Mecanica clasica – notiuni generale

Mecanica clasica – notiuni generale

Mecanica clasica se bazeaza pe legi ale naturii ce au fost formulate de Isaac Newton in anul 1686 in lucrarea sa, devenita celebra, 'Principiile fundamentale ale stiintelor naturii'. Mai precis, mecanica este acea parte a fizicii care studiaza miscarea mecanica a corpurilor si conditiile de echilibru ale acestora. Problema mecanicii este stabilirea ecuatiilor de miscare ale corpurilor.

Ecuatiile de miscare dau forma traiectoriei micarii corpului. Traiectoria indica pozitiile succesive in spatiu pe care le va ocupa corpul de-a lungul miscarii sale.

1. Notiumi generale

Cunoaterea miscarii unui corp presupune stabilirea localizarii lui in spatiu si in timp. Fie un punct material M, aflat in micare pe o traiectorie in spatiu, ca in fig.1.

Fig. 1. Traiectoria punctului material intr-un sistem de referinta cartezian.

Pozitia unei particule la orice moment de timp t este specificata de vectorul de pozitie a carui expresie reprezinta legea de miscare:

Prin eliminarea timpului din ecuatiile parametrice ale traiectoriei x=x(t), y=y(t), z=z(t) se obtin ecuatiile traiectoriei.

Vectorul viteza momentana este derivata vectorului de pozitie in raport cu timpul, iar prin derivarea legii de miscare se obtine legea vitezei:

.

Vectorul acceleratie momentana este derivata intai a vectorului viteza in raport cu timpul, sau derivata a doua a vectorului de pozitie in raport cu timpul:

, .

Impulsul este: .

Principiul fundamental al mecanicii: ;

Pentru masa constanta, principiul fundamental al mecanicii se scrie: .

Legea de miscare, legea vitezei, acceleratia ca functii de timp, ecuatiile traiectoriei descriu, ceea ce se numeste, miscarea unui mobil. Aceste relatii nu sunt independente. Cunoscandu-se conditiile initiale (pozitia si viteza la momentul initial), prin calcule matematice se obtine una din aceste legi din alta, adica se cunoaste miscarea mobilului.

Cunoscand legea de miscare a unui corp , prin operatia de derivare se afla legea vitezei , iar apoi derivand legea vitezei se afla acceleratia ca functie de timp , respectiv forta ce actioneaza asupra corpului daca acesta are masa con

. Vectorul viteza momentana este tangent la traiectorie, aa cum se vede in fig.

Fig. Vectorul viteza momentana.

Din legea de miscare eliminand timpul se pot scrie ecuatiile explicite ale traiectoriei.

1.   Aflati viteza si acceleratia punctelor materiale descrise de urmatorii vectori de pozitie:

a)   (m);

b)  (m);

c)   (m);

d)  (m).

2.   Ecuatiile miscarii unui mobil sunt urmatoarele:

x = r cos ωt (m),   y = r sin ωt (m), z = α t (m), unde r, ω, α sunt constante pozitive. Sa se afle:

a)   vectorul viteza, modulul vitezei;

b)  vectorul acceleratie, modulul acceleratiei.

R: a) m/s; b) m/s

3.   O particula de masa m se misca dupa legea:

x = α cos ωt (m), y = β sin ωt (m), unde α, β, ω sunt constante pozitive.

a)   Precizati unitatile de masura ale constantelor α, β si ω;

b)  Determinati forta care actioneaza asupra particulei in functie de pozitia particulei.

R:

4.   Miscarea unui punct material in planul xOy este descrisa de legea:

x = α sin ωt (m), y = α (1 - cos ωt) (m), unde α si ω sunt constante pozitive. Determinati unghiul dintre vectorul viteza si vectorul acceleratie al punctului material.

R: π/

Din legea de miscare eliminand timpul se pot scrie ecuatiile explicite ale traiectoriei.

5.   Vectorul de pozitie al unui punct material A variaza dupa legea:

(m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinati:

a)   ecuatia traiectoriei punctului; reprezentati grafic;

b)  vectorii viteza si acceleratie si modulele acestora;

c)   unghiul θ intre vectorii acceleratie si viteza in functie de timp.

Rezolvare:

a) - ecuatia traiectoriei;

Traiectoria este o parabola cu varful V(0,0), iar punctul A se misca pe jumatate din aceasta parabola ( x0).

b) , vectorul viteza este tangent la traiectorie in fiecare punct al acesteia;

, in acest caz vectorul acceleratie este paralel cu directia axei Oy si in sens opus acesteia in fiecare punct al traiectoriei;

c) Unghiul pe care vectorul viteza il face cu axa Oy este (π – θ),

sau daca se calculeaza cu ajutorul produsului scalar dintre vectorii si :

6.   Miscarea unei particule in plan este descrisa de legea:

x = β t (m), y = α t (1- β t) (m), unde α, β sunt constante pozitive. Determinati:

a)   ecuatia traiectoriei particulei; reprezentati grafic;

b)  vectorii viteza si acceleratie si modulele acestora;

c)   momentul t₀ la care vectorul viteza face un unghi de π/4 cu vectorul acceleratie.

R: a) ; c).

7.   Sa se scrie ecuatia traiectoriei, precizand forma acesteia pentru particula care se misca dupa legea:

a)   problemei 5;

b)  problemei 6.

8.   Doua particule se deplaseaza cu vitezele m/s, respectiv m/s. La momentul t₀=0 particulele se gasesc in pozitiile m, respectiv m. Sa se determine momentul la care distanta dintre particule este minima.

R: t = 0,6 s.

9.   Doua particule se deplaseaza cu vitezele m/s, respectiv m/s. La momentul t₀ =0 particulele se gasesc in pozitiile m, respectiv m. Sa se determine momentul la care distanta dintre particule este minima.

Rezolvare:

,

, ,

,

;

si ;

t=1 s.

Operatia inversa derivarii fiind integrarea, din legea vitezei se obtine prin integrare legea de miscare . Cunoscandu-se acceleratia (sau forta) ca functie de viteza (de obicei fortele rezistente depind de viteza), prin integrare se poate afla legea vitezei si, mai departe, printr-o noua integrare, se poate descrie miscarea prin legea de miscare .

10.   Un corp de masa m porneste la momentul t₀ = 0 de la x₀ = 0 cu viteza v₀ intr-un mediu viscos de-a lungul axei Ox. Corpul intampina din partea mediului o forta de rezistenta proportionala cu viteza (F = - α v). Sa se determine:

a)   legea vitezei;

b)  legea de miscare;

c)   dupa cat timp viteza initiala a corpului, v₀, se micsoreaza de n ori.

Rezolvare:

a)

;

b) ;

c) Se inlocuieste v cu in legea vitezei si se obtine: .

11.   Un corp de masa m intampina, din partea mediului in care se misca de-a lungul axei Ox, o forta de rezistenta proportionala cu patratul vitezei; constanta de proportionalitate este α (F = - α v²). Presupunand ca la momentul t₀ = 0 corpul se gaseste la x₀ = 0 si are viteza v₀ sa se determine:

a)   legea vitezei;

b)  legea de miscare;

c)   dupa cat timp viteza initiala a corpului, v₀, se micsoreaza de n ori.

R: a) ; b) ; c) .

12.   Un corp de masa m, care se misca in lungul axei Ox, intampina din partea mediului in care se misca o forta de rezistenta proportionala cu cubul vitezei (F = - α v³). Presupunand ca la momentul t₀ = 0 corpul pleaca de la x₀=0 si are viteza v₀ si neglijand restul interactiunilor, sa se determine:

a)   legea vitezei;

b)  legea de miscare;

c)   dupa cat timp viteza initiala a corpului, v₀, se micsoreaza de n ori.

R: a); b); c) .

13.   O particula se misca incetinit in sensul pozitiv al axei Ox cu acceleratia , unde α constanta pozitiva. Stiind ca la momentul t₀ = 0, x₀ = 0, iar viteza este v₀, determinati:

a)   legea vitezei;

b)  legea de miscare;

c)   drumul parcurs pana la oprire si intervalul de timp corespunzator.

R: a) ; b) ;

c) , .

Cunoscandu-se viteza ca functie de pozitie , prin integrare se poate afla legea de miscare si, mai departe, se poate descrie miscarea prin legea dorita, folosind operatiile matematice amintite mai sus.

14.   O particula se deplaseaza in planul xOy cu viteza , unde α, β sunt constante. La momentul initial t₀ = 0 particula se gaseste in punctul x₀ = y₀ = 0. Determinati:

a)   legea de miscare;

b)  legea vitezei;

c)   ecuatia traiectoriei;

d)  acceleratia.

R: a) .

15.   O particula de masa m se deplaseaza in sensul pozitiv al axei Ox cu o viteza , unde α constanta pozitiva. Stiind ca la momentul t₀ = 0 particula se gaseste in punctul x₀ = 0 determinati:

a)   legea de miscare;

b)  legea vitezei;

c)   acceleratia;

d)  lucrul mecanic al tuturor fortelor ce actioneaza asupra particulei in primele t secunde ale miscarii.

R: a) ; d) .

16.   Aceeasi problema pentru .

R: a) ; d).

Atunci cand se cunosc ecuatiile traiectoriei, prin derivari succesive ale acestora, si folosind conditiile initiale se poate deduce acceleratia ca functie de pozitie .

17.   O particula de masa m se misca pe traiectoria cu o

acceleratie paralela cu axa Oy. La t₀ = 0 particula se gaseste in punctul de coordonate x₀ = 0, y₀ = b si are viteza v₀. Determinati forta care actioneaza asupra particulei in fiecare punct al traiectoriei.

Rezolvare:

- ecuatia traiectoriei;

Derivand ecuatia traiectoriei in raport cu timpul se obtine:

sau

Conditiile initiale:

t₀ = 0, x₀ = 0, y₀ = b, v₀ ,

a_y , a_x = 0 v_x = const.

se inlocuiesc in (1) si  

v_0y = 0 si deci v_0x = v₀ v_x = const = v₀

Derivand (1) inca o data in raport cu timpul si utilizand, din nou, conditiile initiale, se obtine:

Inlocuind v_y din (1) si folosind ecuatia traiectoriei se obtine:

a_y = a_y =

Astfel  F_y = , iar .

18.   O particula se deplaseaza pe o traiectorie plana cu viteza constanta in modul (v). Determinati acceleratia particulei in punctul x₀ = 0 pentru o traiectorie descrisa de ecuatia:

a)  

b) 

Rezolvare:

a) v_y = 2α x v_x (1)

Dar v_x²+ v_y² = v² = const.   v_x² ( 1+4 α²x² ) = v² (2)

;

a_y = 2 α v_x²+2 α x a_{x   ;}

Pentru x₀ = 0 y₀ =0 ;

b)   R: .

19.   Un corp de masa m se afla in repaus pe un plan orizontal. La momentul t₀ = 0 asupra lui incepe sa actioneze o forta data de legea F = α t, unde α este o constanta. Forta face un unghi θ cu orizontala. Neglijind frecarea sa se determine:

a) legea vitezei, pana la parasirea planului orizontal;

b) viteza v₁ a corpului in momentul in care acesta paraseste planul;

c) legea de miscare, pana la parasirea planului;

d) drumul parcurs de corp din momentul initial pana la parasirea planului.

Rezolvare:

a) Pana la parasirea planului orizontal acceleratia corpului este:

F cos θ = m a ,

;

b) In momentul desprinderii componenta verticala a fortei este egala cu greutatea, astfel incat:

F sin θ =G α t₁ sin θ = mg ,

;

c) R: ; d) R: .

20.   Un corp de masa m se afla in repaus pe un plan orizontal. La momentul t₀ = 0 asupra lui incepe sa actioneze o forta data de legea F = α , unde α este o constanta. Forta face un unghi θ cu orizontala. Neglijind frecarea, sa se determine:

a)   viteza v₁ a corpului in momentul in care acesta paraseste planul;

b)  drumul parcurs de corp din momentul initial pana la parasirea planului.

R: a) ; b) .