Modelul dinamic al unui robot

Modelul dinamic al unui robot

In acest paragraf vom considera robotul ca fiind un sistem complex alcatuit din trei subsisteme: un mecanism (partea mecanica), subsistemul elementelor de executie si sistemul de conducere (inclusiv traductoare, senzori, etc.).

Partea mecanica este alcatuita din legaturi mecanice, conectate intre ele prin articulatii. Vom presupune ca fiecare legatura este rigida, adica vom neglija elasticitatea lor. Robotul are n grade de libertate si n articulatii. Fiecare articulatie este condusa de un EE separat, care produce o forta (un moment) activa in articulatia respectiva.

Deplasarea articulatiei i este descrisa de coordonata qⁱ, care reprezinta unghiul dintre axele a doua legaturi consecutive (pentru articulatii de rotatie) sau distanta dintre acestea (pentru articulatii de translatie). Miscarea este de asemenea descrisa prin viteza si acceleratia ale articulatiei.

Momentul activ P_i produs de EE in articulatia i va determina deplasarea acestei articulatii. Acceleratia este proportionala cu P_i. Factorul de proportionalitate reprezinta momentul de inertie al partii mobile a mecanismului fata de articulatia i. Acest moment de inertie depinde de toate articulatiile conectate din punct de vedere cinematic "dupa" legatura i, adica este o functie de q^j (j > i).

In afara de aceasta, miscarea articulatiei este influentata de acceleratiile tuturor celorlalte articulatii , j > i. Adica, daca articulatia j este deplasata cu acceleratia , momentul dinamic ce apare in articulatia i este proportional cu . De asemenea, momentele datorate vitezelor articulatiilor influenteaza deplasarea articulatiei i. Aceste momente sunt momentele Coriolis si centrifugale.

In sfarsit, momentele (fortele) gravitationale afecteaza deplasarea tuturor articulatiilor. Ecuatia de echilibru a momentelor care actioneaza asupra articulatiei i este [38]:

, (1)

unde H_ii reprezinta momentul de inertie al mecanismului in jurul articulatiei i, si depinde de toate coordonatele mecanismului q = (q¹.qⁿ)^T    (cu exceptia coordonatei articulatiei i), H_ij reprezinta termenii care descriu interactiunile dintre articulatii, reprezinta efectele Coriolis si centrifugale, g_i este momentul de gravitatie in jurul axei articulatiei i si depinde de asemenea de toate coordonatele mecanismului, q.

Ecuatia (1) descrie miscarea articulatiei atat pentru articulatii de rotatie cat si de translatie. In cazul articulatiilor liniare, P_i este forta generata de EE, H_ij sunt mase, g_i este forta gravitationala, in timp ce, pentru articulatiile de rotatie operam cu: cuplul activ P_i , momentele de inertie H_ij si momente de gravitatie g_i.

Daca scriem ecuatia (1) pentru toate cele n articulatii ale mecanismului (i = 1,.,n), obtinem modelul complet al mecanismului robotului:

,    (2)

unde P = (P₁,P₂,.,P_n)^T este vectorul n 1 al cuplurilor (fortelor) active, H(q) = [H_ij(q)] este matricea de inertie n n, ale carei elemente depind de vectorul n 1 al coordonatelor mecanismului q = (q¹,q²,.,qⁿ)^T.

este un vector n 1, C(q) = [(q)] este o matrice tridimensionala n n n, numita matricea efectelor Coriolis si centrifugale, sau matricea "C". g(q) este vectorul n 1 al momentelor (fortelor) de gravitatie ale carui componente depind de asemenea de q.

Dupa cum se vede din ecuatia (2), modelul dinamic al mecanismului reprezinta n ecuatii diferentiale neliniare de ordinul al doilea (evident, ordinul total al acestui sistem este 2n). Se poate observa de asemenea ca miscarea fiecarei articulatii este puternic interconectata cu miscarile tuturor celorlalte articulatii iar cuplurile (fortele) active afecteaza toate articulatiile mecanismului (cuplul activ al elementului de executie i afecteaza si miscarile tuturor celorlalte articulatii). Trebuie accentuat ca matricea H si vectorul h pot fi functii complexe, neliniare, de toate coordonatele mecanismului; acest lucru face ca stabilirea ecuatiilor diferentiale (modelul matematic (2)) sa fie un proces extrem de dificil in cazul general.

Complexitatea modelului depinde de structura mecanismului particular al unui robot. Datorita acestei complexitati a modelului dinamic al robotului, a fost elaborat un numar mare de metode pentru obtinerea automata a acestuia cu ajutorul calculatoarelor. Aceste metode permit generarea automata a modelului matematic al unui mecanism cu structura arbitrara si cu un numar arbitrar de grade de libertate. Utilizatorul trebuie sa impuna numai datele de baza ale mecanismului (structura, datele geometrice ale legaturilor, pozitiile centrelor de greutate ale acestora, masele si momentele de inertie ale lor, etc.), iar calculatorul va genera ecuatiile (2).

Generarea modelului dinamic al mecanismului robotului se poate face cu ajutorul algoritmilor descrisi in diferite lucrari de specialitate. Diferenta principiala dintre acesti algoritmi este data de legile mecanicii pe care fiecare dintre ele le aplica pentru a forma ecuatiile de miscare [20]. Sunt utilizate urmatoarele metode: utilizarea ecuatiilor Lagrange, metode bazate pe ecuatiile Newton-Euler, metode bazate pe ecuatiile Appel. In aceasta lucrare nu vor fi descrise metodele prin care se pot obtine automat modelele dinamice ale unor lanturi cinematice deschise, pentru ca ele pot fi gasite in alte lucrari [38]. Ar trebui mentionat ca metodele utilizate pentru generarea modelelor matematice ale robotilor difera prin numarul operatiilor de inmultire si adunare necesare pentru calculul cuplului activ in conditiile in care sunt date coordonatele, vitezele si acceleratiile articulatiilor (sau pentru calculul matricii de inertie H si al vectorului h).

In ceea ce priveste elementele de executie (EE), vom presupune ca fiecare articulatie a robotului este actionata de propriul motor. Majoritatea robotilor de pe piata are in componenta motoare de c.c. cu magneti permanenti. Exista de asemenea roboti actionati de motoare electrohidraulice, motoare de c.a. si chiar de motoare electropneumatice. Acestea din urma au fost utilizate pentru realizarea asa-numitelor "maini mecanice", in timp ce in constructia robotilor propriu-zisi nu sunt utilizate din cauza incapacitatii lor de a urmari traiectorii continue. Totusi, aparitia servo-mecanismelor pneumatice a facut posibila utilizarea lor in robotica. Toate consideratiile legate de sinteza sistemelor de conducere prezentate in aceasta lucrare pot fi extinse la roboti actionati cu sisteme pneumatice.

Modelele matematice ale acestor EE au fost prezentate in detaliu in capitolul 2. Aici vom prezenta pe scurt numai modelul unui motor de curent continuu (MCC), pentru ca in continuare vom presupune un robot de manipulare cu sistem electric de actionare. Totusi, cititorul interesat va putea extinde cu usurinta notiunile de baza de aici la alte tipuri de roboti. Se va acorda o atentie deosebita actionarilor directe, adica actionarilor cu motoare electrice, fara reductor.

Vom considera, intr-o prima faza, ca articulatia i a robotului este actionata de un MCC cu magneti permanenti cu reductor. Schema unei astfel de actionari este cea din figura

Ecuatiile diferentiale care descriu comportarea unui astfel de MCC sunt:

- ecuatia echilibrului mecanic dintre cuplul activ si momentul echivalent al sarcinii la iesirea axului reductorului:

; (3)

- ecuatia de echilibru electric in circuitul rotoric:

.    (4)

In ecuatiile de mai sus au fost utilizate urmatoarele notatii: [A] este curentul rotoric, uⁱ [V] - tensiunea de comanda a rotorului, [Ω] - rezistenta rotorului, [H] - inductanta infasurarii rotorului, θⁱ [rad] - unghiul de rotatie al axului motorului dupa reductor, - constanta de cuplu (raportul dintre cuplul la axul motorului si curentul din circuitul rotoric), [V/rad/s] - constanta eletromecanica (raportul dintre tensiunea din circuitul rotoric cauzata de rotatia rotorului in camp magnetic si viteza de rotatie), [Nm/rad/s] - factorul de amortizare vascoasa, [kgm²] - momentul de inertie al rotorului, [kgm²] - momentul de inertie al rotorului redus la iesirea axului reductorului, - raportul de reductie al vitezelor (raportul dintre viteza de rotatie a axului rotorului si viteza de rotatie a axului de iesire din reductor), - raportul de reductie al cuplurilor (raportul dintre cuplurile de iesire /intrare din/in reductor), [Nm] este cuplul de sarcina la axul de iesire al reductorului.

Ecuatiile (3) si (4) reprezinta modelul matematic dinamic al unui MCC care este utilizat pentru actionarea unei articulatii a unui robot de manipulare. Ordinul modelului este n_i = 3. Indicele i arata faptul ca elementul de executie considerat este utilizat pentru deplasarea articulatiei i, iar i poate lua valorile: i = 1,2,.,n.

Modelul MCC poate fi scris in spatiul starilor. Daca vom considera ca vector de stare al modelului EE vectorul xⁱ = (θ_i, , )^T, unde vectorul xⁱ are dimensiunile n_i 1, vom putea scrie modelul MCC exprimat prin relatiile (3) si (4), in spatiul starilor sub forma:

, (5)

unde Aⁱ este matricea n_i x n_i a sistemului, bⁱ este vectorul n_i x 1 al distributiei intrarilor iar fⁱ este vectorul n_i x 1 al distributiei sarcinii.

Matricea Aⁱ si vectorii bⁱ    si fⁱ sunt, in acest caz:

. (6)

In (6) uⁱ reprezinta marimea scalara de intrare pentru sistemul robot (de fapt, tensiunea aplicata circuitului rotoric).