Difractia produsa de o fanta rectangulara

DIFRACTIA PRODUSA DE O FANTA RECTANGULARA

1.     Scopul lucrarii

Studiul fenomenului de difractie si determinarea lungimii de unda a unei radiatii elaectromagnetice (din spectrul vizibil si din spectrul microundelor) pe baza fenomenului de difractie a undelor pe o fanta dreptunghiulara lunga.

2. Materiale necesare

Trusa pentru studiul microundelor, trusa pentru studiul fenomenelor optice, applet-uri pentru studiul opticii ondulatorii (http://www.walter-fendt.de/ph14ro/singleslit_ro.htm).

3. Teoria lucrarii

Difractia este, ca si interferenta, un fenomen tipic ondulatoriu si consta in ocolirea de catre unde a neomogenitatilor pronuntate (paravane, orificii, etc.) intalnite in mediul de propagare. Se produce cand unda intalneste un obstacol de dimensiuni comparabile cu lungimea de unda. In cazul difractiei Fraunhofer sursa si ecranul sunt la distante mari de fanta astfel incat suprafetele de unda se pot considera plane. In acord cu principiul lui Huygens, cand o unda intalneste o fanta, toate punctele din planul sau devin surse secundare de unde coerente. Explicatia calitativa a fenomenului de difractie nu difera de cea a fenomenului de interferenta. Interferenta are un numar limitat de surse, in timp ce difractia are un numar infinit de surse.

Diferenta de drum dintre sursa din O si cea situata la distanta x este x* sin θ iar diferenta de drum intre capetele fantei este b*sin θ. Starea in punctul P este o suprapunere infinita de miscari oscilatorii armonice. Suma unui numar infinit de amplitudini infinitezimale este coarda arcului din figura:

Diferenta de drum dintre unda emisa jos si unda emisa sus este k b sin θ sau  iar defazajul α este acelasi cu unghiul α care subintinde coarda de raza ρ. Vom calcula lungimea corzii, deci rezultanta.

Coarda este , iar arcul este:

.

Combinand cele doua relatii obtinem:

si cum intensitatile sunt proportionale cu patratul amplitudinilor, obtinem:

,

reprezentarea grafica fiind data in figura de mai jos.

Maximul de difractie se obtine cand argumentul sinusului este zero, adica =1.

Minimele de intensitate se obtin cand argumentul sinusului este multiplu intreg de π:

adica atunci cand:   (n=1, 2, 3...) - relatie care determina directiile in care se observa minimele de intensitate.

Maximele de intensitate se obtin derivand functia in raport cu x = πbsinθ/λ:

       

• Cand sinx/x = 0 avem un mínim de intensitate, adica I=0
• Cand xcosx - sinx = 0  sau, cand x = tanx avem un maxim de intensitate.

Aceasta ecuatie transcendenta poate fi rezolvata numeric sau grafic:

Primul maxim se obtine cand x = 0, iar maximele secundare corespund aproximativ solutiilor: x_n≈(2n+1)π/2 unde n=±1, ±2, ±3., deoarece sin (x_n) = 1. Intensitatea undelor emise in directia maximelor secundare va fi aproximativ exprimata prin:

si scade rapid cu cresterea ordinului de difractie, n.

Daca experimentul de difractie se face cu lumina alba, in mijlocul figurii de difractie se obtine alb, iar langa franja centrala se obtin radiatiile cu lungimi de unda mai mici, violete.

4. Modul de lucru

Emitator de microunde               Fanta dreptunghiulara Receptor de microunde

Deplasand receptorul de microunde in planul detector putem determina pozitia primului minim. Din relatia:

 sau ,

unde b este largimea fantei, y este distanta de la centrul planului de detectie las primul minim iar d este distanta de la planul fantei la planul detector. Masurand b, y si d putem determina lungimea de unda a radiatiei care sufera fenomenul de difractie.

In spectrul vizibil, folosind ca sursa un laser care emite o radiatie monocromatica cu lungimea de unda cunoscuta, vom determina grosimea unui fir de par (principiul lui Babinet: dandu-se un orificiu de o forma arbitrara, obiectul opac de aceeasi forma produce o figura identica de difractie).

5. Probleme

a) Determinati pozitia primului minim de difractie pentru o fanta rectilinie de deschidere 0,05 mm pe un ecran situat la 2,5 m de fanta cand radiatia monocromatica a unui laser cu lungimea de unda λ = 633 nm.

b) Doua surse punctuale mai pot fi vazute ca fiind distincte daca satisfac criteriul lui Rayleigh: maximul central de difractie al unei surse trebuie sa fie pozitionat in dreptul minimului de ordinul intai al celeilalte. Daca un automobil se apropie de noi noaptea cu farurile aprinse, de la ce distanta le putem vedea distinct? Vom considera ca farurile sunt distantate la 1.2 m, ca filamentul are grosimea de 1 mm si ca lungimea de unda a radiatiei este de 589 nm (surse monocromatice de sodiu).

c) O retea de difractie costa dintr-o serie de fante alternativ opace si transparente. Determinati pozitia unghiulara a celui de-al doilea maxim de difractie de transmisie in functie de lungimea de unda si de distanta d dintre centrele a doua fante adiacente, stiind ca avem n fante/mm.