MODELAREA NUMERICA A SISTEMELOR MECANICE - METODE DE ELEMENT FINIT PENTRU STUDIUL FRECVENTELOR PROPRII ALE VIBRATIILOR PENTRU O POMPA CU PISTOANE CU BLOC INCLINAT

 

 

MODELAREA NUMERICA A SISTEMELOR MECANICE

METODE DE ELEMENT FINIT PENTRU STUDIUL FRECVENTELOR PROPRII ALE VIBRATIILOR PENTRU O POMPA CU PISTOANE CU BLOC INCLINAT

Cap.1 Introducere

Metoda elementului finit, sau analiza elementelor finite, se bazeaza pe ideea de constructia unui obiect complicat cu blocuri simple, sau, impartind un obiect complicat in piese mici si maleabile. Aplicatiile acestor idei simple pot fi gasite peste tot in viata de zi cu zi, precum si in inginerie.
Exemples
-Lego (KDS straturi)
-Constructii
-Apropierea de zona de un cerc
Aplicatii ale metodei elementului finit in inginerie:

-Inginerie mecanica,aerospatila,civila,ing constructoare de masini

-analize structural(statice-dinamice, liniare si neliniare

-geomecanica

-biomecanic

Elemente finite pentru probleme 2-D

Formula generala pentru matricea rigiditatii

Deplasarile (u,v)intr-un element finit plan sunt interpusede la deplasarile nodale (ui, vi) folosind forma functiilor N asa cunm urmeza:

Unde N este forma functiei matriciale ,u vectorul delasarisi d vectorul deplasari nodale.Am aratat ca u depinde de valoarea nodului doar pentru u si v in valoare nodului

Din efortul deplasarilor relatia (8)vectorul tensiunilor este:

Unde B=DN este matricea deplasarilor

Consideram energia tensiunilor inmagazinata in element

Din aceasta obtinem formula generala pentru element si matricea rigiditatii

Spre deosebire de coloana 1-D,E este aici o matrice care este data de fortatensiunii reltia (5)pentru solicitarile plane.Pentru matricea k a rgiditatii depinde de relatia B este simetrica atunci E este simetrica.De altfel daca avem propritatile materialului comportamentul lui k depinde numai de matricea B.Calitateaelementelor finite reprezentand comportatrea structure in intrgime determinate de alegerea formei functiei.Cel mai implementat element 2-D este cel liniar ori triunghiulr patratic sau patrulatere CST.

Aceste este un element 2-D simplu care este denumit si element triunghiular liniar

Pentru acest element avem 3 noduri la varfurile triunghiuluicare sunt numerotate in ordinea acelor de ceasornic.Fiecare nod are 2 grade de libertate.

Delasarile u si v sunt asumate ca fiind functii liniare a elemntului u=b1+b2x+b3y,    v=b4+b5x+b6y

Unde b(i=1.2..6)sunt constante.De aici solicitarile sunt gasite ca fiind in intrgime pe element.

Delasarile date de formula 14 ar trebui sa satisfaca 6 ecuatii

εx=b2,    εy=b6, γxy=b3+b5

u1=b1+b2x1+b3y1

u2=b1+b2x2+b3y2

V3=b4+b5x3+b6

Rezolvand aceste ecuatii putem gasii coeficiantii b1, b2si b6ca termini ai deplsarii si coordinate.Inlocuind acesti coeficenti in relatiile 14,obtinem

Unde forma functiilor este

N1=1/2A

N2=1/2A

N3=1/2A

Folosind relatiile deplasarilor 16 si 17 avem

Din nou vedem solicitarile constant in element,din ecuatua 5 vedem solicitarile obtinute folosiind CST.Aplicand formula 13 obtinem matricea rigiditatii pentru CST.

Unde (t)este grosimea elementului,aflam ca k pentru cst este o matrice cu 6 matri simetrice .Multiplicarea functiilor se face in 20 si pot fi rezolvate cu ajutorul unui program de calculator.

Ambele expresii ale formei functiilor (17) si derivatele lor sunt pastrate in comportamentul elementului .

Introducem coodonatele natural e in triunghi si dupa acea forma functiilor poate fi reprezentata simplu

N1=ζ, N2=η, N3=1-ζ-η

Notam :

N1+N2+N3=1

Ne asiguram ca translatarea corpului rigid este reprezentata,de altfel si in ccoloanele ­1-Dsi variaza liniar dea lungul elementului.

x=N1x1+N2x2+N3x3

Pentru functia de forma N1prezentata si de N2,N3are caracteristicile similar.

Avem 2 coordonat pentru element ,coordonatele globale(x,y)si coordonatele natural(ζ,η)relatiile dintre acestea doua de

y=N1y1+N2y2+N3y3   

Sau x=x13ζ+x23η+x3

y=y13ζ+y23η+y3   

Delasarile u si v pe element pot fi vazute ca si fnctii (x,y)sau(ζ,η)folosind aceasi regula si pentru derivate avem

Unde J este denumita matricea jacobiana pentru transformare din (25 )am calculat

Unde det de J fost folosit(A este aria elementului triunghiular )

Din (26),(27),(16)si(21(avem)

Similar

Elemente solide pentru probleme 3D

Teoria elasticitatii 3D

εx=δu/δx, εy=δv/δy, εz=δw/δz,

γxy=δv/δx+δu/δy, γyz=δw/δy+δv/δz, γxz=δu/δz+δw/δx

σij,j + fi=0

1. FORMULAREA PROBLEMEI

Determinarea frecventelor si a nodurilor proprii de vibratie ale componentelor

mecanice ale masinilor hidraulice volumice se poate realiza prin intermediul analizei

modale. Frecventele naturale si modurile de vibratie sunt parametrii foarte importanti

pentru faza de proiectare deoarece furnizeaza informatii despre comportarea in regim dinamic a structurilor analizate.

Analiza modala in cadrul programului ANSYS este o analiza liniara. Orice

neliniaritate, cum ar fi plasticitatea si elementele de contact este ignorata, chiar daca

este definita.

Solutia modala se obtine in urma unei analize modale care consta in parcurgerea

urmatoarelor etape:

- constructia modelului;

- aplicarea incarcarilor si obtinerea solutiei prin analiza structurala;

- expandarea modurilor;

- vizualizarea rezultatelor.

Ecuatia de baza rezolvata intr-o analiza modala neamortizata tipica pentru

programul ANSYS este data de problema clasica a valorilor proprii:

[ K] = ωi˛[ M unde [K] este matricea de rigiditate; este vectorul de

forma (vectorul propriu) al modului i; ωi este frecventa naturala a modului i (ωi˛

este valoarea proprie); [M] este matricea maselor.

Dintre metodele de rezolvare a acestei ecuatii, recomandata in cadrul programului ANSYS, se va utiliza in cadrul acestei lucrari metoda vectorilor Lanczos [14].

Componentele mecanice studiate in aceasta lucrare sunt considerate

independent, fara legaturi mecanice. S-a abordat aceasta maniera de calcul deoarece modelarea elementelor conexe ar conduce la dimensiuni mari ale modelelor cu elemente finite, ceea ce ar avea efect negativ asupra acuratetii rezultatelor. Astfel, se va realiza analiza modala a componentelor mecanice cu conditii la limita libere, cu scopul de a obtine indicii asupra aparitiei fenomenului de rezonanta.

2. ANALIZA MODALA A BLOCULUI CILINDRILOR

Peste solicitarile statice ale blocului cilindrilor [5] se pot suprapune solicitari de

tip dinamic, care impreuna cu cele statice pot provoca distrugerea acestui reper. Una dintre solicitarile dinamice la care este supus blocul cilindrilor este solicitarea datorita vibratiilor provocate de diverse cauze pe timpul functionarii pompei (jocuri intre componentele aflate in miscare, pulsatii de debit etc.).

In continuare, se vor determinarea prin analiza modala frecventele si modurile

proprii de vibratie ale blocului cilindrilor care echipeaza pompa SPV 22, produsa de

firma ZTS din Cehoslovacia. Modelul geometric al acestei componente se prezinta in

fig. 1.

Analiza modala a fost realizata in ipoteza absentei legaturilor dintre blocul

cilindrilor si celelate repere ale masinii volumice. S-a considerat aceasta ipoteza ca o

prima etapa, intrucat daca prima frecventa proprie este foarte departe de frecventa de lucru (aprox. 900 Hz) este ineficient sa se realizeze un model foarte complex. In fig. 2 se prezinta modul de vibratie sub influenta primei frecvente proprii a blocului

cilindrilor. Intr-adevar, valoarea primei frecvente proprii este destul de mare (aprox.

6500 Hz) si probabilitatea aparitiei fenomenului de rezonanta este mica.

3. ANALIZA MODALA A PISTOANELOR

Pistoanele sunt elemente in permanenta miscare, solicitate static si dinamic.

Pentru a estima comportarea sa la vibratii, se va supune un piston analizei modale cu scopul de a determina frecventele si modurile sale proprii de vibratie. Analiza se va realiza pe un model prelevat de la pompa SPV 22. Lungimea pistonului este de 70 mm,diametrul de 19 mm, iar la interior este strabatut de un canal tubular de diametru 3,2mm. Dimensiunile de gabarit si geometria pistonului il recomanda ca fiind o structura foarte rigida. In urma analizei modale efectuata pe modelul din fig. 3 s-au obtinut primele 10 frecvente proprii, indicate tabelar in fig. 4.

Deoarece pe model nu s-au impus conditii pe contur, primele 6 frecvente sunt

nule si reprezinte cele 6 grade de libertate mecanice ale solidului rigid. Prima frecventa proprie importanta este de cca 15000 Hz, ceea ce confirma rigiditatea mare a pistonului si mica probabilitate ca el sa intre in rezonanta in timpul functionarii pompei. Cateva dintre modurile proprii de vibratie ale pistonului sunt prezentate in fig. 5, 6 si 7.

Pentru comparatie se va realiza si analiza modala pentru un piston care

echipeaza pompa Dyna Power. Modelul cu elemente finite al acestui piston este

prezentat in fig. 8, iar lista primelor 10 frecvente proprii in fig. 9.

Trebuie mentionat ca analiza s-a realizat fara a impune blocaje pe conturul

modelului, ceea ce a determinat ca valoarea primelor 6 frecvente sa fie zero. Cea mai mica frecventa proprie a pistonului este mai mica decat cea a pistonului de la pompa ZTS, ceea ce indica faptul ca pistonul Dyna Power este mai flexibil, insa insuficient ca sa apara probleme la frecventele uzuale de excitatie existente in cadrul functionarii pompei (50, respectiv 900 Hz). Modurile proprii de vibratie ale pistonului pompei Dyna Power pentru primele doua frecvente proprii sunt prezentate in fig. 10 si 11.

Desi este mai flexibil, problemele legate de geometria pistonului pompei Dyna

Power nu apar in cadrul solicitarilor la vibratii. Avantajul major al acestui piston este ca se reduce cu peste 50% greutatea sa, ceea ce va atrage dupa sine un consum energetic mai mic si o densitate de putere mai mare.

4. ANALIZA MODALA A PATINELOR HIDROSTATICE

Patinele hidrostatice sunt reperele care impreuna cu discul inclinat alcatuiesc

lagarele hidrostatice necesare alunecarii pistoanelor dupa o traiectorie al carei plan este inclinat sub un anumit unghi fata de axul pompei. Solicitarile la care sunt supuse patinele sunt de asemenea de natura statica si dinamica. In acest paragraf se va prezenta analiza modala a patinelor in scopul determinarii frecventelor proprii si a modurilor proprii de vibratie.

Analiza va avea ca obiect de studiu o patina care echipeaza pompa cu pistoane axiale si disc inclinat model SPV 22. Modelul geometric al patinei se prezinta in fig. 12.

Modelul cu elemente finite a fost realizat cu elemente finite de tip

paralelipipedic, utilizarea acestora micsorand substantial erorile de calcul. Lista

primelor valori ale frecventelor proprii pentru patina analizata sunt prezentate in fig. 13. Din nou primele sase valori sunt nule deoarece nu s-au impus conditii pe contur

(blocaje) si aceste valori reprezinta cele sase grade de libertate mecanice ale solidului rigid.

Urmatoarele valori sunt foarte mari, fiind departe de frecventele uzuale care apar in timpul functionarii pompei. Este normal ca aceste valori sa fie foarte mari deoarece patinele sunt componente foarte rigide, ele avand dimensiuni mici si geometrie relative compacta.

Primele doua frecvente proprii nenule nu sunt egale datorita usoarei asimetrii a

canalelor de egala presiune practicate pe suprafata patinei.

Modurile proprii de vibratie ale patinelor pentru primele doua frecvente proprii

nenule sunt prezentate in fig. 14 si 15.

5. ANALIZA MODALA A ARBORELUI POMPEI

Pompa cu pistoane axiale si disc inclinat este o masina volumica rotativa, a carei miscare de rotatie este transmisa de la un motor de curent electric sau cu ardere interna la blocul cilindrilor pompei prin intermediul unui ax central. Acest arbore (fig. 16) este sprijinit pe doi rulmenti si antreneaza blocul cilindrilor si pistoanele aferente prin intermediul unei caneluri, fiind solicitat static si dinamic la incovoiere, forfecare,strivire etc. Calculul de rezistenta al acestui reper cu metode clasice din rezistenta materialelor nu este suficient deoarece numeroasele salturi de diametru existente de-a

lungul arborelui reprezinta concentratori de tensiune. Experimental au fost determinati758 coeficienti ai concentratorilor de tensiuni pentru diferite cazuri particulare, insa rareori aceste cazuri corespund realitatii. In acest caz se va utiliza metoda elementelor finite, deoarece se pot lua in calcul concentratorii de tensiuni.

In acest paragraf se vor determina frecventele proprii si modurile proprii de

vibratie pentru doua solutii constructive de arbore de pompa, ale caror geometrii au fost prelevate de la o pompa SPV 22 (fig. 17) si o pompa Dyna Power (fig. 18), ambele din categoria pompelor cu pistoane axiale si disc inclinat si avand dimensiuni de gabarit similare. Analiza a fost realizata in ipoteza absentei legaturilor dintre arbori si celelalte repere ale masinilor din care fac parte, precum si in absenta efectului gyroscopic.

In ambele cazuri, in modelarea geometriei arborilor au fost surprinse toate

particularitatile geometrice, cu exceptia canelurilor de antrenare a blocului cilindrilor.

Pentru realizarea analizei modale s-au utilizat elemente finite de tip Solid 45 [14],

dispuse intr-o retea controlata riguros in scopul diminuarii erorilor de calcul (fig. 19).

Rezultatele analizelor modale ale acestor arbori sunt prezentate in fig. 20 24.

In fig. 20 este prezentat tabelul cu valorile primelor 10 frecvente proprii ale

arborelui care echipeaza pompa SPV 22. Deoarece in cadrul analizei modale nu s-au introdus blocaje pe nici una dintre directii, primele 6 frecvente proprii sunt nule. In fig.21 si 22 sunt prezentate modurile de vibratie ale acestui arbore pentru frecvente de excitare egale cu prima, respectiv a treia frecventa proprie ale arborelui. Cea de-a doua frecventa proprie excita in mod identic arborele ca si prima cu mentiunea ca deformarea arborelui se va produce pe directie perpendiculara pe directia de deformare sub efectul primei frecvente proprii.

Frecventa de rotatie a arborelui este de 50 Hz, iar frecventa pulsatiilor de debit

este de cca. 900 Hz, ambele frecvente fiind inferioare primei precvente proprii a

arborelui.

In cazul arborelui pompei Dyna Power (fig. 23 si 24), prima frecventa are o

valoare mult mai mare decat frecventele mentionate anterior, pericolul aparitiei

fenomenului de rezonanta fiind mult mai mic.760

6. ANALIZA MODALA A CARCASEI POMPEI

Nivelul de zgomote si vibratii poate creste semnificativ daca frecventa de

functionare a unei masini este apropiata ca valoare de frecventa proprie a acesteia. Acest fapt poate avea efecte dezastroase, putand conduce chiar la distrugerea structurii in cazul producerii fenomenului de rezonanta. In acest scop, se impune efectuarea unei analize modale asupra carcasei pompei pentru determinarea frecventelor si a modurilor proprii de vibratie ale acesteia.

Carcasa analizata este considerata separat, fara legaturile cu reperele pe care le incorporeaza (jugul, capacele etc.). Pentru o aproximare cat mai buna a domeniului studiat s-a realizat o retea de elemente foarte fina, utilizand aproximativ 200.000 de elemente de tip SOLID 45 (fig. 25). Modelul geometric al carcasei a fost prelevat de la pompa SPV 22. Modelul a fost realizat integral in modulul de constructie geometrica a programului ANSYS.

Rezultatele obtinute pentru primele 10 frecvente proprii sunt prezentate in fig.

26.Prima frecventa proprie nenula (1065.6 Hz) este relativ mica si se pune

problema compararii sale cu frecventele de functionare ale pompei. In ce priveste

frecventa de rotatie a arborelui, ale carui lagare sunt sprijinite pe carcasa, aceasta este destul de mica (50 Hz) in raport cu prima frecventa proprie a carcasei. Insa exista pericolul ca aceasta carcasa sa fie excitata de pulsatiile de presiune ale caror frecvente sunt in jurul a 900 Hz.

Modurile proprii de vibratie ale carcasei sunt prezentate in fig. 27, 28, 29 si 30.

Prima directie dupa care s-ar deforma carcasa in cazul excitarii sale cu frecventa de

1065,6 Hz este prezentata in fig. 27. Acest mod de deformare ar conduce la modificarea pozitiei axei centrelor rulmentilor de sprijin ai jugului, ceea ce ar avea consecinte negative asupra pozitiei discului inclinat in raport cu blocul cilindrilor. Modificarea acestei pozitii ar genera incarcari suplimentare in toate componentele aflate in contact direct: pistoane, patine, blocul cilindrilor, discul inclinat si jugul de reglare.

Acest mod de vibratie este insa atenuat prin montajul ferm al rulmentilor de

sprijin ai jugului de reglare si prin adaugarea capacelor exterioare ale carcasei.

Urmatoarele valori ale frecventelor proprii sunt mai mari, probabilitatea ca ele sa

fie atinse de semnalele de excitatie ale carcasei fiind mai mici.

7. CONCLUZII

In cadrul acestei lucrari s-au prezentat rezultatele analizei modale a unor repere care echipeaza pompele cu pistoane axiale si disc inclinat, cu scopul determinarii frecventelor si modurilor proprii de vibratie. Analiza a avut ca scop determinarea ordinului de marime al frecventelor proprii pentru a se determina posibilitatea aparitiei fenomenului de rezonanta cu frecventele de lucru ale masinii. Frecventele de lucru ale masinii sunt datorite rotirii ansamblului rotitor pe de o parte (uzual 50 Hz) si datorite pulsatiilor de debit pe de alta parte (pentru o pompa cu 9 pistoane fiind in jur de 900Hz). Pentru o prima etapa de calcul s-au realizat modelele independente ale reperelor analizate, fara a se considera legaturile acestora cu componentele conexe. Aceasta maniera de calcul a permis realizarea unor modele axate pe reprezentarea cat mai fidela a geometriei reperelor analizate concomitent cu pastrarea dimensiunilor bazei de date in limite acceptabile. Rezultatele au aratat ca majoritatea componentelor sunt foarte rigide,frecventele proprii ale acestora fiind mult superioare celor functionale ale pompei.

Exista insa si repere elastice cu frecvente proprii apropiate celor functionale. Aceste repere trebuie sa fie studiate in conditii reale de incarcare si pe frontiera, considerand in cadrul modelelor si legaturile acestora cu reperele conexe.