Groapa de potential cu peretii infiniti

Groapa de potential cu peretii infiniti

Ne familiarizam cu ecuatia lui Schrödinger rezolvand-o! Un exemplu este cel al unei particule in miscarea unidimensionala pe axa Ox intr-un camp de forte in care energia ei potentiala .

Acest ''salt'' al energie potentiale in si obliga particula sa se miste liber doar intre aceste limite, impiedicand-o sa iasa. Ecuatia lui Schrödinger are expresia

(1)

pentru unde

In afara acestui interval nu are sens sa fie scrisa deoarece unei energii potentiale

nu-i poate corespunde decat o functie de unda si deci o probabilitate de localizare :

Ecuatia (1) poate avea ca solutie o unda plana progresiva (care se misca in sensul pozitiv al axei Ox): .

Introducand aceasta solutie ecuatia Schrödinger obtinem Acelasi rezultat se obtine pentru unda plana regresiva (se misca in sensul negativ al axei Ox)

In acord cu principiul superpozitiei, solutia ecuatiei (1) va fi o suprapunere liniara a celor doua unde :

Punand conditia de continuitate a functiei de unda in si care ne sugereaza o coarda vibranta fixata la capete, obtinem :

Cea de-a doua egalitate exprima cuantificarea impulsului particulei din cutie (groapa): si, implicit, cuantificarea energiei (cinetice) a particulei

Conditia ne ajuta sa exprimam functia de unda ce:

unde am notat : solutia care exprima o unda stationara, rezultat al intentiei intre unda progresiva si cea regresiva. Amplitudinea F rezulta din conditia de normare a functiei de unda (probabilitatea totala ca particula sa fie undeva intre limitele 0 si a este egala cu 1).

Deci, functia de unda normata devine :

O consecinta a faptului ca energia potentiala nu depinde de timp este faptul ca densitatea de probabilitate de localizare a particulei nu depinde de timp, starile descrise de functia de unda numindu-se in acest caz, stari stationare. Ele sunt caracterizate de valori definite, ale energiei.