SISTEME STATIC NEDETERMINATE LA INTINDERE COMPRESIUNE

SISTEME STATIC NEDETERMINATE LA INTINDERE COMPRESIUNE

In practica se intalnesc situatii in care , conditiile de echilibru static nu permit determinarea necunoscutelor , deoarece numarul de necunoscute este mai mare decat numarul de ecuatii de echilibru static ce pot fi scrise pentru sistem . In acest caz , se spune ca sistemul este static nedeterminat .

Deci , trebuie sa se completeze sistemul de ecuatii de echilibru static cu un numar de ecuatii egal cu diferenta dintre numarul necunoscutelor si numarul de ecuatii de echilibru static ce se pot scrie . De regula , ecuatiile suplimentare se scriu din conditii de deformare ale elementelor de rezistenta ( sau din conditii de deplasari ale acestora ) . Pentru aceasta , se presupune cunoscut materialul din care este confectionat elementul de rezistenta , respectiv pentru a se putea determina rigiditatea acestuia sau rapoarte intre rigiditati , cand acestea variaza in lungul piesei .

1 BARA INCASTRATA ( ARTICULATA ) LA AMBELE CAPETE

Se considera o bara dreapta , de rigiditate EA , constanta pe toata lungimea , incastrata la ambele capete ( sau articulata ) , actionata in punctul C ( intre capetele A si B ) de o forta axiala F - figura 2. 6 . Se cer reactiunile R_A si R_B din legarturile laterale .

Pentru calculul necunoscutelor ( a reactiunilor R_A si R_B ) se scrie ecuatia de echilibru a fortelor dupa axa barei :

( 2 . 36 )

Deoarece nu se mai poate scrie alta ecuatie de echilibru static , si pentru ca sunt doua necunoscute , trebuie cautata inca o ecuatie , ce se va obtine scriind conditia de deformabilitate a barei - fiind incastrata , sau articulata la capete , acestea sunt fixe , deci :

( 2 .37 )

In care ∆l_A-C si ∆l _C-B se calculeaza cu formula ( 2 . 11 ) ( desigur , pe zona C-B deformatia fiind de compresiune , este deci negativa ), valorile eforturilor ce produc deformarea luandu-se din diagrama de forta axiala , respectiv relatia ( 2 . 37 ) devenind :

( 2 . 38 )

Tinand cont de relatia ( 2 . 36 ) se obtine :

( 2 .39 )

si se deduce :

( 2 .40 )

Cu reactiunile determinate , sunt calculate valorile din diagrama de eforturi axiale in lungul barei .

Metoda poate fi aplicata in acelasi mod , atunci cand in lungul axei barei exista mai multe forte axiale , sau cand , modulele de rigiditate EA, variaza in lungul axei barei si sunt cunoscute .

2 SISTEM DE TREI BARE PLANE ARTICULATE CONCURENTE ,

SOLICITATE LA INTINDERE

Se considera sistemul de trei bare plane articulate , concurente , ca si in figura 2.7 actionate in punctul B de o sarcina verticala F . Sistemul este simetric din punct de vedere geometric dar si mecanic-barele laterale avand rigiditatea E₁A₁ , iar bara centrala are rigiditatea EA . Trebuie sa se determine eforturile din bare .

Sectionand cele trei bare , izoland nodul B ( fig.b) se scriu ecuatiile de proiectii dupa orizontala :

( 2 . 41 )

( sau eforturile din barele laterale sunt egale intre ele si egale cu N₁, lucru evident si datorita faptului ca bara este simetrica din punct de vedere geometric si mecanic ).

Scriind ecuatia de proiectii dupa verticala :

( 2 . 42 )

Din conditiile de echilibru static a rezultat o ecuatie ( relatia 2. 42 )cu doua necunoscute : N₁ , N . A doua relatie se va obtine din conditia de deformare a triunghiului BB₁E ( fig.2.7 , c), in care :

( 2 . 43 )

in care ∆ este un unghi infinit mic deci poate fi neglijat ; segmentul BB₁ masoara lungirea barei BC iar B₁E lungirea barei B₁D. Aceste lungiri pot fi scrise cu relatia ( 2 .11 ) in urmatorul mod :

( 2 . 44 )

( 2 . 45 )

Deci :

( 2 . 46 )

Relatiile ( 2 . 42 ) si ( 2 . 46 ) formeaza un sistem de doua ecuatii cu cele doua necunoscute N si N₁ . In urma rezolvarii se determina cele doua eforturi ca fiind date de relatiile :

( 2 . 47 )

3 BARA NEOMOGENA

In practica exista situatii in care se folosesc bare cu sectiune neomogena , adica , sunt confectionate din materiale cu proprietati mecanice diferite . De exemplu : bara de aluminiu sau cupru , cu inima din otel , stalpi din beton armat , etc .Se pune problema modului de repartizare al eforturilor unitare Intr-o sectiune , daca se cunoaste forta axiala ce actioneaza in intreaga sectiune . Pentru aceasta , se considera o bara de sectiune neomogena , formata din n materiale ( bare) diferite , solicitata la intindere de forta axiala F .

( Fiecare material in parte este considerat ca fiind o bara dreapta , iar raportul ariilor in fiecare sectiune se considera constant - figura 2 . 8 ) . Se cere sa se determine tensiunea σ _i din sectiunea i pentru care se cunosc :

- A_i aria din materialului i;

-E_i modulul de elasticitate longitudinal al materialului i ;

-N_i forta axiala aferenta ;

( 2 . 48 )

Scriind ecuatiile de echilibru pentru intreaga bara :

( 2 . 49 )

Relatia ( 2 . 49 ) este o ecuatie cu n necunoscute σ_i . Deci problema este static nedeterminata de (n-1) ori .Rezolvarea ei , implica scrierea a ( n-1 ) ecuatii ( ce se obtin din conditiile de deplasari ). Pentru aceasta , se considera ca cele n bare sunt solidarizate intre ele . Aceasta inseamna , ca alungirea totala este constanta , egala intre ele , pentru cele n bare . Conform legii lui Hooke se poate scrie :

( 2 . 50 )

Relatiile ( 2 . 50 ) reprezinta cele ( n-1) ecuatii necesare .

Daca se multiplica ambii termeni ai rapoartelor ( 2 . 50) cu ariile corespunzatoare elementelor de bara , si se aduna numaratorii si numitorii intre ei , relatia ( 2.50 ) devine :

( 2 . 51 )

Tinand cont de relatiile ( 2 . 48 ) , ( 2 . 49 ) si ( 2 . 51 ) se poate scrie :

( 2 . 52 )

Deci :

( 2 . 53 )

Relatia ( 2 . 53 ) permite determinarea necunoscutelor ce trebuiau gasite .

4.TENSIUNI DATORATE VARIATIILOR DE TEMPERATURA .

BARA IMPIEDICATA SA SE DILATE

Se considera o bara de lungime l , dintr-un material al carui coeficient de dilatatie termica este . La o crestere de temperatura ∆t=t₁- t_o , bara se dilata ( se lungeste ) :

( 2 . 54 )

Daca bara incastrata este libera la unul din capete , sau este bara static determinata , lungirea (dilatarea ) se produce neimpiedicata . Daca , din contra , ( la sisteme static nedeterminate - de exemplu bara incastrata la ambele capete din figura 2.9 ) dilatarea este impiedicata , in bara se produc tensiuni datorate reactiunilor orizontale ce apar in cele doua incastrari datorita faptului ca bara nu se poate dilata deloc datorita opozitiei peretilor .In exemplul din figura 2.9 , daca bara ar fi libera la un capat s-ar dilata la o variatie de temperatura ∆t cu o cantitate ∆l_t data de relatia ( 2 . 54 ) .Peretii se opun acestei dilatari , fapt care duce la aparitia unei forte ce comprima bara ( in sens opus dilatarii ). Conditia de deformatie totala nula a barei se obtine din adunarea algebrica a dilatarii ( lungire datorata cresterii de temperatura ∆t- deci pozitiva ) si a comprimarii ( scurtarii deci cu minus ) datorate reactiunilor din pereti , egale si de sensuri opuse , N, ce comprima bara :

( 2 . 55 )

Relatia ( 2 . 55 ) permite determinarea efortului axial din bara N :

( 2.56 )

si a tensiunii normale σ:

( 2 . 57 )

In general in practica , la unul din capetele barei se practica un rost de dilatatie termica de marime δ cunoscuta .

In acest caz , relatia ( 2 . 55 ) devine :

( 2 . 58 )

si permite calculul efortului N. Daca N rezulta negativ , bara nu umple rostul prin dilatare, deci nu se produc tensiuni in bara .