Concepte fundamentale in fonuularea metodei elementelor finit

Concepte fundamentale in fonuularea metodei elementelor finit

Metoda elementelor finite sau analiza cu elemente finite se bazeaza pe conc construirii obiectelor complicate din obiecte mai simple, sau divizarea obiectelor complicate in obiecte mai simple pentru care se pot aplica scheme de calcul cunoscute.

In multe situatii aparatajul matematic existent nu este suficient pentru gasirea solutiei exacte (iar uneori chiar a unei solutii aproximative) pentru majoritatea problemelor practice. Ideea de baza in metoda elementului finit este de a gasi solutia unei probleme complicate inlocuind-o prin una mai simpla.

Un exemplu simplu dar sugestiv in ceea ce priveste rezolvarea aproximativa a probleme exacte il reprezinta calculul ariei certului, fig. 1.2.1

Fig. 1.2.1

Aria 'elementului' triunghiului i se calculeaza cu relatia:

Pentru intregul poligon, aria se calculeaza cu relatia:

La limita poligonul devine un cerc iar relatia anterioara devine:

Fig. 1.2.2

La acelasi rezultat se ajunge in cazul in care aproximarea se face pornind de la un poligon tangent cercului, fig. 1.2.2.

Precizia solutiei depinde prin urmare in conformitate cu reprezentarea din figurai .2.3, de strategia sau 'modelul' de calcul ales. Considerand poligonul aproximat inscris sau circumscris se poate obtine limita inferioara notata A⁽ⁱ⁾ sau limita superioara A^(s) pentru aria reala A. in continuare, cu cresterea numarului laturilor ale poligonului valorile aproximative conduc spre o valoare reala. Aceste caracteristici asa cum se va vedea mai tarziu vor fi valabile in orice aplicatie generala cu elemente finite. Se remarca faptul ca ambele modele de calcul sunt convergente, diferenta dintre ele fiind legata de modul de aproximare in plus sau in minus in raport cu solutia exacta.

In rezolvarea problemelor complexe pentru care solutiile analitice sunt dificile prin aparatajul matematic existent, sunt cunoscute doua directii de rezolvare aproximativa:

Utilizarea unor metode aproximative de rezolvarea ecuatiilor diferentiale pentru un model de calcul exact. Acest lucru se poate face dupa cum urmeaza:

Se neglijeaza termenii de importanta secundara care permit in continuare rezolvarea

exacta.

Se aplica metodele numerice in rezolvarea sistemului de ecuatii diferentiale.

Amintim in acest sens metoda diferentelor finite ca fiind foarte eficienta in obtinerea rapida a unor solutii acceptabile.

Utilizarea unor metode exacte de rezolvare aplicate unor modele de calcul aproximative.

Modele aproximative de calcul se pot obtine prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare privind cea mai probabila configuratie a deplasarilor care respecta conditiile pe contur. Dupa gradul de generalitate al ipotezelor folosite se disting doua categorii de ipoteze:

Ipoteze cu caracter general aplicabile intregului corp, dintre care amintim: ipoteza

sectiunilor plane si normale (ipoteza lui Bernoulli aplicabila in teoria barelor), ipoteza normalelor rectilinii (ipoteza lui Kirckoff aplicabila in teoria placilor subtiri), ipoteza nedeformabilitatii conturului,) etc.

Ipoteze cu caracter local, valabile pentru portiuni mai mici sau; subdomenii,

componente ale unei entitati complexe. Ipotezele acceptate trebuie sa asigure continuitatea dintre subdomenii. Metoda elementelor! finite foloseste ipoteze cu caracter local in elaborarea modelului' aproximativ de calcul.

Metoda elementului finit a aparut ca o consecinta a necesitatii de a calcula structuri de rezistenta complexe pentru care metodele analitice de calcul nu sunt operabile. Idea de baza este aceea ca in cazul in care structura se imparte in mai multe; parti numite 'elemente finite' pentru fiecare dintre acestea se pot aplica teoriile de calcul corespunzatoare schematizarii adoptate (teoria de bara, placa sau masiv). Impartirea intregului in parti de dimensiuni mai mici, operatie care poarta denumirea consacrata de 'discretizare' va avea drept efect obtinerea de forme simple pentru; elementele finite componente ale structurii. Modelul de calcul utilizat in analiza cu elemente finite este un model aproximativ, obtinut prin asamblarea elementelor finite componente, tinand cont de geometria structurii. Conectarea elementelor finite se realizeaza numai in anumite puncte numite puncte nodale sau 'noduri'. Nodurile reprezinta punctele de intersectie ale linilor de contur rectilinii sau curbe alei elementelor finite. Elementele finite pot fi uni, bi sau tridimensionale in functie de geometria structurii pe care o modeleaza.

Nodurile sunt plasate de obicei pe contururile elementului unde elementele adiacente sunt conectate intre ele. Deoarece variatia reala a variabilei de camp (ca deplasarea, tensiunea, temperatura, presiunea sau viteza) in interiorul continuului nu este cunoscuta, se admite ca variatia variabilei de camp pe domeniul unui element finit poate fi aproximata printr-o functie simpla. Aceste functii de aproximare (numite modele de interpolare) sunt definite in functie de valorile variabilelor de camp in noduri.

Caracterul aproximativ a] metodei elementului finit rezulta ca urmare a faptului ca geometria reala este intotdeauna inlocuita cu o retea de elemente finite care urmareste forma reala, dar nu o poate reda cu exactitate decat numai pentru anumite geometrii particulare, datorita numarului finit de elemente, iar marimile necunoscute ale problemei sunt calculate numai in nodurile structurii. Rezulta de aici concluzia ca precizia de calcul creste o data cu cresterea numarului de elemente finite. Continuitatea zultatelor obtinute depinde de caracterul de continuitate pe care functiile de aproximare trebuie sa-1 asigure la nivelul zonelor interelemente.

Formularea metodei elementului finit se bazeaza pe exprimarea conditiilor de extrem pe care unele marimi care intervin in fenomenul studiat trebuie sa le satisfaca.

Metoda elementelor finite este o metoda cu un vast domeniu de aplicabilitate care se bucura de avantajul unei formulari relativ simple. Caracterul de generalitate al metodei ii confera avantajul de a se adapta cu modificari simple celor mai complexe si variate probleme cum sunt problemele liniare si neliniare, solicitari statice si dinamice structuri de bare, placi plane sau curbe si masive, solicitari de contact, probleme de mecanica ruperii, grupate in cele trei tipuri de probleme: probleme de echilibru, probleme de valori proprii si probleme de propagare.

1.1.2 Scurt istoric

Metoda elementelor finite a aparut ca o necesitate de a studia starea de tensiune si deformatie pentru structuri de rezistenta de mare complexitate geometrica pentru care calculul se face mai usor in cazul in care intregul se imparte in domenii mai simple, Datorita caracterului de generalitate al acestei metode, ea s-a extins cu rapiditate aproape in toate domeniile calcului ingineresc care au la baza metodele fizico atematice de calcul. Desi numele metodei elementului finit a fost introdus recent, conceptul a fost utilizat acum cateva secole in urma. De exemplu matematicienii din antichitate au aflat circumferinta cercului aproximandu-1 ca pe un poligon cum este prezentat in figura 1.2.1.

Aplicarea metodei elementelor finite sub forma actuala isi are inceputurile in fundamentarea urmatoarelor metode si teorii cu aplicatii deosebite in inginerie:

reziduurilor ponderate (Gauss 1795, Galerkin 1915, Biezeno-Koch 1923);

metode variationale (Rayleigh 1870, Ritz 1909);

diferente finite (Richardson 1910, Liebman 1918, Southwell 1940); diferente finite variationale (Varga 1962);

testarea continuitatii functiilor pe subdomenii (Courant 1947, iger-Synger 1947);

rezolutia prin analogie structurala (Hreikoff 1941 McHenryl943. Mewark 1949);'

Discretizarea in elemente finite a mediilor continue (Argyris 1959, Turni Clough, Martin si Topp 1956);

Introducerea notiunii de element finit (Clough 1960).

Se poate spune ca metoda elementului finit asa cum se cunoaste ea astazi a fost prezentata in 1956 de catre Turner, Clough, Martin si Topp, intr-o lucrare in care se prezinta aplicarea elementelor finite simple (bare cu articulatii si placa triunghiulara cu sarcini aplicate in plan) pentru analiza structurii aparatelor de zbor, fiind considerata una din contributiile cheie in dezvoltarea metodei elementului finit. Notiunea de element finit a aparut pentru prima data in lucrarea lui R.W.Clough in anul 196x intitulata 'Elementul finit in analiza starilor plane de tensiune'. Zienkiewicz si Cheui au dat o interpretarea larga metodei elementului finit si practic semnalea aplicabilitatea ei la orice problema inginereasca. Cu aceasta interpretare generala a metodei elementului finit, s-a constatat ca de fapt si ecuatiile metodei elementului finit pot fi de asemenea obtinute folosind metoda reziduurilor ponderate cum este de exemplu metoda Galerkin sau abordarea prin metoda celor mai mici patrate. Toate acestea au condus la un interes larg raspandit printre specialisti in matematica aplicata in aplicare a metodei elementului finit pentru rezolvarea problemelor liniarei si neliniare. De-a lungul anilor au fost publicate diferite lucrari la conferinte si carti referitoare la aceasta metoda.

Calculatoarele numerice au asigurat mijloace rapide de efectuare a unui volum mare de calcule implicate in analiza cu elemente finite si a facut practic ca metoda sa fie aplicabila. Se poate spune ca metoda elementelor finite fara utilizarea calculatoarelor numerice de mare capacitate nu ar fi o metoda viabila. O data cu dezvoltarea calculatoarelor digitale de mare viteza, aplicarea metodei elementului finit a progresat cu o viteza impresionant de mare.