OSCILATII ARMONICE

OSCILATII ARMONICE

§ 1. Definitii

Fie un corp care, la un moment dat se afla intr-o pozitie in care rezultanta fortelor aplicate este nula. Aceasta reprezinta pozitia de echilibru a lui.

Prin oscilatie intelegem o miscare ce se executa de-o parte si de alta a unei pozitii de echilibru.

Nota: aceasta definitie nu impune nici un fel de constrangeri asupra miscarii:

a) deplasarea maxima fata de pozitia de echilibru de-o parte a pozitiei de echilibru nu trebuie sa fie egala cu deplasarea maxima de cealalta parte a pozitiei de echilibru;

b) timpul cat corpul evolueaza de-o parte a pozitiei de echilibru nu trebuie sa fie egal cu timpul cat corpul evolueaza de cealalta parte a pozitiei de echilibru; se cere DOAR  ca miscarea sa fie cand de-o parte, cand de cealalta a pozitiei de echilibru.

In matematica se numesc functii ARMONICE functiile SIN si COS.

Prin oscilatie ARMONICA intelegem acea oscilatie descrisa de functii armonice.

Exemple

miscarea limbii unui ceas cu pendul;

miscarea unui corp atarnat de un resort (daca NU se depaseste limita alungirilor elastice ale resortului);

etc.

Astfel de miscari se caracterizeaza prin aceea ca se repeta in mod identic dupa intervale egale de timp. Deci, aceste miscari sunt miscari PERIODICE. Marimile definite (la modul general) pentru ORICE miscare periodica, sunt valabile si in cazul miscarilor oscilatorii armonice.

Perioada ( T ) unei miscari oscilatorii armonice este o marime fizica scalara numeric egala cu timpul in care se executa o oscilatie completa.

< T > = s.

Secunda este unitate fundamentala in S. I.

Frecventa unei miscari oscilatorii armonice ( ν ) este o marime fizica scalara numeric egala cu numarul de oscilatii complete efectuate in unitatea de timp.

Perioada si frecventa sunt marimi inverse, deci:

T · ν = 1, de unde, pentru relatia de definitie a frecventei:

, de unde, pentru unitatea de masura a frecventei:

.

Sa definim aceasta unitate de masura (1 Hz = Hertz).

1 Hz este frecventa acelei miscari periodice in cadrul careia se efectueaza cate o miscare completa in fiecare secunda

Acestea sunt marimi caracteristice nu numai oscilatiilor, ci ORICARUI TIP DE MISCARE PERIODICA.

Miscarea oscilatorie armonica este descrisa de un model specific, numit modelul oscilatorului liniar armonic, model care va fi detaliat in cele ce urmeaza.

§ 2. Modelul oscilatorului liniar armonic consta in proiectia unei miscari circulare uniforme pe unul din diametri.

y

( P )

y

Φ

O x

Fig. 2.1

Fie un punct material (P) care descrie cu viteza constanta o traiectorie circulara de raza A. Viteza mobilului pe traiectorie este notata cu v₀. Proiectia punctului figurativ (P) pe diametrul vertical oy va efectua o miscare de-o parte si de alta a originii O, deplasarea maxima de fiecare parte fiind egala cu A.

Deci, proiectia miscarii circulare uniforme a punctului figurativ ce efectueaza miscarea circulara uniforma reprezinta o miscare oscilatorie.

Coordonata oscilatorului ( y ) se numeste elongatie

Valoarea maxima a elongatiei  ( A ) se numeste amplitudine

Din figura 2.1 deducem legea elongatiei:

,

in care argumentul ( Ф ) al functiei armonice se numeste faza miscarii oscilatorii. Aceasta are ca si corespondent in miscarea circulara uniforma:

, in care ω reprezinta viteza unghiulara a punctului figurativ ce descrie miscarea circulara. In cazul miscarii oscilatorii, marimea ω poarta numele de pulsatie si are aceeasi unitate de masura ca si marimea corespondenta din miscarea circulara uniforma ( radian/s ).

Inlocuind (2) in (1) obtinem legea EXPLICITA a elongatiei:

.

Pentru a gasi legea vitezei utilizam relatia de definitie a vitezei instantanee:

.

Dupa efectuarea calculelor se obtine:

.

Acceleratia instantanee a oscilatorului se gaseste utilizand relatia de definitie a acceleratiei instantanee:

, ceea ce, dupa efectuarea calculelor inseamna:

.

Nota: relatiile (5) si (7) se pot deduce din (3) si prin utilizarea unor metode matematice elementare, fara utilizarea operatorului derivata. Aceste demonstratii, accesibile elevilor din clasele mici de liceu, sunt prezentate in Anexa 1.

§ 3. Forta elastica

Comparand relatiile (3) si (7) se observa ca putem stabili urmatoarea relatie intre ele:

.

inmultind ambii membri ai relatiei (1) cu masa m a oscilatorului, gasim:

in care:

reprezinta forta TOTALA aplicata oscilatorului (rezultanta fortelor aplicate).

Notand produsul din paranteza din membrul drept:

, gasim:

, ceea ce inseamna ca marimea k definita de relatia (4) reprezinta echivalentul constantei elastice a resortului de care ar trebui atarnat oscilatorul cu masa m pentru a oscila conform relatiei (2.3).

Daca forta totala aplicata unui sistem fizic se poate pune sub forma (5), oricare ar fi expresia marimii k, cu conditia doar ca aceasta sa fie O CONSTANTA, se spune ca forta aplicata este de tip elastic.

Deoarece, asa cum se demonstreaza in cadrul studiului miscarii circulare:

, coreland (4) cu (6) obtinem, pentru perioada MICILOR oscilatii armonice:

.

Sunt multe probleme in care se cere ca, pentru un sistem fizic dat, sa se arate ca daca este scos din pozitia de echilibru si lasat liber, va efectua oscilatii armonice. De cele mai multe ori este greu sa demonstram ca, lasat liber, sistemul se va misca respectand legea (2.3).

Relatia (5) ne permite sa enuntam  urmatoarea teorema (pe care o prezentan fara demonstratie):

Conditia necesara si suficienta ca un sistem fizic sa efectueze oscilatii armonice este ca forta totala aplicata sa fie DE TIP ELASTIC

In cele mai multe cazuri este mult mai facil sa se arate ca forta totala aplicata este de tip elastic, ceea ce ne va indreptati sa afirmam ca sistemul studiat, lasat liber intr-o pozitie apropiata celei de echilibru, va efectua OSCILATII ARMONICE.

Perioada acestora se calculeaza usor prin utilizarea relatiei (7).

§ 4. Energia oscilatorului liniar armonic

Energia totala mecanica a oricarui sistem fizic are doua componente: energia cinetica si cea potentiala.

Pentru energia cinetica utilizam cunoscuta relatie:

in care, dupa inlocuirea legii vitezei (2.5) gasim dependenta:

si tinand seama de (3.4):

.

Pentru a determina dependenta de timp a energiei potentiale, vom tine seama ca oscilatorul studiat se misca in campul fortelor elastice. Dupa cum s-a aratat in cadrul capitolului "Lucru mecanic, energie, putere", energia potentiala in campul fortelor elastice se exprima ca fiind:

in care, in urma inlocuirii relatiei (2.3), deducem:

.

Pentru a determina energia TOTALA, tine seama ca:

.

In urma inlocuirii in aceasta expresie a relatiilor (4.3) si (4.5), tinand seama de identitatea fundamentala a trigonometriei, obtinem:

Remarcam faptul ca, in absenta frecarilor, energia totala a oscilatorului liniar armonic este constanta in timp. Aceasta ultima afirmatie reprezinta enuntul in cuvinte al legii conservarii energiei, particularizata tipului de miscare studiat.