2.15.14b ca avem: i_x = i_y = 1A. Aplicand teorema I a lui Kirchhoff nodului de sus avem:

i_y = i_z + σ i_y    de unde i_z = 1 - 4 = -3A

Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta:

- β i_z = i_x R₁ +i_z R₂ - u_x de unde u_x = i_x R₁ + i_z R₂ + β i_z = -16V

Rezistenta echivalenta rezulta:

din nou o valoare negativa

Cu ajutorul metodei teoremelor lui Kirchhoff, rescriind cele doua ecuatii, avem:

i_y = i_z + σ i_y

- β i_z = i_x R₁ +i_z R₂ - u_x

Rezolvand sistemul de ecuatii si tinand seama de faptul ca i_x = i_y, rezulta succesiv:

i_z = i_x (1-σ)

u_x = i_x R₁ + i_x (1- σ) (R₂ + β) = i_x (R₁ + (1 - σ) (R₂ + β))

Valoarea rezistentei echivalente este:

R₁ + (1 - σ) (R₂ + β)

Inlocuind valorile numerice se obtine aceeasi valoare - 16Ω.

Exemplul 9

Sa se determine tensiunile U₁ si U₂ la bornele rezistentelor R₁ si R₂ din Fig. 2.15.15 utilizand formulele divizorului de tensiune. Date numerice: E = 10V, β = 8, R₁ = 3Ω, R₂ = 2Ω.

Solutie Circuitul avand o singura bucla (ochi) se aplica teorema a II-a a lui Kirchhoff:

E - β i_x = i_x (R₁ + R₂)

Rezulta:

= 10/13 A

Tensiunea U rezulta aplicand legea lui Ohm:

U = (R₁ + R₂) i_x = 50/13 V

Tensiunile U₁ si U₂ rezulta:

Se observa ca rezistenta echivalenta a circuitului este :

= 13Ω

Tensiunea la bornele sursei comandate este :

U^' = β i_x = 80/13 V

2.16. Amplificatorul operational

2.16.1 Generalitati. Amplificatorul operational ideal si real.

Amplificatorul operational este un dispozitiv electronic compus dintr-un numar mare de celemente cum ar fi: tranzistoare bipolare si numeroase rezistoare. Nu ne vom referi la structura interna a amplificatorului operational ci vom analiza amplificatorul operational doar in raport cu comportarea sa fata de borne. Studiul amplificatorului operational se justifica deoarece acesta a devenit in prezent un element de circuit standard la fel ca un simplu rezistor.

Fig. 2.16.1 prezinta diagrama de conexiuni a unui amplificator operational extrem de raspandit, μA741. Alimentarea amplificatorului operational se face de la o sursa dubla ca aceea din Fig. 2.16.2 care consta din doua surse de tensiune electromotoare de curent continuu V_cc conectate la un punct comun numit pamant sau masa. Valorile caracteristice ale surselor de tensiune electromotoare se situeaza intre ± 12 V si ± 15 V. Terminalul negativ al acestei surse este conectat la pinul (borna) 4 iar terminalul pozitiv este conectat la pinul 7 al amplificatorului operational. Amplificatorul operational are doua intrari : o borna de intrare inversoare v ^- si o borna de intrare neinversoare v ⁺ . Aceste doua tensiuni se considera in raport cu punctul de referinta al tensiunilor sursei : nulul (numit si pamant sau masa). Iesirea amplificatorului operational este la pinul 6, iar tensiunea de la iesire este de asemenea considerata in raport cu nulul sursei de alimentare. Celelalte doua borne 1 si 5 sunt folosite pentru « echilibrarea » amplificatorului, despre care se va vorbi mai tarziu.

In Fig. 2.16.3 este prezentat simbolul de circuit al amplificatorului operational. In mod obisnuit bornele de alimentare in curent continuu + V_cc si - V_cc nu se figureaza in simbolul amplificatorului operatioal , dar ele se considera ca sunt prezente ( se subinteleg). In Fig. 2.16.4 se prezinta circuitul echivalent al amplificatorului operational , asa numitul model intern. R_i este rezistenta de intrare dintre terminalele de intrare + si - .

R_o este rezistenta de iesire (Thevenin). Amplificatorul operational este un amplificator diferential la care tensiunea de iesire v₀ este proportionala cu diferenta tensiunilor v_d = v⁺ - v^-. Tensiunea de iesire este produsa de sursa de tensiune electromotoare comandata in tensiune Av_d = A(v⁺-v^-). Valori tipice ale acestor marimi pentru un amplificator operational μA741 sunt :

R_i = 2 MΩ,

R_o = 75Ω

A = 200000

Deoarece rezistenta de intrare a amplificatorului operational este foarte mare ea va fi considerata infinita in continuare. In mod similar, deoarece rezistenta de iesire a amplificatorului operational este foarte mica, ea va fi considerata nula. Aceste consideratii ne conduc la modelul amplificatorului operational prezentat in Fig. 2.16.5, ale carui date caracteristice sunt :

Caracteristica de transfer a amplificatorului operational este deasemenea prezentata in Fig.2.16.5, ea este dependenta dintre tensiunea de iesire si tensiunea diferentiala de intrare, v_d = v⁺ - v^-. Se observa ca aceasta caracteristica este liniara pentru valori ale tensiunii de iesire cuprinse intre - V_sat ≤ v_o ≤ V_sat . Marimea V_sat se numeste tensiune de saturatie a amplificatorului operational. Aceasta valoare este apropiata, dar putin mai mica decat tensiunea de alimentare a sursei de curent continuu V_sat ≈ V_cc. Prin urmare, pentru o functionare liniara tensiunea de iesire nu poate depasi valoarea de saturatie :

- V_sat ≤ v_o ≤ V_sat

Valoarea maxima a tensiunii diferentiale la extremitatea regiunii de dependenta liniara este

v_{d max} = V_sat/A. Aceasta valoare este foarte mica. De exemplu, pentru μA741, v_{d max} = V_sat / A = 14V / 200000 = 70 μV. Vom vedea ca pentru functionarea in zona liniara este posibil sa se presupuna ca tensiunea diferentiala este aproximativ nula. De fapt, deoarece amplificarea fiind foarte mare o vom presupune infinita, A → ∞, si prin urmare v_d → 0. Acestea sunt proprietatile unui amplificator operational ideal, prezentat in Fig 2.16.6 :

Folosirea modelului ideal al amplificatorului operational    in analiza circuitelor electronice in locul modelului real simplifica in mod considerabil analiza acestor circuite si conduce la rezultate ce aproximeaza destul de bine functionarea reala. Proprietatile amplificatorului ideal, date de relatiile de mai sus sunt denumite proprietati virtuale de scurtcircuit deoarece atat curentii de intrare sunt zero cat si tensiunea de la intrarea amplificatorului operational. In cazul unui scurtcircuit real tensiunea de intrare este nula dar curentul prin circuit este in general nedefinit si nu neaparat nul. De aceea denumirea de proprietati virtuale.

Proprietatile virtuale de scurtcircuit ale amplificatorului operational sunt niste constrangeri extrem de puternice. Analiza unui circuit ce contine un amplificator operational ideal devine extrem de simpladaca se procedeaza in felul urmator :

• Pasul 1 : Se atribuie amplificatorului operational conditiile virtuale de scurtcircuit

v_d = 0, i⁺ = 0, i^- = 0

• Pasul 2 : Se aplica teorema I a lui Kirchhoff nodului conectat la borna de intrare neinversoare si se tine seama de constrangerea i⁺ = 0
• Pasul 3 : Se aplica teorema I a lui Kirchhoff nodului conectat la borna de intrare inversoare si se tine seama de constrangerea i^- = 0
• Pasul 4 : Se aplica teorema a II-a a lui Kirchhoff tuturor buclelor circuitului care trec prin v_d si se tine seama de constrangerea v_d = 0.

Exista , in plus, cateva cerinte tehnice de ordin practic de care trebuie sa se tina seama la aplicatiile ce contin amplificatoare operationale.

1. Curentul de saturatie. Curentul maxim de iesire al amplificatorului operational este limitat de valoarea curentului de saturatie a amplificatorului operational, |i_o| ≤ i_sat. Valori uzuale ale curentului de saturatie pentru amplificatoarele operationale de mica putere sunt de ordinul cateva zeci de miliamperi. Prin urmare amplificatoarele operationale nu suporta valori mari de curenti. Aceasta inseamna ca rezistentele de sarcina precum si celelalte rezistente conectate la iesire sunt in mod obisnuit de ordinul kΩ (10³Ω). Cele mai multe dintre aplicatiile amplificatoarelor operationale presupun operatii in zona liniara. Ca urmare in toate aceste aplicatii este necesar sa se verifice indeplinirea urmatoarelor doua conditii pentru a asigura functionarea in zona liniara :

-V_sat ≤ v_o ≤ V_sat

-i_sat ≤ i_o ≤ i_sat

2. Viteza de variatie. Tensiunea de iesire a unui amplificator operational nu poate varia oricat de rapid, ea este limitata de o asa zisa viteza de variatie. Viteza de variatie este viteza maxima cu care se poate modifica tensiunea de iesire. Valori uzuale ale vitezei de variatie sunt de ordinul a 1V/μs. Sa presupunem, de exemplu, ca tensiunea de iesire a unui amplificator operational este de forma v_o = V sin ωt. Valoarea maxima a vitezei de variatie a acestei tensiuni este dat derivata in raport cu timpul a acesteia | dv_o/dt|_max = ωV. Daca V = 10V, si viteza de variatie este de 1V/μs atunci rezulta ca frecventa maxima a semnalului ce poate fi prelucrat corect este de ω = 2πf = (1V/μs)/10V = 10⁵ rad/sec, sau 15.9 kHz. Aceasta inseamna ca iesirea va fi distorsionata daca dorim sa obtinem o amplitudine maxima a tensiunii. La nivele mai mici ale tensiunii de iesie frecventele inalte vor fi corect prelucrate.
3. Tensiunea de decalaj (offset) de la intrare. O alta proprietate neideala de care trebuie sa se tina seama este ofssetul de tensiune sau curent. Daca se scurtcircuiteaza bornele de intrare v⁺ si v^- astfel incat tensiunea de intrare v_d este nula (v_d = v⁺ - v^- = 0), tensiunea de iesire nu va avea o valoare ideala nula, ci va avea o valoare foarte mica numita offset. Exista metode pentru determinarea acestui offset si pentru anularea lui folosind circuite de corectie conectate la pinii 1 si 5 ai amplificatorului operational. Despre aceste posibilitati vom vorbi mai tarziu.

Pentru analizele care urmeaza vom considera amplificatoarele operationale avand proprietati ideale, fapt ce conduce la rezultate corecte in cele mai multe cazuri din practica.

2.16.2 Amplificatorul inversor

O aplicatie frecvent utilizata a amplificatorului operational este aceea de amplificator inversor, asa cum se arata in Fig. 2.16.7a.

Inlocuind amplificatorul operational cu schema echivalenta cu rezistenta de intrare infinita si rezistenta de iesire zero rezultcuitul echivalent din Fig. 2.16.7b. Datorita rezistentei de intrare infinite curentii de intrare de la cele doua borne (numiti si curenti de polarizare) sunt nuli si, ca atare, curentul prin rezistentele R_i si R_f va fi acelasi notat cu I. Aplicand teoremele lui Kirchhoff se poate scrie :

v_i + v_d = R_i I

v₀ +v_d = - R_f I

v₀ = A v_d

Rezolvand aceste ecuatii si exprimand raportul v_o / v_i rezulta castigul in tensiune al amplificatorului in ansamblu:

Daca se considera infinita valoarea amplificarii A a amplificatorului operational, se obtine :

, cand A → ∞

Prin urmare, pentru a realiza un amplificator operational cu o amplificare in tensiune de - 10 vom alege rezistoarele R_f si R_i astfel incat raportul lor sa fie 10. De exemplu, daca se alege R_f = 100 k si R_i = 10 k am realizat un amplificator operational cu o amplificare in tensiune de -10. Aceasta inseamna ca , daca la intrare se aplica o tensiune v_i(t) = 1 sin ωt V atunci la iesire vom avea o tensiune de v_o = -10 sin ωt V. Semnul minus din expresia amplificarii de tensiune inseamna ca tensiunea de iesire este defazata fata de tensiunea de intrare cu 180⁰, adica este in antifaza cu aceasta.

Acest rezultat putea fi usor obtinut usor folosind proprietatile virtuale de scurtcircuit date mai inainte. Pentru a indica acest lucru am aplicat aceste proprietati la terminalele de intrare ale amplificatorului operational, asa cum se indica in Fig. 2.16.8. Impunand conditia ca valoarea curentului de la intrarea neinversoare este zero, adica i⁺ = 0, nu rezulta mare lucru, dar scriind ca valoarea curentului de la borna inversoare este nul, adica i^- = 0, rezulta, conform teoremei I a lui Kirchhoff, ca intensitatile curentilor electrici prin R_i si R_f sunt egali. Ca atare, vom nota cu I valoarea comuna a acestor curenti. Impunand conditia ca tensiunea de excitatie pe modul diferential v_d este nula rezulta, aplicand teorema a II-a alui Kirchhoff, urmatoarele doua consecinte:

v_i = R_i I

v_o = -R_f I

Calculand raportul celor doua tensiuni rezulta castigul in tensiune al amplificatorului operational dat de relatia anterioara. Cele prezentate releva rolul deosebit pe care il au conditiile virtuale de scurtcircuit pentru simplificarea calculelor. Se mai observa, in plus , ca valoarea tensiunii de iesire a amplificatorului operational nu depinde de rezistenta de sarcina, R_s­. Ca atare amplificatorul operational se comporta ca o sursa de tensiune electromotoare ideala, avand rezistenta interna nula. Valoarea rezistentei de intrare a amplificatorului operational este raportul dintre tensiunea de intrare si curentul I (asociate conform sensului de la receptor), care ne conduce la :

Prin urmare, pentru a construi un amplificator operational avand un castig de tensiune de -15 si o rezistenta de intrare de 20 kΩ vom alege R_i = 20 kΩ si R_f = 300 kΩ. In felul acesta, proiectarea unui amplificator de tensiune folosit pentru amplificarea iesirea unui microfon devine extrem de simpla.

2.16.3 Reactia negativa si saturatia

Este important de observat faptul ca o parte din tensiunea de iesire este aplicata din nou la intrarea inversoare a amplificatorului operational prin intermediul rezistentei R_f. Acest lucru este denumit reactie negativa si constituie o proprietate importanta in functionarea amplificatoarelor operationale. Reactia negativa trebuie sa fie prezenta pentru o buna functionare a amplificatorului operational. Aceasta este o cerinta fundamentala pentru a asigura ca tensiunea diferentiala v_d sa fie nula (v_d = 0). De exemplu, din Fig. 2.16.7b se observa ca daca v_o creste, atunci o parte a acestei cresteri este adaugata la intrarea inversoare, si prin urmare, scazuta din v_d ceea ce conduce la v_d = 0. Sa presupunem ca, in mod gresit, rezistenta de reactie R_f ar fi fost conectata la intrarea neinversoare a amplificatorului operational. In acest caz, la o crestere a tensiunii de iesire v_o, o parte a acestei cresteri ar fi fost adaugata la v_d . In felul acesta prin intermediul sursei comandate Av_d cresterea lui v_o ar duce din nou la cresterea lui v_o pana ce v_o ar ajunge la valoarea de saturatie v_o = V_sat. Astfel amplificatorul operational intra in saturatie si el nu-si mai indeplineste functia sa, tensiunea lui de iesire fiind independenta de variatiile tensiunii de intrare v_i. Cand este utilizat un amplificator operational este extrem de important sa ne asiguram ca reactia negativa este prezenta.

O alta chestiune importanta pentru circuitele cu amplificatoare operationale este de a ne asigura ca, desi reactia negativa este prezenta, amplificatorul operational sa nu fie in saturatie. Reamintim faptul ca pentru ca un amplificator operational sa nu fie in saturatie marimile de iesire ale acestuia trebuie sa indeplineasca urmatoarele conditii :

-V_sat ≤ v_o ≤ V_sat

-i_sat ≤ i_o ≤ i_sat

Daca marimile de iesire depasesc limitele impuse amplificatorul operational va functiona in afara domeniului liniar, astfel ca el nu va mai amplifica. (Exista cateva aplicatii ale amplificatorului operational in care acesta este in mod intentionat proiectat sa functioneze in saturatie.)

De exemplu, sa consideram amplificatorul operational din Fig. 2.16.8. Sa presupunem ca acest amplificator este alimentat cu o tensiune v_i = 2 sin ωt si ca R­_i = 5 kΩ, R­_f = 50 kΩ, R­_s = 100 Ω. Amplificarea (castigul) este de -10, si prin urmare, tensiunea de iesire va fi v_o = -20 sin ωt. Pentru un amplificator operational obisnuit μA741, V_sat = 14V. Tensiunea de iesire va fi retezata la valoarea V_sat pentru toate portiunile tensiunii de iesire mai mari decat valoarea de saturatie, asa cum se arata in Fig. 2.16.9. In acest caz a aparut o distorsiune a tensiunii de iesire, care face amplificatorul operational inutil. Daca se reduce valoarea tensiunii de intrare la v1_i = 1 sin ωt atunci tensiunea de iesire va fi v1₀ = -10 sin ωt , iar amplificatorul operational nu va mai intra in saturatie.

In plus, trebuie sa ne asiguram ca nici valoarea curentului de iesire a amplificatorului operational nu depaseste curentul de saturatie. La valoarea de varf a tensiunii de iesire curentul de iesire al amplificatorului operational va fi, conform teoremei I a lui Kirchhoff,

Fig. 2.16.9 Saturatia tensiunii de iesire la un amplificator operational

Pentru datele numerice considerate anterior, la o tensiune de intrare cu amplitudinea de 1 V , amplitudinea tensiunii de iesire va fi de 10 V, astfel incat amplitudinea curentului sinusoidal de iesire va fi : i_o = -10/100 - 10/50 = -100.2 mA. Pentru amplificatoarele operationale obisnuite de mica putere curentul de saturatie are valori obisnuite de cateva zeci de miliamperi. Se observa ca, in cazul nostru, valoarea curentului de iesire depaseste valoarea de saturatie, astfel incat amplificatorul operational nu va putea furniza rezistentei de sarcina acest curent. Sa presupunem ca modificam valoarea rezistentei de sarcina la R_s = 10 kΩ. Aceasta modificare nu va afecta castigul in tensiune al amplificatorului deoarece acesta depinde doar de raportul dintre rezistenta de reactie R_f si rezistenta de intrare R_i. In acest caz amplitudinea curentului sinusoidal de iesire devine i_o = -1.2 mA, valoare care nu mai depaseste valorile obisnuite ale curentilor de saturatie ai amplificatoarelor operationale de mica putere. Se observa ca amplificatoarele operationale obisnuite nu admit la iesire valori ale rezistentei de sarcina mici datorita valorilor limita ale curentilor de iesire. Admitand ca valoarea tensiunii de iesire se apropie de valoarea de saturatie de 14 V si ca vrem ca valoarea curentului de iesire sa fie mai mica de 20 mA rezulta ca valoarea rezistentei de sarcina trebuie sa fie mai mare decat R_smin = 700 Ω.

Exemplul 2.16.1

Sa se proiecteze un amplificator operational care sa aiba rezistenta de intrare de 10 kΩ, un castig in tensiune de 20 si a carui tensiune de iesire sa fie in faza cu tensiunea de intrare. Tensiunea de intrare este o tensiune sinusoidala cu o amplitudine de 50 mV, iar rezistenta de sarcina are valoarea de 500 Ωse va folosi un amplificator operational avand tensiunea de saturatie de V_sat = 14 V si curentul de saturatie de i_sat = 2 mA.

Solutie Se va folosi un montaj cu doua amplificatoare operationale montate in cascada astfel ca inversiunea de faza a unuia sa fie anulata de celalalt, castigul general fiind astfel pozitiv. Produsul celor doua castiguri trebuie sa fie de 20, iar rezistenta de intrare a primului etaj trebuie sa fie de 10 kΩ. In Fig. 2.16.10 se prezinta o varianta ce satisface cerintele impuse. Primul etaj are un castig de -5 iar al doilea etaj are un castig de -5, ceea ce va conduce la un castig general de 20. Rezistenta de intrare a primului etaj este de 10 kΩ , iar rezistenta de intrare a celui de al doilea etaj este de 20 kΩ. Pentru o amplitudine a tensiunii de intrare a primului etaj de 50 mV amplitudinea tensiunii de iesire al celui de al doilea etaj va fi de 250 mV si, ca urmare, curentul de iesire al primului etaj va fi :

- 250 mV/20 kΩ - 250 mV/50 kΩ = - 17.5 μA

Aceasta valoare este mult mai mica decat valoarea curentului de saturatie a amplificatorului operational. Valoarea tensiunii de iesire a primului etaj de amplificare este de - 250 mV, valoare ce nu depaseste valoarea de saturatie. Aplicand aceasta tensiune la intrarea celui de al doilea etaj va rezulta la iesirea acestuia o tensiune de 1 V, care este de asemenea mai mica decat tensiunea de saturatie a amplificatorului operational. Curentul de iesire al celui de al doilea etaj va fi de :

1 V/80 kΩ + 1 V/500 Ω = 2.0125 mA, care este aproximativ egala cu valoarea de saturatie a amplificatorului operational. Amplificatorul cu datele din figura satisface conditiile cerute.