la bazele cibernetice - modelul cobweb

 

MODELUL COBWEB

OBIECTIVUL : studierea pretului unui produs si conditiilor privind stabilitatea acestuia ;

CUNOSTINTE : ecuatii cu diferente , stari de echilibru , traiectorii de echilibru , studiul calitativ a solutiilor unui sistem de ecuatii cu diferente , traiectorie de stare .

PROBLEMA:

Functia de cerere , liniara in pret :

D_t= -d*p_t+c₁ ,cu d>0 , c₁>0 ;

Functia ofertei , liniara in pret :

S_t=s*p_t-1+c₂ , cu s>0 , c₂>0 ;

Relatia de echilibru (identitate) :

D_t=S_t ;

Notatii : p_t=pretul produsului la momentul t ;

D_t=cererea din produs la momentul t ;

S_t=oferta din produs la momentul t .

Se cere :

a)      Folosind relatia (3) si expresiile (1) si (2) sa se afle ecuatia cu diferente avand ca variabila pretul . Fie p₀ pretul la momentul t=0 ;

b)      Exista un pret de echilibru ? Care este acesta ? Sa se reprezinte grafic traiectoria de echilibru a pretului ;

c) Sa se studieze conditiile de stabilitate a traiectoriei pretului ; se vor face reprezentari grafice pentru fiecare situatie in parte ( in planul P-Q ,unde P=pretul si Q=cantitatea ).

Rezolvare :

a)      Folosind relatia (3) si expresiile (1) si (2) sa se afle ecuatia cu diferente

avand ca variabila pretul . Fie p₀ pretul la momentul t=0 .

D_t= -d*p_t+c₁

S_t=s*p_t-1+c₂

D_t=S_t

-d*p_t+c₁=s*p_t-1+c₂T p_t= (-s/d)*p_t-1+(-c₂+c₁)/d

Notam cu a=-s/d si cu b -c₂+c₁)/d , rezulta ca :

p_t=a*p_t-1+b

b)     Exista un pret de echilibru ? Csre este acesta ? Sa se reprezinte grafic traiectoria de echilibru a pretului .

p_t=a.p_t-1+b , p₀ , t=0 .

Notam cu p^. pretul de echilibru .

p_t=p^.=p_t-1 rezulta ca p^.=a.p^.+b . Deci pretul de echilibru este :

p^.=b 1-a) .

Am notat cu a= -s/d si cu b -c₂+c₁)/d rezulta ca pretul de echilibru este :

P^.=(-c₂+c₁)/(d+s) , cu d>0 ; s>0 ; c₁>0 ; c₂>0 .

Pretul trebuie sa fie mai mare decat 0 . Deci -c₂+c₁> rezulta ca c₁>c₂ reprezinta conditia ca pretul de echilibru sa existe . Pretul de echilibru este egal cu 0 cand c₁=c₂ .

Traiectoria pretului de echilibru

p p

p

p^*

t    0 t

c₁>c₂ c₁=c₂

c)      Sa se studieze conditiile de stabilitate a traiectoriei pretului ; se vor face reprezentari grafice pentru fiecare situatie in parte ( in planul P-Q )

Pretul este o solutie a ecuatiei p_t=a*p_t-1+b care este o ecuatie cu

diferente de ordinul I .

Solutia acestei ecuatii se determina in trei pasi :

pasul : se rezolva ecuatia omogena p_t-a*p_t-1=0 ; cautand o solutie de forma p_t^p=l^t cu l I R . Se obtine solutia generala p_t^p=a^t*c unde p_t^p este expresia componentei proprii a structurii sistemului asupra dinamicii starii sale iar c este o constanta ce va fi determinata din conditiile initiale .

pasul : se determina o solutie particulara (componenta de dirijare ) . Se cauta o solutie de forma p_t^D=d^* unde d^* I R .

d^*=a*d^*+b sau d^*=b/(1-a) de unde p_t^D=b/(1-a) ;

pasul : se determina solutia ecuatie neomogene :

p_t=p_t^P+p_t^D=a^t*c+b(1-a) .

Pentru determinarea constantei c se tine seama de conditiile initiale ( p₀ la momentul t=0 ) : p₀=a⁰*c+b/(1-a) adica c=p₀-b/(1-a) respectiv ,

p_t=[p₀ -b/(1-a)]*a^t+b/(1-a) .

Acesta solutie reprezinta traiectoria de evolutie a starii sistemului exprimata printr-un model liniar discret in cazul cand fluxul comenzilor de intrare este constant .

In studierea conditiilor de stabilitate a traiectoriei pretului intalnim trei cazuri :

Cazul I a <1 ; unde a=-s/d , s>0 , d>0 .

Din ipoteza a <1 , adica s<d (oferta marginala este mai mica decat cererea marginala ) , si din conditiile intiale s>0 , d>0 si a=-s/d rezulta ca avem o traiectorie monoton amortizata .

Reprezentarea traiectoriei in planul P-Q

P

D_t S_t

p₀ S₁

D₂ S₃

p^*

p₁

S₂ D₁

0 q^* Q

(secventele sunt prezentate in aplicatia rezolvata la sfarsit )

Observam ca pretul se stabilizeaza spre pretul de echilibru .

Reprezentarea traiectorie in planul P-t

P

p₀

p^*

T

Cazul II : a >1 , unde a=-s/d , s>0 , d>0 ;

Din ipoteza a >1 , adica s>d ( oferta marginala este mai mare decat cererea marginala ) si din conditiile initiale , adica s>0 , d>0 ,rezulta ca in acest caz pretul inregistreaza o traiectorie exploziva .

Reprezentarea traiectoriei pretului in planul P-Q

P D_t S_t

S₁ p₀

p^*

p₁ D₁ S₂ q^* Observam ca traiectoria pretului nu se mai stabilizeaza spre pretul de echilibru , ci se inregistreza o traiectorie exploziva (p_t

Reprezentarea traiectoriei de evolutie a pretului in planul P-t

P

p_o

p^*

T

Se observa ca pretul are o traiectorie explosiva (p_t

Cazul III : a unde a=-s/d , s>0 , d>0 .

Din ipoteza a adica s=d ( oferta marginala este egala cu cererea marginala ) si din conditiile initiale rezulta ca pretul are o traiectorie de evolutie constanta .

Reprezentarea traiectoriei pretului in planul P-Q

P D_t S_t

D₂ S₁

p₀

p^*

p₁ D₁

S₂

0 q^* Q

Din conditia s=d rezulta ca intre dreptele D_t si S_t exista un unghi drept. Din grafic se observa ca de la momentul t=2 ciclam pe varfurile patratului construit. Deci pretul ramane constant p₁=p₀-p^*.

Reprezentarea traiectoriei pretului in planul P-t

P p₀ p^* 0 t

Traiectoria pretului este constanta.

Aplicatie

D_t=-1.5p_t+100

S_t=p_t-1+10

p₀=310

In ce situatie din cele analizate mai sus suntem ? Sa se reprezinte grafic traiectoria de evolutie a pretului (t=0 ).

Rezolvare :

p_t=[p₀-b/(1-a)]*a^t+b/(1-a) ,d=1.5 , c₁=100 , s=1 , c₂

b -c₂+c₁)/d=60

a=-s/d=- -1<a<0 rezulta ca avem o traiectorie oscilant amortizata. Pretul tinde catre pretul de echilibru p^*, unde p^*=b 1-a)=36.

p₀=310 S₁=p₀+10 D₁=S₁=320

p₁ D₁-100)/(-1.5) = -146.66 S₂=p₁+10= -136.66 D₂=S₂= -136.66

p₂ D₂-100)/(-1.5)=157.77 S₃=p₂+10=167.77 D₃=S₃=167.77

p₃ D₃-100)/(-1.5= -45.18 S₄=p₃+10= -35.18 D₄=S₄= -35.18

p₄ D₄-100)/(-1.5) = 90.12 S₅=p₄+10= 100.12 D₅=S₅= 100.12

p₅ D₅-100)/(-1.5)= -0.08 S₆=p₅+10=9.92 D₆=S₆=9.92 p₆=(D₆-100)/(-1.5= 60.05 S₇=p₆+10= 70.05 D₇=S₇= 70.05

p₇ D₇-100)/(-1.5) =19.96 S₈=p₇+10= 29.96 D₈=S₈= 29.96

p₈ D₈-100)/(-1.5)=46.69 S₉=p₈+10=56.69 D₉=S₉=56.69

p₉ D₉-100)/(-1.5= 28.87 S₁₀=p₉+10=38.87 D₁₀=S₁₀= 38.87

p₁₀ D₁₀-100)/(-1.5) = 40.75 S₁₁=p₁₁+10= 40.75 D₁₁=S₁₁= 40.75

p₁₁ D₁₁-100)/(-1.5)=39.5 S₁₂=p₁₂+10=49.5 D₁₂=S₁₂=49.5

p₁₂ D₁₂-100)/(-1.5= 33.6

Reprezentarea traiectoriei de evolutie a pretului S_t

S₁ P p₀ D_t D₂ S₃ D₄ p^* S₄ D₃ O Q q^* S₂ D₁