Fenomene bazate pe autosimilaritate - Fractali

Fenomene bazate pe autosimilaritate.

Fractali

Modelarea fenomenelor libere de scala

Invarianta de scala

In fizica si matematica, invariatia de scala este o trastura a obiectelor sau legile care nu se schimba daca scala lungimii (sau scala energiei) sunt multiplicate printr-un factor comun. Termenul ethnic pentru aceasta transformare este dilatarea, iar dilatarile pot face parte dintr-o larga simetrie conformala

Universalitatea este observatia ca diferite sisteme microscopice pot sa afiseze acelasi comportament la o tranzitie de faza. De aceea, tranzitiile de faza in diferite sisteme pot fi descries prin aceeasi teorie de invarianta de scala.

Curbe invariante de scala si autosimilaritate

In matematica, se pot considera proprietatile de scala ale unei functii sau curbe f(x) sub actiunea rescalarilor de variabila x. Aceasta inseamna ca ne intereseaza forma functiei f(λx) pentru un anumit factor de scala λ, care poate fi luat ca fiind o lungime sau masura de rescalare. Cerinta pentru ca f(x) sa fie invariata sub toate rescalarile este in mod obisnuit luata a fi :

pentru o alegere (fixare) a exponentului ∆ si pentru toate dilatarile λ

Exemple de functii invariant de scala sunt monomialele , pentru care avem ∆ = n, in relatia 2:

Un exemplu de curba invarianta de scala este spirala algoritmica, un tip de curba care apare in mod frecvent in natura.

Spirala algoritmica este o spirala a carei ecuatie polara este:

unde r este distanta fata de origine, θ este unghiul pe care il face cu axa Ox, iar a si b sunt constante arbitrare. Spirala logaritmica este de asemenea cunoscuta sub numele de spirala de crestere, spirala echiunghiulara sau Spirala Mirabilis.

Poate fi exprimata parametric ca:

In coordonate polare (r,θ) spirala (3) poate fi rescrisa sub forma:

Permitand rotatii ale curbei, spirala logaritmica este invarianta sub toate rescalarile lui λ, aceasta insemnand ca θ λr) este identic cu o versiune rotita a lui θ(r).

1.3. Geometrie proiectiva

Idea de invarianta de scala a unui monominal se generalizeaza in dimensiuni mai mari in idea unui polinom omogen, si in mod general la functia omogena. Functiile omogene sunt (natural) componente ale spatiului proiectiv, iar polinoamele omogene sunt studiate ca varietati proiective in geometria proiectiva. Acesta este un camp bogat al matematicii sic ea mai abstracta forma a sa, geometria schemelor, are numeroase legaturi cu subiecte din teoria stringurilor.

1. Fractali

Se spune uneori ca fractalii sunt invariatii de scala, desi mai précis trebuie spus ca sunt autosimilari. Un fractal este egal cu el insusi in mod obisnuit doar pentru o submultime discreta de valori λ, si chiar si atunci o translatie si o rotatie trebuie aplicate pentru a se potrivi cu fractalul initial. De aceea, de exemplu, curba Koch scaleaza cu ∆=1, dar scalarea se mentine doar pentru valorile unde n este intreg. In plus, curba Koch scaleaza nu numai in origine, dar, intr-un anumit sens,,oriunde": copii in miniature ale ei insasi pot fi regasite de-a lungul curbei.

Unii fractali pot avea factori de scalare multipli, folositi in acelasi timp,.

Acest tip de scalare este studiat cu analiza multifractala.

Invariatia de scala in processe stocastice

Un tip mai abstract de invarianta de scala este regasit in zgomot sau in procese stocastice. Un exemplu tipic de zgomot invariant de scala este zgomotul alb, cantitatea de energoe sau putere continuta intr-o anumita banda de frecventa este independenta de frecventa considerate. Aceasta inseamna ca, daca P(f) este puterea medie, asteapta la frecventa f, atunci zgomotul scaleaza astfel:

cu ∆=0 pentru zgomotul alb, ∆= -1 pentru zgomot roz, si ∆ = -2 pentru zgomotul brownian (sau mai genera, miscarea browniana).

Mai précis, scalarea in procesele stochastice se ocupa cu alegerea unei configuratii din multimea de posibile configuratii aleatorii. Aceasta posibilitate este oferita de distributia probabilistica. Exemple de distributii invariante de scala sunt distributia Pareto si distributia Zipfian.

2. Geneza fractalului ca obiect geometric caracteristic unor tranzitii ordine-haos

Cuvantul "fractal" derivat din latinescul "fractus" care inseamna ceva neregulat si fragmentat, a fost introdus de matematicianul de origine poloneza Benoit B. Mandelbrot cu scopul de a da un titlu primului sau eseu, "O teorie a serii fractale din anul 1975 si care avea sa devina mai tarziu cartea sa manifest "Geometria fractala a naturii" , asupra unor "forme" pe care le investiga si care aveau proprietatea de a fi "riguroase si autosimilare" . La Mandelbrot similar nu avea totdeauna semnificatia de "asemenea" (din geometria euclidiana) , ci corespundea sensului imprecise din vorbirea obisnuita a lui "ca si" , sens care se putea de asemenea multimilor lui Poincare si Julia care-l preocupa. Pentru Mandelbrot, rugos si autosimilar exprima o posibilitate de caracterizare sistemica geometrica, intermediara intre aceea privind formele extreme de ordonate si netede din geometria euclidiana (in care curbele, fiind, local, drepte, sunt autosimilare) si formele de o considerabila complexitate si rugozitate, numite azi geometric haotice. Cu notiunea de fractal rugos si autosimilar, Mandelbrot intentiona sa explice unitatea lumii materiale si sa disece haosul, cautand sa explice tranzitia de la ordine la dezordine, deci sa elaboreze un "scenariu" , drum, spre turbulenta. Dorind mai intai sa-si clarifice sensul acestui nebulos fractal el a evitat sa-I dea o definitie matematica, atragand in schimb atentia asupra unui numar mare de situatii in care autosimilaritatea, si deci o anumita repetabilitate de forme de diferite scari, se intalneste in natura. A luat acei fractali ca modele matematice ale obiectelor cu aceleasi structure pe diferite scari, mari si mici, reflectand astfel un principiu ierarhic de organizare care spera sa se aplice intregii lumi matematice. De exemplu, de multe ori universul este conceput ca o succesiune infinita de sisteme de tip solar, galaxiile constituind punctele unui astfel de macrosistem, stelele fiind puncte ale galaxiei, planetele - puncte ale sistemelor stelare, atomii fiind puncte ale planetelor, aceeasi structura intalnindu-se la atom si la scara sub-atomica. Structurile fractale au vartejurile de diferite scari ale turbulentei atmosferice, sisteme biologice la care o mica informative continuta intr-o cheie produce structure inalt organizate, formele lanturilor de munti, sinuozitatile coastelor marilor si oceanelor, formatiunile de nori, palpairea focului, forma copacilor, a sistemului vascular, a ferigei, a conopidei etc. Teoretic, succesiunea unor astfel de structuri fractale este infinita pe cand in natura ea se repeat doar de cateva ori. Unii fractali sunt obiecte matematice autosimilare i.e. ele nu-si schimba semnificativ forma daca sunt priviti printr-un microscop de putere marita arbitrara. De exemplu, forma colturilor si golfurilor este aceeasi pe toate coastele marilor desi ca marime ea difera de la loc la loc. Se spera ca geometria fractalilor sa extinda geometria euclidiana, bazata pe conceptul de dreapta, la o geometrie "naturala" al carui obiect cheie sa fie multimea M, a lui Mandelbrot.

Descrierile primilor fractali apar la sfarsitul sec XIX. Praful lui Cantor este probabil unul dintre cei mai vechi fractali (1872 In 1890 Peano publica faimoasa sa curbasi in 1891, Holbert de asemenea, o curba oarecum similara, dar mai putin cunoscuta. Curba lui Koch a fost publicata in 1904, in timp ce triungiul lui Sierpinski este mai recent, datand din 1951.

Cu ajutorul conceptului de fractal, Mandelbrot dorea sa formalizeze contrastul mare dintre netezimea ce caracterizeaza ordinea si nenetezimea ce caracterizeaza haosul. Din fericire el cunostea notiunea de dimensiune Hausdorff a carei intelegere intuitive a atasat-o acestui concept si pe care a urmarit-o in diversele sale reprezentari din natura ca acelea specificate mai sus. Dimensiunea Hausdorff era neclara multor matematicieni profesionisti si constituia un concept clasic pentru cativa matematicieni care o foloseau. Daca Mandelbrot n-ar fi dezvoltat cunoasterea si intuitia asupra acestei dimensiuni n-ar fi putut concepe fractalul. De fapt, Mandelbrot intuia o dimensiune fractala cu ajutorul careia sa discearna intre "rugos si autosimilar" si "geometric haotic" in plus fata de distinctia dintre "neted" si "haotic" (pe aceasta din urma realizand-o si dimensiunea Hausdorff) . Folosirea de catre Mandelbrot a dimensiunii Hausdorff fractionare pentru caracterizarea modelelor sale autosimilare a socat lumea stiintifica, ceea ce l-a obligat sa formuleze la repezeala in 1977 o definitie de proba pentru fractali: fractalul este o multime X caracterizata de o dimensiune Hausdorff dim X fractionara sau de orice altceva care depaseste dimensiunea sa topologica. Avansarea unei definitii "experimentale" asupra fractalilor si ezitarile lui Mandelbrot de a preciza matematic fractalul erau cauzate de aceea ca intuitia sa asupra dimensiunii fractale nu corespundea intru totul continutului dimensiunii Hausdorff. Faptul ca asa stateau lucrurile s-a constatat imediat, definitia experimentala excluzand anumite multimi extreme de neregulate ceea ce ar fi trebuit sa fie in spiritual fractalilor si anume lasa in afara fractalii frontier, frontiera fiind inteleasa fata de haosul geometric si nu in sensul topologiei spatiului euclidian (frontier in acest din urma sens fiind inclusa in acea definitie

Ruperea unui fractal in bucati mai mici conduce, deci, la bucati care reproduce la o alta scara intregul. Obiectele sau procesele fractale sunt auto-similare sau auto-afine. Obiectele auto-similare sunt isotropice la orice scara, in timp ce obiectele afine depind de directive. Astfel, miscarea unei particule in miscarea browniana in spatiul bidimensional este auto-similara in timp ce punctul de coordonate al particulei ca functie de timp este auto-afina.Proprietatile fractale include dependenta de scara, auto-similaritatea, conplexitatea, lungimea infinita sau detaliu la orice scara. Structurile fractale nu au o singura scala de lungime, in timp ce procesele fractale, seriile de timp nu pot fi caracterizate printr-o singura scala de timp.

Introdusa de matematicianul Felix Hausdorff, dimensiunea fractala reprezinta o masura a neregularitatii sau asprimii unei forme; gradul in care forma umple "spatiul Nu s-a gasit inca o definitie exacta a acestei dimensiuni, cu atat mai putin o formula generala de calcul. In general, este estimate calculand raportul logarithmic al unor proprietati la diverse scari. Spre deosebire de dimensiunea euclidiana, dimensiunea fractala este in general de un numar fractionar. Este arhicunoscut faptul ca in geometria euclidiana orice forma are o anumita dimensiune. Astfel: punctul are o dimensiune 0, o linie sau o curba subtire au dimensiunea 1, suprafetele au dimensiunea 2, formele solide-volumele sunt de dimensiune 3 etc. Putem spune ca aceasta dimensiune fractala a avut o deosebita valoare, deoarece acum suntem capabili sa masuram un adevarat univers de forme care inainte nu puteau fi masurate.

Fiind auto-similari majoritatea fractalilor matematici, sunt de regula definite de algoritmi iterative, si fractalul resultant dupa un numar infinit de iteratii are o structura la orice scala. Fractalii naturali sau fizici de regula sunt auto-similari doar pentru cateva ordine de marime, si doar in sens statistic.

Din punct de vedere al modelului de generare al lor ei se pot imparti in: fractali naturali si fractali artificiali. Fractalii naturali sunt cei existenti in natura sau care sunt create in urma unor procese naturale. Ca exemple putem cita muntii, tarmurile, sistemul nervos, arborii, sistemul de ramificatii al bronhiilor etc. Fractalii artificiali reprezinta modele informatice ale fractalilor naturali. Ei sunt intalniti si sub denumirea de seturi de fractali sau ansambluri de fractali. Din punct de vederii al transformarii care sta la baza generarii unui fractal vorbim despre fractali liniari si fractali neliniari. Fractalii liniari sunt generati cu ajutorul transformarilor geometrice liniare aplicate asupra unor puncte, segmente, suprafete, sau corpuri (ca exemplu curba von Koch Fractalii liniari pot fi la randul lor naturali si artificiali. Fractalii neliniari se obtin cu ajutorul transformarilor geometrice neliniare, putand a fi si acestia naturali si artificiali. In functie de transfomarea care sta la baza generarii fractalilor neliniari putem vorbi despre mai multe subtipuri. Fractalii neliniari auto-patratici sunt obtinuti cu ajutorul generatorului patratic din multimea numerelor complexe (ca exemplu multimea Mandelbrot Mai putem vorbi despre fractali neliniari de auto-inversiune. Ei se obtin prin aplicarea unor transformari geometrice inverse unor puncte, segmente, suprafete, sau corpuri. Fractalii artificiali se impart la randul lor la fractali aleatori care sunt generate aleator utilizand procese stohastice. Structurile fractale in natura sunt aleatoare, dar este folositor sa studiem fractalii deterministi care sunt generate iterative intr-un mod determinat; fractali deterministi prin studierea carora ne putem apropia de proprietatile fractalilor aleatori.

Pentru a exemplifica multitudinea fractalilor, sa privim catalogul urmator:

1. Triunghiul Sierpinski
2. Linia de coasta Koch
3. Planta Lindenmayer
4. Praful lui Cantor
5. Seria Mandelbrot
6. Feriga lui Barnsley
7. Dragonul Heighway
8. Modelele Moire
9. Linia de orizont
10. Cutremurul fractal
11. Omul fractal
12. Fulgul de zapada
13. Pomii fractali
14. Galaxia fractala
15. Valul fractal
16. Raul fractal

Catalogul fractalilor este o lista deschisa si altor structure,

S-a ajuns la concluzia ca teoria fractalilor este foarte importanta, nu numai pentru generarea unor forme in natura pe ecranul calculatorului, dar mai ales pentru intelegerea si studierea fenomenelor si proceselor fizice, biologice, economice si sociale. Descrierea acestor fenomene si procese din realitate se poate face mult mai bine cu ajutorul modelarii matematice utilizand teoria fractalilor.

Transformari de similaritate

Transformarile de asemanare sunt compuse dintr-o scare, o rotatie si o translatie. Optional se poate adauga si o reflexive. Vom analiza in continuare o transformare in plan. Luam punctul P al unei figure, prin perechea sa de coordinate P(x,y) si ii vom aplica o scalare, o rotatie si o translatie, notate cu S, R si T.

In urma scalarii S, se poate obtine punctul sau:

unde s>0 este fractalul de scalare. Daca s<1 se produce o micsorare cu factorul s, iar daca s>1 are loc marirea obiectului. Se aplica in continuare o rotatie R si se obtine :

Aceasta descrie o rotatie a lui in sens invers acelor de ceasornic, cu un unghi q. In final o translatie T a lui cu o deplasare este data de:

care da punctul . Daca vom rezuma cele spuse mai sus, putem scrie astfel:

rau daca folosim rotatia:

avem: . W este transformarea de asemanare. Aplicand formula:

Daca aplicam W tuturor punctelor unui obiect plan, se produce o figura care este asemanatoare cu originalul:

Transformarea de similaritate poate fi formulata mathematic si pentru obiecte in trei dimensiuni (3D) sau o singura dimensiune (1D Vom avea, mai departe, puncte x pe dreapta reala pentru care transformarea de similaritate poate fi scrisa simplu:

unde s este diferit de zero.

Daca luam o fotografie marita de trei ori si aratam ca aria imaginii rezultate este , adica de 9 ori aria originalului. Mai general, daca avem un obiect cu aria A si factorul de scalare este s atunci obiectul resultant va avea aria de ori aria A a originalului. Cu alte cuvinte, aria obiectului marit creste cu patratul factorului a de scalare.

Autosimimilaritate si dimensiune

1. Autosimilaritatea

Intuitiv, doua obiecte sunt similar (asemenea) daca au aceeasi forma, indiferent de marimea lor. Unghiurile corespunzatoare sunt egale, in timp ce segmentele sunt proportionale.

O transformare geometrica intre doua obiecte asemenea se numeste o asemanare (sau similaritate Transformarile similare sunt compuneri de omotetii (scalari rotatii si translatii. Este clar ca daca scalam (marim) o anumita portiune dintr-un pas avansat al constructiei vom regasi o portiunea obtinuta deja la un pas anterior.

In cele trei figuri de mai jos sunt evidentiate multimile similare

2. Dimensiunea fractala

Notiunea de dimensiune este, pana la un punct destul de intuitiva. Asa cum am mai spus, dimensiunea unui segment este 1, patratul are dimensiunea 2 si cubul dimensiunea 3. Vom prezenta in continuare un mod de a calcula aceste dimensiuni pentru a generalize la multimi mai complicate.

Daca se imparte un segment in N segmente de lungine egale (congruente) , atunci segmentul initial este de N ori mai mare decat fiecare dintre cele N segmente mici obtinute, si in plus, orice segment este autosimilar, deci cele N segmente sunt copii (de N ori mai mici) ale segmentului initial. In cazul unui patrat, acesta se poate descompune in N copii, fiecare de N ori mai mic decat patratul initial. In sfarsit, in cazul unui cub, acesta se descompune in Ncopii, fiecare de N ori mai mic decat cubul initial.

Se observa ca putem obtine o "formula" de calcul al dimensiunii: impartim obiectul in copii autosimilare, fiecare de N ori mai mici decat obiectul initial. Daca P este numarul de copii astfel obtinute, atunci dimensiunea . Formula este corecta pentru exemplele (simple) prezentate. Se defineste deci, dimensiunea (de autosimilaritate) a unui obiect astfel:

Aplicand metoda (si formula precedenta) pentru triunghiul lui Sierpinski, care fiind format din trei copii, fiacre de doua ori mai mica decat triungiul initial, dec dimensiunea de autosimilaritate a triunghiului lui Sierpinski este:

In cazul covorului lui Sierpinski, exista opt copii ale patratului initial, fiecare de trei ori mai mica decat acesta, deci dimensiunea de autosimilaritate este:

Pentru multimea lui Cantor, dimensiunea de autosimilaritate este:

Curba lui Koch este formata din patru copii identice, fiecare de 3 ori mai mica decat intreaga curba. Deci dimensiunea sa este:

Pentru multimi mai complicate este nevoie mai intai de o fundamentare teoretica si apoi de metode de calcul aproximativ.

Dimensiunea Hausdorff

Fundamentarea teoretica a ideilor precedente apartine lui Hausdorff.

Fie si fie distant euclidiana.Diametrul unei submultimi , se defineste prin egalitatea . Fie si fie o acoperire deschisa a sa. Pentru orice unmere positive s si, definim:

Masura s-dimensionala Hausdorff a lui A este . Se demonstreaza ca exista un numar astfel incat daca si daca . Numarul este prin definitie dimensiunea Hausdorff a multimii A. De asemenea:

Proprietatile (uzuale) ale dimensiunii lui Hausdorff sunt:

Daca atunci

Daca atunci

Daca A este multime cel putin numarabila, atunci

Daca atunci A este total neconexa.

Pentru cele mai multe multimi, calculul dimensiunii Fractale (Hausdorff) este practice imposibil. De aceea, sunt importante metode de calcul aproximativ (care cel putin pentru cazurile simple sa fie exacte . Vom prezenta in continuare aceste metode:

3. Metode de determinare a dimensiunii fractale

3.1. Metoda compasului.

Geometria a avut intotdeauna doua fatete, iar amandoua la un loc au jucat un rol foarte important. Pe de o parte avem analiza formelor, iar pe de alta parte masurarea formelor. Problema lungimii diagonalei unui patrat a fost la inceput o problema de masurare, iar mai apoi s-a mutat in sfera teoretica si a stat la baza introducerii numerelor irationale. Incercarile de a calcula lungimea circumferintei cercului au dus la descoperirea misteriosului numar .Masurarea ariei multimii dintre curbe a fost o importanta sursa de inspiratie in dezvoltarea calcului diferential si integral. Astazi, masurarea lungimii, a ariei si a volumului nu par sa mai ridice vreo problema cel putin din punct de vedere tehnic. In principiu, obisnuim sa credem ca aceste probleme sunt de mult rezolvate si ca putem masura orice vedem daca dorim cu adevarat acest lucru. Sau ne inselam Aceasta este tema articolului lui Mandelbrot din 1967 intitutal "How long is the coast of Britain?" , unde se demonstreaza ca din punct de vedere practice liniile de coasta nu au lungime sau au o lungime infinita. Aceasta afirmatie pare ridicola sau cel putin contrazice intuitia conform careia o insula cu o arie bine determinata va avea, de asemenea o lungime bine determinata.

Daca incercam sa masuram lungimea coastei Marii Britanii pe harta cu un compass, vom remarca faptul urmator: cu cat vom micsora deschiderea compasului, cu atat lungimea obtinuta este mai mare, ea neparand sa convearga catre o valoare

Acest lucru se datoareaza detaliilor de pe frontiera obiectului masurat, micile iregularitati ducand in final la distante totale din ce in ce mai mari.

Daca reprezentam pe o diagrama punand pe axa orizontala , unde s este deschiderea compasului si pe axa vertical , unde u este lungimea coastei obtinute cu acel compass (adica rezulatul masuratorii pentru s) se obtine diagrama din figura urmatoare:

Pentru aceasta diagrama vom desena dreapta de regresie corespunzatoare punctelor obtinute. Observam ca punctele obtinute (pentru valori foarte diferite ale compasului) sunt foarte apropiate pe dreapta de regresie. Acesta este un rezultat surprinzator care ne conduce la ideea ca panta dreptei de regresie este o caracteristica a structurii studiate. Calculand panta (in cazul particular al coastei Marii Britanii) se obtine o valoare aproximativa . Asadar, ecuatia dreptei de regresie este si, in consecinta, rezulta ca . Pentru a obtine valori cat mai precise, trebuie valori cat mai mici ale lui s; pentru , lungimea u tinde la infinit.

Daca vom aplica acelasi procedeu curbei lui Koch, vom obtine urmatoarea diagrama:

Panta dreptei de regresie este .

Aici metoda compasului este exacta deci poate fi folosita pentru a studia dimensiunea (si deci complexitatea) unei structuri a carei arie este nula (are numai lungime Aceasta valoare este mia mica decat cea pe care am obtinut-o pentru coasta Marii Britanii, cu alte cuvine, coasta Marii Britanii este mai "incretita" , mai complicate, decat curba lui Koch. Astfel, d este o masura a complexitatii figurii respective. Se pune in mod natural intrebarea: care este ralatia dintre dimensiunea de autosimilaritate sip anta dreptei rezulatate prin metoda compasului? Raspunsul este dat de teorema urmatoare.

Teorema: Relatia dintre dimensiunea de autosimilaritate si panta (notata d) dreptei de regresie obtinuta prin metoda compasului este .

Demonstratie: relatia dintre u si d (din metoda compasului) se poate scrie sub forma simplificata (alegand o unitate de masura astfel incat constanta c=1 . Logaritmand aceasta relatie rezulta . Pe de alta parte formula pentru calculul dimensiunii de autosimilaritate se scrie , unde s este factorul de scalare, iar k este numarul de copii (scalate cu k ) . Nu este dificil de observat ca relatia intre u, s si k, este u=ks. Logaritmand, se obtine . Inlocuind in aceasta ultima relatie pe logu si logk din egalitatile anterioare rezulta:

,

si, deci, . Se mai observa ca pentru curba lui Koch rezultatul conincide cu calculele anterioare.

3.2. Metoda Box-Counting este cea mai importanta metoda pentru evaluarea dimensiunii fractale (Hausdorff Acest concept este legat de cel de dimensiune de autosimilaritate, in multe cazuri si valoarea numerica fiind aceeasi.

Avand imaginea

Intr-un astfel de caz nu mai poate fi vorba de o curba ce poate fi masurata cu compasul, nici autosimilaritatea nu exista, totusi anumite microstructuri se repeta. Daca ne uitam mai atent, observam ca o portiune din dreapta-jos seaman foarte mult cu un din stanga-sus. Aceasta metoda este un procedeu systematic ce poate fi aplicat oricerei figure din plan. In principiu, este metoda compasului adaptata la structure bidimensionale, ale carei etape le vom enumera in continuare:

Punem structura intr-o grila de patrate toate de aceeasi marime s si numaram cate patrate din grila cuprind parti din structura. Notam acest numar cu

Schimband s progresiv catre marimi din ce in ce mai mici obtinem mai multe valori pentru

Trasam un grafic pentru valorile lui si si calculam panta dreptei de regresie determinate de punctele obtinute. Aceasta panta se numeste dimensiunea box - counting si o notam cu

In urmatoarea figura sunt ilustrate doua etape (pentru valori diferite ale lui s In acest exemplu, logaritmii sunt zecimali. Panta dreptei de regresie este aproximativ .

Pentru dimensiunea box - counting a coastei Marii Britanii se obtine valoarea aproximativa de 1.31. Acest rezultat este in concordant cu rezultatul obtinut prin metoda compasului ().

Din descrierea metodei box - countingului rezulta urmatoarea formula pentru calculul pantei dreptei de regresie. Din motive practice, la fiecare pas este avantajos ca lungimea s a laturii patratului sa fie injumatatita, deci valorile succesive ale lui s sunt:

Notand ca mai inainte cu N(s) numarul de patrate care acopera structura, rezulta urmatoarea formula pentru panta dreptei de regresie (intre pasul k si pasul k+1

Metoda box - counting se poate generalize la spatiul , considerand cuburi (in ) in loc de patrate etc.

Dimensiunea box - counting nu poate depasi (pentru o figura plana) valoarea 2. Dimensiunea de autosimilaritate poate avea valori mai mari decat 2, de exemplu atunci cand figura are multe parti care se suprapun (sau autointersectii Acestea sunt numerotate o singura data in metoda box - counting, in timp ce in calculul dimensiunii de autosimilaritate ele se numara in conformitate cu numarul de multiplicari.

In multe cazuri dimensiunea box - counting poate fi o buna aproximare pentru dimensiunea Hausdorff, totusi dimensiunea box - counting a oricarei submultimi dense (in ) este 2, in timp ce dimensiunea Hausdorff este 0.

5. Aspecte fractale in structura si evolutia Universului

"Inca din primele doua decenii ale secolului trecut, astronomii au remarcat <<aglomerarea>> ierarhica a galaxiilor. Rezultatele observatiilor recente indica un Univers inalt structurat, dar - in egala masura - cu egala dezordine . Se remarca faptul ca de la inceput galaxiile sunt distribuite in <<pachete>> la toate scarile. Galaxia noastra (Calea Lactee) apartine asa-numitului Grup local, format din circa 20 de galaxii Aglomerarea (roiul galactic) cel mai apropiat de noi este roiul Fecioarei, apoi Coma, formata din cateva mii de galaxii. Aceste aglomerari fac parte dintr-o superaglomerare (super-roi Noi apartinem super-roiului local, descoperit de Vaucouleurs. Aceasta aglomerare are forma unui disc.

O imagine a regiunii invecinate galaxiei noastre, sugerand structura fractala a Universului nostrum este prezentat in figura de mai jos. Dupa cum se arata in partea stanga a acestei figure, in conditiile in care bolta cereasca observabila este divizata in patrate (sau cercuri) de dimensiune L sa fie proportional cu . Observatiile astronomice efectuate arata insa ca numarul roiurilor galactic observate in interiorul unui patrat (sau cerc) de dimensiune L este , ceea ce arata insa ca distributia roiurilor galactice pe bolta cereasca are un caracter fractal, cu o dimensiune caracteristica .

Trebuie sa subliniem ca majoritatea legilor de putere si a aspectelor fractale apar in faza de crestere autocatalitica (exponentiala) a respectivului sistem complex, in particular (in cazul Universului) in faza sa de inflatie. Pornind de la ecuatia si tinand seama ca duratele caracteristice de crestere/acomodare, corespunzand unor parametrii fizici, respectiv biologice (cum sunt cele corespunzand cresterii capului, respectiv membrelor unei copil) sunt diferite, rezulta ca - in durata cresterii/ acomodarii autocatalitice - conform relatiei precedente, avem: , si , unde: , adica cresterea auto - catalitica conduce la anumite legi specifice de tip putere (fractale) intre diferitii parametrii ai sistemului aflat in crestere

6. Fractalii si creatorii lor

6.1. Julia Gaston (1892-1978 matematician france, a studiat la inceputul secolului XX, formele care in present ii poarta numele. A fost profesoara de matematica la Ecole Polytechnique in Paris si l-a avut ca student pe Mandelbrot in anul 1940.

Fractalii create de Julia, sunt obiecte matematice derivate, din iteratiile repetate ale ecuatiilor polinomiale. De exemplu, daca este o functie, ca urmare a variatiei in timp, obtinem , etc.

Daca modificam parametrii initiali, rezultatele se vor deosebi radical, reflecandu-se in formele care apar. Pentru a exemplifica iteratiile effectuate de Gaston Julia, luam in consideratie functia:

si incepem calculele cu :

Modificand cu o unitate valoarea initiala, vom avea surpriza ca rezultatele vor fi mult mai diferite:

Daca vrem sa comparam rezultatele, vom putea constata existent sensibilitatii la conditiile initiale, deoarece valorile lor sunt puternic afectate de schimbarea marimii initiale.

6.2. Benoit Mandelbrot este principalul responsabil pentru interesul actual acordat geometriei fractale, deoarece desi a demonstrate ca aceasta poate fi utilizata oriunde in natura.

S-a nascut in Polonia in 1924 intr-o familie originara din Lituania cu traditii academic care i-au permis sa fie introdus in matematica inca din tinerete. In 1936, familia sa a emigrat in Franta, unde unchiul sau Szolem Mandelbrojt a fost profesor de matematica la College de France.

Si-a facut studiile la Paris, la Ecole Normale si Ecole Polytechnique cu profesoara Julia G.. Si-a continuat activitatea la California Institute of Technology si la Institute for Advanced Study in Princeton, fiiind interest in special de geometrie.

In 1955 s-a intors in Franta, pentru a lucre la Centre National de la Recherche Scientific, iar din 1958 incepe colaborarea cu I.B.M. si cu Yale University in Statele Unite. Dup ace cunoaste lucrarile din 1918 ale lui Julia Gaston, incepand din 1970 Mandelbrot are numeroase contributii in diferite ramuri ale stiintei.

Cu ajutorul graficei pe calculator, Mandelbrot a realizat cei mai frumosi fractali cunoscuti astazi, in cadrul Watson Research Center apartinand de I.B.M.. Ca urmare se poate afirma ca a contribuit la dezvoltarea unor fractali avand o configuratie complexa.

Principalele lucrari elaborate de Mandelbrot au fost: "Les objets fractals, form, hazard et dimension" (1975) si mult mai ampla lucrare "The fractal geometry of nature" (1982

A colaborat la universitatile Harvard, Yale, Einstein College, Ecole Polytechnique si a fost distins cu medaliile Barnard, Franklin, Steinmetz, Nevada, Legion d'Honor si premille Alexander von Humboldt, Japan Prize for Science.

7. Grade diferite de autosimilaritate

Avand ca exemplu, o coperta de carte care contine pe ea o fotografie a unei marimi care contine ghiar aceasta carte. Aceasta descriere apparent oncocent conduce la o coperta cu un desen complex. Cu cat privim mai adanc si mai adanc in interiorul desenului, vedem din ce in ce mai mult copertile dreptunghice. Putem compara aceasta cu o structura ideala a unui copac cu ramuri si cu Garnitura lui Sierpinski.

Toate cele treo exemple sunt structure auto-similare: ele contin mici replici ale intregului. Totusi exista o diferenta semnificativa. Sa gasim puncte care au proprietatea ca putem identifica mici replici ale intregului in vecinatatile lor, la orice grad de marire.

In cazul desenului de pe carte, copiile sunt aratate intr-o secventa central si in mod clar proprietatea auto-similaritatii poate fi gasita numai intr-un punct particular. Acesta este punctul limita in care marimea copiilor tinde la zero. Coperta cartii este auto-similara in acest punct.

Situatia este mult diferita in cazul copacului cu doua ramuri. Arborele intreg este alcatuit din trunchi si doua copii reduse ale intregului. Astfel, copiile din ce in ce mai mici se acumuleaza langa frunzele arborelui. Cu alte cuvinte, auto-similaritatea se condenseaza in setul frunzelor. Arborele in intregul sau nu este strict auto-similar, ci este auto-afin. Trunchiul nu este similar cu intregul arbore, dar putem interpreta ca este o copie afina care este compresata intr-o linie.

In final, Garnitura lui Serpinski, ca si in cazul Curbei lui Kosch, putem gasi copii ale intregului in aproape fiecare punct al sau. Garnitura este compusa din copii mici dar exacte ale ei insasi.

Avand in vedere aceste diferente, numim toate cele trei obiecte similar, in timp ce numai Garnitura lui Serpinski si Curba lui Koch sunt denumite suplimentar strict auto-similare. De asemenea, setul de Frunze fara trunchi si toate ramurile este strict auto-similar.

Atunci, in care dintre aceste categorii s-ar putea incadra o conopida? Ea ar putea fi considerate o aproximare fizica a unui obiect auto-similar, dar nu strict auto-similar, inrudit cu arborele de mai sus.

8. Exemple de fractali

8.1. Curba lui Koch sau linia de coasta a lui Koch, este alt exemplu de structura fractala, care are ca initiator un segment de dreapta oarecare ce poate sa fie considerat un sector de drum sau de cale ferata.

Dupa impartirea in trei parti egale, se inlocuieste partea central cu laturile unui triunghi echilateral, obtinandu-se o linie franta numita generator, care este format din patru segmente de lungime egala, fiecare segment avand o treime din lungimea dreptei initiale. Se repeta operatia la nesfarsit, obtinandu-se la limita curba neliniara a lui Koch.

Daca alaturam trei curbe, dupa modelul unui triunghi echilateral, obtinem insula lui Koch, care are aspectul unui fulg de zapada care poate sa fie considerat ujn polygon, cu o infinitate de laturi (teragon Modificand initiatorul si generatorul se pot obtine alte trei curbe Koch, sau alte insule fractale.

Deoarece curba Koch este o forma clasica de fractal s-au prezentat trei niveluri ale modelarii sale, din infinitatea nivelurilor existente.

Curba lui Koch are urmatoarele proprietati specific unui fractal:

are o structura fina, deoarece prezinta detalii la toate scarile

este autosimilara, fiecare parte fiind imaginea redusa a intregului

este o curba neliniara si nu admite nici o tangent

are dimensiunea fractala 1.2618, mai mare ca dimensiunea topologica 1, proprie liniei continue

Dimensiunea fractala Hausdorff/Besicovitch se determina raportand logaritmul numarului de copii la logaritmul semintei fiecarei copii.

In cazul curbei Koch, se obtine log4/log3=1.2618, deoarece exista 4 copii care au fiecare o treime din marimea semintei (segmentul de dreapta initial In tabelul urmator, este prezentat un exemplu conventional.

Deoarece dimensiunea fractala este o masura a formelor, poate caracteriza o parte a mediului inconjurator. De exemplu, copacii si florile au dimensiuni intre 2 si 3, iar o cladire bogat ormnamentata, este mai tridimensionala decat un zgarie-nori.

Efectuand iteratii la nesfarsit, lungimea de 9 km fixate pentru linia initiala, creste la infinit. Cresterea de la un nivel la altul este de 4/3=1.333, deoarece al doilea nivel are patru treimi, iar primul nivel are trei treimi. Acelasi raport se mentine intre toate nivelurile care se succed. Ca urmare, relatia care stabileste lungimea liniei, este , in care n este nivelul.

Ca si linia Koch, reteaua feroviara din tara noastra, a avut ca initiator un segment. Oravita-Buzias (1846-1854 care ulterior fost exins treptat, pana la dimensiunile pe care le detine astazi. Multitudinea detaliilor retelei feroviare recomanda modelarea sa cu ajutorul fractalilor.

8.2. Planta Lindenmayer este o structura fractala clasica produsa de un automat celular, care foloseste doua tipuri de cellule G si F, si urmatoarele reguli de propagare:

celula G devine GFG

celula F devine FF

Ca urmare se obtine:

la inceput: G

prima generatie: GFG

a doua generator: GFGFFGFG

a treia generatie: GFGFFGFGFFFFGFGFFGFG

a patra generatie: GFGFFGFGFFFFGFGFFGFGFFFFFFFFGFGFFGFGFFFF

In mod asemanator, se poate continua cu alte generatii.

Programand regulile amintite pe un calculator, se obtine automatul cellular in care celulele se divid si se multiplica similar cu celulele reale. Pentru a obtine forma care a fost numita Lindenmayer, literele sunt interpretate grafi astfel:

G se poate traduce prin deseneaza o dreapta de lungime * cm

F poate insemna avanseaza y cm fara a trasa o linie

Literele G si F din cele patru generatii sunt reprezentate in medelul de planta Lindenmayer in urmatoarea schema, printr-o succesiune de linii si spatii goale.

Geometria fractala, numita si geometria naturii, permite apropierea de lumea organic neliniara, in conditiile unui univers uman format din cutii. Pentru a sublinia liniaritatea civilizatiei contemporane, Dick Oliver apreciaza in lucrarea sa: "Fractali" ca: "mancam in cutii, traim in cutii, vorbim in cutii si ne cautam distractia in cutii

Faptul ca un fractal, este orice forma la care partile, atunci cand sunt marite, prezinta tot atatea detalii ca intregul, a permis extinderea aplicatiilor in hidrologie, meteorologie, botanica, geologie, astronomie, climatologie, economie, fizica si statistica.

Curba lui Peano da dimensiunea D=2 pentru care generatorul si primele trei iteratii, sunt:

Curba lui Peano este densa in plan si dimensiunea sa fractala este doi.

Curbele lui Von Koch sau Peano, sunt dupa cum indica si numele, curbe, dimensiunea lor topologica fiind .

8. Curba Mandelelbrot-Given simuleaza comportarea unui conductor de curent al unei retele de rezistenta in apropierea pragului de conductivitate (din reteaua de rexistenta multe sunt taiate astfel incat reteaua nu mai conduce aproape deloc Exemplul este interesant pentru a intelege structurile multifractale.

Segmentele vertical sunt usor reduse in scopul de a elimina punctele duble. Dimensiunea fractala este D=log8/log3 ~

8.5. Multimea lui Cantor este obtinuta prin eliminarea iterativa a treimii central a fiecarui segment:

Dimensiunea fractala a acestui segment este: D=log2/log3=0.6309. In multimile Cantor se spune ca avem un "praf Multimea nu mai este compusa decat din puncte, avand dimensiunea topologica

Fie intervalul [0, 1 pe care il impartim in trei parti egale si eliminam intervalul deschis din mijloc, obtinand multimea , acesta fiind pasul constructiei. La pasul doi repetam primul pas pentru fiecare din intervalele ramase, ceea ce ne conduce la o reuniune de patru interval, fiecare de lungime . Continuand, la pasul n obtinem o reuniune de interval inchise, fiecare de lungime .

Multimea lui Cantor este multimea punctelor care raman dupa repetarea de o infinitate de ori a procedeului descries anterior. Evident, multimea este nevida deoarece contine cel putin capetele intervalelor , . . De fapt, se poate arata ca multimea nu este numarabila (deci contine si alte puncte

Pentru a caracteriza elementele multimii lui Cantor, reamintim scrierea in baza 3 a unui numar arbitrar :

Sau, in forma triadica (analogul scrierii zecimale

Are loc urmatorul rezultat: multimea lui Cantor este multimea punctelor din [0, 1] pentru care exista o dezvoltare tridiaca fara cifra 1.

Facem mentiunea ca (la fel ca si la sistemul zecimal) scrierea tridiaca nu este unica, de exemplu , deci el apartine multimii lui Cantor.

Primii sase pasi in constructia multimii Cantor sunt urmatorii:

Triunghiul lui Sierpinski. Considerand un triunghi plin caruia ii aplicam transformarea (repetitiva) urmatoare: "eliminam" triunghiul definit de mijloacele laturilor.

Acesta a fost primul pas. La pasul al doilea, aplicam aceeasi transformare, fiecaruia din cele trei triunghiuri ramase.

Triunghiul lui Sierpinski este multimea punctelor ramase dup ace repetam transformarea precedent de o infinitate de ori. Evident, multimea ramasa nu este vida (contine cel putin varfurile triunghiului initial

Covorul lui Sierpinski. Avand un patrat plin pe care il impartim in noua patrate egale, fiecare avand latura de 3 ori mai mica decat al patratului initial. Eliminam acum patratul din mijloc.

Acesta a fost primul pas. La pasul doi, aplicam aceeasi transformare fiecarui din cele opt patrate ramase.

Continuam procedeul, si astfel obtinem:

Covorul lui Sierpinski este multimea de puncte ramase dupa ce repetam procedeul de mai sus de o infinitate de ori.

9. Studiul analizei fractale in aplicatii biomedicale

Numeroase cercetari recente dovedesc utilitatea caracterizarii unor distributii stohastice a unor parametrii structurali din domeniul biologiei cu ajutorul dimensiunii fractale. Biologia este disciplina care se distinge de celelalte stiiinte prin interactiunea hazardului (joaca un rol important in evolutie prin neliniaritate (joaca un rol essential in crearea de forme) si prin complexitate (ireversibilitate, disipativ fractale joaca un rol determinant in generarea si structurarea formelor vii) .

In ultima vreme tehnicile de analiza fractala au castigat atentia prin prelucrarea semnalelor si a imaginilor, ce sunt esentiale in numeroase aplicatii biomedicale.

Nu trebuie sa ne surprinda faptul ca metodele fractale matematice care permit cuantificarea de structura sau model de-a lungul mai multor scale spatiale sau temporal, pot si utile in anumite aplicatii biomedicale care include:

analiza biosemnalelor si recunoasterea modelului

analiza imaginilor radiologice si ultrasunete

morfometria celulara, organizarea nucleelor (cromatina) , expresia genelor

starile patologice si fiziologice ale sistemului nervos, inimii si sistemului circulator, plamanilor si sistemului pulmonar

analiza tesuturilor conjunctivale, analiza tesuturilor epithelial-stromale, remodelarea tesuturilor

designul biologic, angiogeneza, morfogeneza, ramificatia vaselor

structura, complexitatea si haosul in tumori

membrane si organite celulare in timpul cresterii si a mortii (apoptaza, necroza)

imbatranire, raspunsul immunologic, autoimun si boli cornice

complexitate, auto-organizarea si haosul in caile metabolice si ale semnalelor

structura biopolimerilor (proteine, acizi nucleici)

De la analiza biosemnalelor si recunoasterea de modele, analiza tesuturilor si pana la caracterizarea structurii unor proteine si acizi nucleici, analiza fractala s-a dovedit a fi un instrument util, cu potential ridicat de cuprindere sintetica, in diferentierea formelor normale de cele patologice si, in cazul celor din urma, de evaluare a studiilor evolutive.

In ceea ce priveste analiza semnalelor biomedicale, acestea sunt generate de sistemele complexe autoadaptate. De aceea seriile de timp fiziologice pot avea structura temporala multifractala sau fractala, ce pot fi extrem de neomogene si nestationare. O trasatura caracteristica a proceselor neliniare (opuse celor liniare) este interactiunea in diverse moduri, care pot conduse la structuri nealeatoare ale semnalelor de faza. Astfel de proprietati de faze collective ale semnalului nu pot fi detectate cu metodele spectral liniare.

Pana la introducerea calculatoarelor personale, semnale ca EEG erau inregistrate prin curbe scrise pe benzi de hartie lungi si late, intr-un asemenea mod incat miscarea perpendicular a creioanelor in directia de miscare a hartiei erau proportionale cu amplitudinea semnalelor inregistrate. Astfel de curbe arata auto-similaritatea statistica si pot fi tratate ca fractali precum coastele tarmurilor. Prin introducerea sistemelor de achizitie computerizata a datelor, semnalele biologice sunt inregistrate in forma unor serii de timp.

Metodele fractale pot fi utilizate pentru compresia de date. De exemplu, EEG traditionale produc un volum mare de afisaj a activitatii electrice a creierului, ceea ce creeaza problem, in particular, in evaluarea perioadelor lungi de inregistrari.

Analiza fractala permite descrierea mai multor puncte de date ale EEG in termenii unei singure estimari a dimensiunii fractale (1 < < 2) si astfel permite condensarea datelor de aproximativ 100 ori, din moment ce putem calcula o dimensiune fractala pentru 100 puncte date (inregistrari pe un canal) , intr-un interval de 0.25 - o secunda. De exemplu, transformand semnalul EEG brut intr-o dimensiunea fractala Higuchi, chiar si mai multe ore de inregistrare pot fi condensate intr-o diagrama de o pagina.

Rezultatul este in corelatia liniara "spectrul" puterii Fourier - cand dimensiunea fractala este sub media unui pacient dat, corespunzatoare deplasarii spectrului catre frecvente joase si cand dimensiunea fractala este peste medie corespunde deplasarii intre frecvente inalte.

Compresia datelor nu este utilizata in sensul in care este folosita in stiinta computerelor din moment ce nu putem "decomprima" dimensiunea fractala pentru a obtine semnalul EEG original. Dar datele compresate in acest mod pot fi foarte utile medicilor pentru evaluarile pacientilor. Bullmore si colaboratorii au folosit metoda fractala pentru a analiza EEG pacientilor epileptic si au aratat ca metoda defineste in termenii unei cresteri relative rapide a dimensiunii de-a lungul mai multor canale. Accese clinice severe au fost caracterizate de mai multe schimbari intense ale atacului si generalizate ale dimensiunii, in comparative cu evenimente clinice mai putin severe. Ei au stability ca metoda diagnosticului fractal este metoda fiabila, de utlizare a tehnicii de calcul pentru obtinerea unei reduceri substantiale a volumului de date EEG, fara pierderi ale informatiei importante de diagnosticare din semnalul primar.

Metodele fractale pot fi utilizate pentru compresiide imagini reversibile. Algoritmul de compresie a imaginii fractale arata auto-similaritatea la diferite scale si elimina descrieri repetate. In timp ce aceste tehnici de compresie pot fi consumatoare de timp, rata de compresie poate ajunge pana la 50 100 si imaginea poate fi descompusa rapid utilizand metodele iterative.

Este cunoscut faptul ca s-au interprins studii preliminare utilizandu-se nuclee de hepatocite umane normale si maligne (cancer hepatocelular - HCC Abordarea in cazul hepatocitelor normale si maligne s-a bazat pe analiza fractala a distributiei acesteia facandu-se cu ajutorul programelor specific analizei si prelucrarii computerizate a imaginii. Determinarea dimensiunii fractale a imaginilor digitizate a nucleelor hepatice reprezinta o masura obiectiva a complexitatii formei celulelor, care, fara indoiala, indica natura fractala a acestor tipuri de celule. Rezultatele conduc la diferente semnificative statistic intre nucleele de hepatocite si nucleele de HCC.

De asemenea, se cunosc si alte abordari ale metodei de analiza fractala pentru identificarea nucleelor atipice in leziunile displazice de col uterin. Acestea au fost comparate cu grupuri de control de nuclee de la pacienti sanatosi, care nu prezentau leziuni displazice. Si in acest caz s-a plecat de la imagini microscopic 2D capturate prin intermediul camerei digitale atasata microscopului optic. Studiul a demostrat capacitatea dimensiunii fractale de a caracteriza formele neregulate si complexe, constatandu-se cresterea gradului de displazie simultan cu cresterea dimensiunii fractale a nucleelor atipice.

Alte abordari se refera la cancerul de san cellular (MCF-7 investigat prin morfometrie fractala. Dimensiunea fractala calculate prin metoda box-counting s-a dovedit eficace pentru cuantificarea modificarilor nucleelor in urma tratamentelor cu hormoni steroidieni, respectiv estrogen 17 -estradiol, care stimuleaza proliferarea celulara si glucocorticoidul dexametazona (DEX) care inhiba expresia mai multor gene. Studiul releva fezabilitatea cuantificarii schimbarilor subtile in morfologia ultrastructurala a celulelor supuse diferitelor tratamente hormonale. De aici, abordarea fractala poate fi de ajutor in detectarea schimbarilor structural - morfologice nucleare, petrecute in primele faze ale proceselor fiziologice si patologice.

O imagine microscopic digitizata poate fi privita ca o suprafata pentru care coordonatele x si u reprezinta pozitia, iar z reprezinta nivele de gri (intensitati Natura fractala a acestor suprafete statistic auto-afine poate fi caracterizata, atat in domeniul spatial prin dimensiunea fractala, cat si in domeniul frecventei prin exponentul spectral. Aparitia cromatinei s-a demonstrate a fi auto-afina din punct de vedere statistic in imaginile nucleare din celulele epiteliale din san. Fractalii sunt o paradigm corespunzatoare pentru descrierea aparitiei cromatinei si furnizeaza importante informatii despre diagnostic. Diferentierea intre cazurile benign si maligne este mai buna daca utilizam dimensiunea fractala spectrala medie decat dimensiunea fractala a suprafetelor.

Dependenta spatial a elementelor unei imagini (de exemplu pixelii) este cunoscuta ca textura. "Trasatura texturala" este o combinative de elemente ale imaginii ce nu pot fi differentiate individual. Un numar de metode de segmentare pentru extragerea trasaturilor textural sunt disponibile. Metodele textural pe baza de fractali depasesc numeroasele problem inerente in tehnicile clasice rezolutie-precizie, si se potrivesc in special pentru situatiile biomedicale complexe.

Keller descrie tehnica de analiza box - counting modificata a texturii bazata pe functia de densitate de probabilitate. El o caracterizeaza, simuland texturile in termenii dimensiunii fractale si lacunaritatii. In aceasta metoda, fiecare coordonata x si y are asociata o a treia dimensiune (coordonata - z) reprezentand intensitatea pixelului (ex: nuante de gri Numararea prin box - counting este determinate de numarul de celule pe coloana care se intercepteaza ca suprafata. S-a gasit ca dimensiunea fractala variaza cu scala, implicand o comportare multifractala.

Analiza fractala este de asemenea utilizata pentru studiile secventelor ADN si structurii proteinelor si cromozomilor. Auto-similaritatea a fsot descoperita recent in secventele ADN. De asemenea, Takahashi a emis ipoteza ca arhitectura de baza a unui cormozom este arborescenta constand in concatenare de "mini-cromozomi Dimensiunea fractala = 2.34 a fost determinate din analiza primului si celui de-al doilea tipar al cromozomului uman din metafaza.

Exista totusi o varietate de proceduri compuse pentru estimarea dimensiunii fractale a imaginilor. Smith si colaboratorii au comparat trei metode de estimare a dimensiunii fractale relative la lungime: dilatarea, box - countingul si perimetrul. Aceste procedure au la baza punctul Richardson - Mandelbrot, unde anumite masuratori ale sablonului conturului sunt proiectate peste marimea corespunzatoare a elementului masurat in scara log-log. Dimensiunea fractala poate fi determinata din panta "s" a liniei de regresie - in fiecare dintre cele trei metode:

, asa cum trebuie sa fie pentru metodele relative la lungime, este negative si este mai mic decat 1, de aceea este intre 1 si 2.

Asadar, metoda clasicaa lui Richardson implica masurarea perimetrului obiectului cu diferitele unitati de lungimi si logaritmul perimetrului este proiectat peste logaritmul unitatii de lungime, perimetrul fiind similar cu un interval limitat al scalei.

Metoda dilatatiei utilizeaza largimea si netezirea conturului prin operatia de convolutie cu discuri binare (adica fiecare pixel al conturului este inlocuit cu un disc cu un diametru E pixeli

Metoda box - counting (grilei) se bazeaza pe conceptual "acoperirii" conturului. Imaginea binara a conturului de analizat este supraimprimata cu o succesiune de grile de patrate cu o lungime crescand a marginii. Patratelul este numarat numai o data daca este intersectat de contur indiferent de numarul de pixeli ai intersectiei, dupa care logaritmul numarului patratelelor intersectate este proiectat peste logaritmul marginii patratelului. In aceasta metoda numarul patratelelor de aceeasi dimensiune este necesar pentru a acoperi conturul este important si astfel este o masuratoare nerafinata prin faptul ca nu spune nimic despre structura sau distributia pixelilor in cadrul unei imagini. Cele trei metode, dilatarea, box - countingul si perimetrul pot sa masoare intr-o oarecare masura proprietati diferite legate de dimensiunea fractala a structurii. Deci, nu este corect sa facem o medie a lor, dare le dau foarte des rezultate similare. Rezultatea celor trei operatiuni subestimeaza valoarea "adevaratei" dimensiuni fractale a fractalilor matematici cu cateva procente, dar ofera similare. Metoda dilatatiei pare a fi superioara pentru ca masoara la nivelul fiecarui punct al conturului la toate scalele si de aici genereaza mai multe date.

Detectarea cancerului se poate realiza utilizand analiza fractala de imagine. In ultimul timp, s-a incercat efectuarea analizei radiografice care, printr-un studio atent, sa poata conduce la afirmatii cava mai precise privind caracterul malign sau benign al unor tumori vizibile pe radiografii.

Analiza vizuala calitativa este uneori insuficienta pentru a face astfel de diferentieri. Utilizarea metodei de analiza fractala a imaginilor radiografice in acest scop poate da un sprinjin serios medicinii. Structurile morfologice observate in tesuturile care contin leziuni premaligne si maligne prezinta iregularitati la interfata, determinate de proliferarea celulara. Profilele acestor interfete (vazute ca niste curbe 2D) sau ca proiectii ale distributiei spatiale 3D vazuta ca "harta" de niveluri de gri in imaginile radiografice pot fi explorate ca fiind obiecte "fractale" de dimensiuni cuprinse intre 1 si 2. Se constata o crestere lenta a dimensiunii fractale pentru tesuturi care merg de la cele normale pana la carcinoma (de la 1 spre 1.6 Studiul arata posibilitatea diferentierii (in cele mai multe cazuri) pe baza acestui estimator (dimensiune fractala a tipului de tesut. Modificarile dimensiunii fractale a interfetei scot in evident dinamica tesutului in diferite stadia tumorale. Aceasta permite formularea unor modele - mecanisme legate de dinamica cresterii tumorale ca fiind un proces de evolutie spre structure ce releva auto-similaritate. Domeniul acesta atat de important este la inceput si continua sa se dezvolte.

Recent, metodele fractale au fost folosite in neurobiologie, impreuna cu metodele clasice asemeni analizei Sholl care a fost timp indelungat utilizata pentru studiile morfologice cantitative. Caserta si colaboratorii au determinat dimensiunea fractala a neuronilor in 2D si 3D, utilizand metoda masei cumulative. Ei au gasit ca analiza Sholl si analiza fractala se coreleaza bine. Este, de asemenea, o corelatie intre asa numitul raport al aspectului (perimetru/arie) utilizat in steorologie si dimensiunea fractala. Studiile psihologice au indicat ca exista un grad ridicat al corelatiei intre dimensiunea fractala si perceperea complexitatii la subiectii umani. Astfel, dimensiunea fractala poate fi considerata un descriptor cantitativ a carui magnitudine da "perceperea" complexitatii structurale.

Unul dintre avantejele analizei fractale este capacitatea de a caracteriza obiectele neregulate si complexe. Multe obiecte fractale naturale sunt adesea nu tocmai uniform structurale si au domenii de auto-similaritate restranse, si adesea variabile. O valoare a dimensiunii fractale , nu specifica in mod unic morfologia celulara si, obiectele care arata in mod diferit, pot avea aceeasi dimensiune fractala sau valori apropiate. Nu putem descrie complet, cu un singur parametru, natura fractala a structurilor biologice.

Caracteristicile morfologice celulare care influenteaza cel mai mult marimea dimensiunii fractale sunt ramificatia si asprimea marginii, cresterea fiecareia conducand la valori mari ale dimensiunii fractale. Doua celule cu aspect foarte diferit, de exemplu una cu putine ramificatii si cu margini neregulate si cealalta cu margini netede si cu multe ramificatii, pot sa aiba aceeasi dimensiune fractala. Dimensiunea fractala nu ofera specificatia morfologica unica, intrucat la o marime superioara o margine neregulata opate aparea ca o ramificatie imprastiata, in timp ce la o marire scazuta o ramificatie imprastiata care poate arata ca o margine neregulata - acestea sunt manifestari ale auto-similaritatii.

Analiza fractala devine un important clasificator metodologic pentru caracterizare si discriminare obiectiva intre conditiile inrudite. Abordarea generala a schemei de diagnostic este:

caracterizeaza situatiile prin cateava trasaturi, descriind numeric unii sau toti factorii considerate subiectivi de patologi

atribuie diagnosticul cazului bazat pe aceste trasaturi, in concordant cu o metoda de clasificare prestabilita, determinate si validate de un set de cazuri reprezentativ.

De exemplu, dimensiunea fractala a diferitelor celule gliale a fost masurata in timp, ramanand constanta peste 10 ordine de marime in magnitudine optica, ilustrand ca in cultura de celule gliale, ele etaleaza aceasta importanta caracteristica a obiectelor fractale. Analiza fractala a fost aplicata in mamografie la fel de bine ca si in sectiunea histological a carcinomului de san, oferind o valoare masurabila, specifica a cresterii tumorilor, pe lanfa metoda uzuala a diametrului. Cum dimensiunea fractala creste odata cu gradul de neregularitate al conturului si cum un contur neregulat este asociat cancerului, in timp ce un contur regulat este asociat unei lezini benign, se deduce sa in cazurile maligne dimensiunea fractala este crescuta. Evaluarea dimensiunii fractale a conturului nuclear a celulelor limfoide poate fi un instrument util in distingerea intre cazuri benign si maligne.

Mattfeldt a aplicat metodele deterministice neliniare din teoria haosului la analiza modelului celulelor tumorale. El a comparat textura histological in 20 cazuri de mastopatie cu 20 cazuri de cancer mamar. Textura epiteliala joaca un rol central in diagnosticarea de catre patologi si gradul de malignizare. Mastopatia este un proces benign, auto-limitat in care cresterea epiteliala scade dupa un anumit timp, pe cand cancerul la san este o tumoare maligna. Transformand imaginile microscopic ale epiteliului in semnal, utilizand procedura landscapes - specifica structurilor neregulate si adunand aceste semnale in spatiul fazelor, utilizand metoda timpului intarziat, Mattfeldt gaseste o diferenta considerabila in corelarea dimensiunii - de obicei in mastopatii ete mult mai mica decat in cazul cancerului.

Probabil ca cel mai important aspect practice al analizei fractale poate fi considerat utilizarea dimensiunii fractale ca o variabila cantitativa pe care morfologii o pot studia ca o vatiabila dependent in contextul mai multor variabile independente. De exemplu, structura neuronala devine mult mai complexa odata cu evolutia, relevant dimensiunii fractale pentru functia neuronala este necunoscuta, dar ea este posibil sa reflecte gradul conectivitatii sinaptice, de exemplu cu cat neregularitatea marginilor este mai mare, cu atat creste oportunitatea legaturilor sinaptice.

Plotand dimensiunea fractala ca o functie de timp, putem determina legatura functional intre varsta si complexitate. In combinative cu alte masuratori, dimensiunea fractala poate contribui la dezvoltarea unei noi ramuri a stiintei, "morfometria celulara cantitativa care permite reducerea datelor morfologice la cateva numere relevante a structurilor si/sau clasificarea proceselor fundamentale. Scopul masurarii dimensiunii fractale nu este numai sa adauge un nou parametru de structura la cei deja existenti, posibil descriind o noua si foarte speciala caracteristica structural, scopul mult mai important este acela de a patrunde mult mai profund in dezvoltarea structurilor complexe si a proceselor care contribuie la formarea structurilor.

Multe tumori umane au structura fractala peste mai multe scale, asa ca dimensiunea fractala este un util discriminant morfometric intre diferitele categorii de diagnostic, de exemplu, in diferitele diagnose de celule maligne bazate pe valorile scalelor cu nivele de gri ale nucleelor. Imaginile nucleare nu trebuie vazute ca auto-similare, ci mult mai restrictive, ca fiind auto-afine in mod statistic. Nucleele afiseaza variate grade ale iregularitatii membrane si complexitatii cromatinei, caracterizare cantitativa ce nu poate fi correct realizata utilizand decriptori geometrici conventionali.

Geometria fractala a fost aplicata pentru a cuantifica trasaturile nucleelor, pentru a distinge intre celule normale si canceroase, sau cellule proliferative, reactive sau celule imun-atasate.