Algoritmul metodei elementului finit in problemele de analiza starii de tensiune si deformatie

Algoritmul metodei elementului finit in problemele de analiza starii de tensiune si deformatie

In problemele de analiza starii de tensiune si deformatie formularea metodei elementului finit se poate face alegand drept necunoscute fie deplasarile fie eforturile sau o parte deplasari si o parte eforturi. Formularea problemei conform acestor optiuni se poate face deci in deplasari, eforturi sau mixta. Cea mai utilizata dintre acestea este formularea in deplasari pe care o vom utiliza si in cele ce urmeaza pentru a exemplific.: algoritmul de calcul utilizat in metoda de analiza cu elemente finite in cazul structurilor de rezistenta.

Consideram o bara dreapta de sectiune variabila incarcata cu sarcini axiale q(x) repartizate de-a lungul axei geometrice, Fig. 1.7.1. Conform modului de rezemare se admite ipoteza ca singurele deplasari diferite de zero sunt deplasarile u(x) de-a lungu axei x a barei. Aplicarea metodei elementului finit presupune impartirea barei in 'n' elemente finite care in acest caz sunt elemnte finite de tip bara, sau elemente finite monoaxiale. Aceste elemente finite sunt unite intre ele prin 'n+l'noduri. O primi aproximatie pe care o vom utiliza este aceea ca elementele finite se vor considera de sectiune constanta de-a lungul fiecaruia in parte, iar aria sectinii transversale a fiecaruia dintre elementele finite componente reprezinta o medie a marimii ariei la cele doua capete a fiecarei trepte considerate.

Bara se imparte in 'n' domenii obtinandu-se deci 'n' elemente finite si 'n+1' noduri.

Drept necunoscute ale problemei se aleg deplasarile u si derivatelor sale din nodurile l,2,..n+ 1, de abscise x₁, x₂, ,x_n+1, (fig. 1.4.1).

Pentru inceput vom considera ca se cunosc atat deplasarile u din noduri precum si valorile derivatelor acestora. Dorim sa aratam cum se procedeaza in acest caz pentru calculul acelorasi marimi in oricare punct apartinand domeniului fiecarui element finit in parte, xI(x_i, x_i+1), (i = 1,2,, n + l). Foarte comod si in acelasi camp foarte adesea se utilizeaza interpolarea cu polinoame. Vom    exemplifica iterpolarea cu polinoame de gradul unu.

Fie ecuatia dreptei de interpolare reprezentata de dreapta 1 in conformitate cu fig. 1.4.2.

unde c₁ si c₂ sunt parametri care se determina din conditiile:

(1.4.2)

se obtine sistemul de ecuatii:

u_i = c₁ + c₂ x_i

u_i+1 = c₁ + c₂ x_i+1    (1.4.3)

Din rezolvarea sistemului de ecuatii (1.4.3), se obtine:

(1.4.4)

unde s-a folosit notatia:

Inlocuind constantele c₁ si c₂ date de relatiile (1.4.4), in ecuatia (1.4.1), se obtine:

(1.4.5)

Curba data de relatia (1.4.5) are la capetele intervalului pante diferite de curba ala. In acelasi timp sunt diferite pantele dreptelor de interpolare la dreapta si la stanga nodurilor considerate. O aproximare mai buna se obtine in cazul in care in locul polinomului de interpolare de gradul unu se foloseste un polinom de interpolare de grad superior, de exemplu de forma:

Fig. 1.4.2

(1.4.6)

determinarea coeficientilor     c₁, c₂, c₃ si c₄ se va face din conditiile:

(1.4.7)

din conditiile care exprima continuitatea pantelor la extremitatile intervalului:

(1.4.8)

In cazul in care se mareste gradul polinomului de interpolare procesul de aproximare se poate imbunatati ca urmare a impunerii mai multor conditii de continuitate in noduri.

Rezulta ca o data aleasa forma functiei de interpolare, deplasarea u(x) a unui punct va fi exprimata prin intermediul valorilor functiei in noduri, u_i, si al valorilor derivatelor sale si Rezulta ca valorile functiei de interpolare si derivatele sale in noduri pot fi interpretate ca si grade de libertate care definesc in intregime functia pe domeniul considerat.