DEFINIREA GEOMETRIEI ELEMENTELOR

DEFINIREA GEOMETRIEI ELEMENTELOR

In capitolul precedent problema de corelare continu-discret a fost privita plecand de la un domeniu cunoscut, pe intinderea caruia se cunosteau valorile exacte ale parametrilor studiati in anumite puncte, numite noduri. Plecand de la aceste valori se punea problema exprimarii de valori aproximative in puncte intermediare din domeniu. Aceasta problema poate fi privita insa si invers, ca o legatura aproximativa intre multimea continua de valori si multimea de valori discrete din noduri, ea constituind de fapt o cale de tranzitie, de legatura, intre continuu si discret, nodurile reprezentand punctele de referinta ale multimii valorilor discrete. Rezulta ca, pentru modelarea numerica a unei probleme tehnice prin elemente finite, este necesar sa efectuam doua actiuni:

Tranzitia domeniului de definitie de la un domeniu continu la unul discret, caracterizat prin noduri, pentru reducerea numarului de necunoscute:

Transformarea adecvata a modelului analitic intr-un model numeric discret asociat ale carui necunoscute sa fie tocmai valorile in noduri ale parametrului (parametrilor) investigati.

In consecinta, prin tratarea problemei de aceasta maniera, se transforma problema fizica de pe domeniul continuu dat, intr-o problema numerica discreta, definita pe acelasi domeniu.

Alegerea nodurilor si elementelor este deosebit de importanta. Asa cum s-a vazut anterior_: distributia nodurilor pe domeniul global nu este obligatoriu sa fie uniforma. Acestea pot fi mai dese (de exemplu in zonele unde estimam variatii mai rapide ale parametrilor studiati) sau mai rare (in zonele unde ne intereseaza mai putin valorile). Evident ca alegerea de elemente de acelasi tip va atrage o densitate de elemente mai mare in zonele cu noduri mai dese fiind foarte practicata coincidenta dintre nodurile geometrice si cele de interpolare.

Discretizarea poate fi privita ca o trecere de la domeniul global de investigare, definit prin multimea punctelor in care problema are sens si marginit de multimea punctelor in care se cunosc valori ale marimii de investigat sau informatii despre gradientul de variatie al acestora, etc, la o conexiune de subdomenii. Fiecare subdomeniu este caracterizat printr-o forma, prin frontiere clare, prin care se face legatura cu alte elemente sau care coincid ori sunt foarte apropiate de frontiera domeniului global si printr-un set de functii de aproximare a valorilor parametrilor si a geometriei pe intinderea subdomeniului in functie de valorile luate in noduri care sunt elementele de legatura continu-discret.

Teoria elementelor finite arata ca problema are solutie indiferent de modul de alegere al elementelor finite. in conditiile unei discretizari corect efectuate,. Precizia acestei solutii si timpul de lucru calculator sunt insa dependente de numarul de elemente finite, de tipul acestora, de dimensiunile acestora, de modul de alegere al lor si al functiilor de aproximare aferente.

1 Reguli de discretizare

Pentru ca divizarea in elemente finite sa poata conduce la o modelare corecta este necesar sa tinem seama de anumite reguli si anume:

Doua elemente vecine nu pot avea in comun decat puncte situate pe frontiera

comuna. Sunt inadmisibile suprapunerile si spatiile libere. intre elemente, care sa nu apartina nici unuia dintre acestea.

Definind o scara ierarhica prin punct, curba, suprafata, volum, intersectia a doua elemente oarecare ale domeniului nu poate fi decat cel mult de ordinul treptei inferioare celei a tipului de elemente considerat, adica intersectia a doua elemente liniare poate fi cel mult un punct, a doua elemente de suprafata cel mult o curba, etc.

Fig.1 Exemple de frontiere intre elemente.

Ansamblul, reuniunea, tuturor elementelor trebuie sa conduca la un domeniu cat

mai apropiat de domeniul global dat. Nu este permisa existenta de goluri intre elemente, adica nu este permisa existenta de portiuni de domeniu, marginite numai de elemente finite, care sa nu se regaseasca in domeniul de elemente finite.

Fig. 2 Situatie incorecta de discretizare

Frontierele curbilinii pot fi inlocuite cu linii poligonale cu acceptarea unei erori

denumite eroare de discretizare geometrica. Aceasta poate fi diminuata prin cresterea numarului de elemente folosind elemente cu frontiera curbilinie.

Orice tip de modelare, aplicata corect, conduce la o solutie aproximativa a

problemei. Numarul de elemente poate insa afecta eroarea rezultatului obtinut si timpul de lucru ordinator.

Este important ca, atunci cand se cunosc informatii legate de forma si tipul legii

de variatie a parametrilor investigati, sa se adopte pentru functiile de aproximare legi similare, sau legi cu variatii apropiate, ceea ce va conduce la aproximari mult mai bune si deci rezultate mult mai apropiate de realitate.

Nu trebuie uitat ca intre forma elementului si legile de aproximare pe intinderea

elementului exista o corelare.

2 Forme clasice de elemente finite

Elementele finite se definesc prin forma lor geometrica si prin gradul functiilor de interpolare, respectiv numarul de noduri pe latura. Cele mai cunoscute tipuri de elemente finite pot fi clasificate astfel:

Fig, 3. Exemplu de aplicare a discretizarii ia limita domeniului. Discretizare

cu elemente finite bidimensionale liniare si neglijarea unei portiuni de domeniu

langa frontiera

dupa gradul functiilor de interpolare:

a)        liniare;

b)        patratjce;

c)        cubice;

dupa numarul de dimensiuni geometrice si gradul functiilor de aproximare:

a)     elemente unidimensionale

liniare;

patratice;

cubice:

b)     elemente bidimensionale;

triunghiulare

liniare;

patratice;

cubice:

partuiatere

liniare;

patratice;

cubice;

c)     elemente tridimensionale.

tetraedrice

liniare;

patratice;

cubice;

hexaedrice

iiniare;

patratice;

cubice;

d)     elemente speciale, de exemplu axisimetrice, de contact (GAP).

3 Sisteme de referinta

Deoarece modelarea, respectiv aproximarea, se dezvolta in prima etapa la nivelul unui element finit, este practic si util sa se faca raportarea elementelor fata de sisteme de referinta locale. Exista doua tipuri uzual folosite de sisteme de referinta locale si anume sistemele de referinta si sisteme detipi-naturale.

Sistemul de coordonate este un sistem de tip local care are originea in centrul de greutate sau in unul din noduri si axele de coordonate de obicei paralele cu doua laturi ale elementului.

Fie cazul unui element finit unidimensional cu nodurile extreme 1 si respectiv 2. raportat la sistemul de referinta global xOy si fata de care nodurile prezinta coordonatele (x₁, 0) si (x₂. 0).

Acestui element i se ataseaza un sistem local de coordonate .

a.     Cazul originii sistemului local intr-un nod situat Ia extremitatea elementului finit. Fie originea sistemului local, de exemplu in nodul 1, ceea ce face ca pozitia unui punct oarecare M, caracterizat prin coordonata globala (x, 0). sa se exprime, fata de sistemul local, prin:

Fig. 4 Coordonare pentru elemente unidimensionale

Fig. 5 Coordonare L- naturale pentru elemente unidimensionale

4 Numerotarea nodurilor. Tabel de conexiuni

Structurile cu elemente finite contin un numar ridicat de elemente si respectiv de noduri. Referirea acestor noduri se face prin numere. Ordinea de notare nu afecteaza solutia problemei. Numerotarea poate fi insa optimizata, lucru care se va trata ulterior.

Identificarea pozip'ei nodurilor se face prin coordonatele acestora iar corespondenta intre numerele nodurilor si coordonatele acestora este stocata intr-un tablou de forma:

Un alt aspect important pentru definirea structurii globale cu elemente finite il constituie modul    de apartenenta al nodurilor la elemente, ceea ce localizeaza efectiv legatura intre elementele finite, in domeniul global de iucru. intrucat aproape toate problemele cu elemente finite sunt rezolvate, dupa modelare cu ajutorul calculatorului, aceste informatii privind conexiunea intre elemente prin noduri se dau sub forma unor tabele de conexiuni noduri-elemente.

De exemplu, pentru structura de elemente finite din figura 6, tabela de conexiuni are forma:

Elemente

Este important ca parcurgerea periferiei elementelor sa se faca in acelasi sens

Fig. 6. Exemplu de snuctura cu demente finite triunghiulare liniare