Proprietatile fizice ale fluidelor

Proprietatile fizice ale fluidelor

-Ipoteza continuitatii

Analiza starii de miscare sau de echilibru a unui fluid aflat sub actiunea unui camp de forte masice si/sau de suprafata are drept scop determinarea distributiei unor parametri caracteristici (precum viteza, presiunea etc), respectiv stabilirea efectului interactiunii dintre fluid si suprafetele solide cu care acesta se afla in contact. Folosirea aparatului matematic existent pentru rezolvarea acestor probleme este posibila doar daca admitem ipoteza continuitatii, conform careia orice fluid este considerat mediu continuu deformabil. Aceasta inseamna de fapt ca domeniul ocupat de fluid se poate descompune intr-un numar infinit de mare de elemente de volum (numite particule) si ca proprietatile fizice specifice variaza continuu in interiorul acestuia (cu exceptia unor eventuale suprafete, linii sau puncte de discontinuitate).

2.-Modele simplificate de fluide

Studiul curgerii fluidelor reale este in general greu de abordat prin metode teoretice complete, datorita complicatiilor deosebite provocate de o serie de factori perturbatori precum frecarea fluida (vascozitatea), turbulenta, antrenarea unor particule solide, prezenta unor surse interne de caldura etc. Din acest motiv, in problemele uzuale se elimina de obicei factorii perturbatori neesentiali si se pastreaza numai cei al caror efect este determinant. Procedand in acest mod, s-a ajuns la dezvoltarea unor modele teoretice simplificate, care permit descrierea cu suficienta acuratete a majoritatii proceselor legate de dinamica curgerii fluidelor reale (nevascoase).

Cele mai importante modele simplificate folosite in mecanica fluidelor sunt:

fluidul ideal nevascos (Euler), care are o vascozitate neglijabila si care nu adera la suprafetele solide cu care acesta este in contact;

fluidul ideal vascos (Newton), care adera la suprafetele solide cu care acesta este in contact si la care tensiunea de vascozitate (de frecare fluida) depinde de viteza de deformare a mediului respectiv printr-o relatie de tip liniar;

fluidul omogen, care are in fiecare moment t aceeasi densitate r in toate punctele domeniului ocupat de acesta;

fluidul incompresibil, a carui densitate r este independenta de timpul t in toate punctele domeniului ocupat de acesta;

fluidul compresibil, a carui densitate r este dependenta de timpul t si/sau de pozitia punctului explorat aflat in interiorul domeniului ocupat de acesta;

fluidul usor, a carui comportare nu este influentata in mod semnificativ de actiunea campului de forte gravitationale;

fluidul greu, a carui stare este influentata semnificativ de actiunea campului de forte gravitationale.

3.-Campurile de forte care actioneaza asupra unui fluid

Sa presupunem in cele ce urmeaza ca fluidul analizat traverseaza un domeniu (D), care este separat de mediul exterior prin suprafata inchisa fixa si permeabila (S). El este alcatuit din particule de volum Dt si masa Dm, al caror numar tinde catre infinit, datorita ipotezei conform careia fluidul este considerat mediu continuu deformabil ([6, 22, 32]). Din acest motiv, volumul si masa particulelor vor fi notate mai departe cu dt, respectiv cu dm.

Miscarea fluidului este generata de un camp de forte de intensitate , care exercita asupra fiecarei particule M de masa dm = r dt forta masica elementara

(1)

In raport cu un punct O ales arbitrar actiunea respectiva se reduce la torsorul

(2)

In particular, daca campul de forte este cel gravitational, atunci se recurge la notatia . In acest caz, (2) devine

(3)

unde este vectorul de pozitie al centrului de masa C al fluidului din domeniul (D), iar m este masa acestuia.

Oricare ar fi elementul de arie ds situat in interiorul domeniului (D) sau pe frontiera (S) a acestuia, asupra lui actioneaza forta elementara de suprafata

(4)

unde M, si t reprezinta centrul elementului, versorul normalei, respectiv timpul, iar exprima tensiunea corespunzatoare fortei respective (fig. 1). Tensiunea are proprietatea remarcabila

(5)

care este complet justificata din punct de vedere mecanic. Mai departe, tensiunea se poate descompune dupa doua directii perpendiculare, dupa cum urmeaza

(6)

unde p reprezinta presiunea, iar tensiunea locala de frecare. Apoi, intr-un sistem de coordonate cartezian Ox₁x₂x₃, ea se poate pune sub forma

(7)

in care este tensiunea corespunzatoare directiei de versor .

Fig. 1    Fig. 2

In raport cu un punct O ales arbitrar actiunea mediului exterior asupra fluidului din interiorul suprafetei (S) se reduce la torsorul

    (8)

Daca se doreste disocierea efectului presiunilor de cel al frecarilor, atunci se pleaca de la descompunerea (6). Ca urmare, rezulta

, (9) unde

(10)

4.-Proprietatile fizice generale ale fluidelor

Densitatea sau masa specifica r este o proprietate fizica locala, care se defineste prin relatia

(11)

Daca fluidul este incompresibil si omogen, atunci

(12) unde m si V reprezinta masa, respectiv volumul domeniului ocupat de acesta.

Greutatea specifica g este de asemenea o proprietate fizica locala. Ea se defineste sub forma

(13) unde g este intensitatea campului de forte masice gravitationale (g 9,81 m s²).

Starea fizica curenta a fluidului intr-un punct M ales arbitrar in (D) se exprima printr-o ecuatie de forma

(14) unde p, r si T reprezinta presiunea, densitatea, respectiv temperatura absoluta locala. Dependenta functionala (14) este numita ecuatie de compresibilitate.

Sa presupunem mai departe ca in timpul desfasurarii unui anumit proces, parametrii termodinamici locali ai fluidului in punctul M din (D) se modifica de la starea (p₀, r , T₀) la starea (p, r, T). Daca procesul este isotermic, adica daca temperatura se mentine constanta (T T₀), atunci (14) are expresia

(15) Dupa integrare, se obtine

(16) Parametrul b care intervine in (15) se numeste coeficient de compresibilitate isotermica. Din punct de vedere matematic, el se defineste prin relatia

(17)

Valoarea lui b depinde de temperatura T₀ la care are loc transformarea. Marimea

(18) este numita modul de elasticitate.

Daca procesul termodinamic este isobar (adica daca are loc la presiunea p p₀ constanta), atunci (14) are forma

(19) Dupa integrare se obtine

(20) Parametrul

(21) este numit coeficient de dilatare termica isobara.

Din (16) si (20) rezulta ca densitatea variaza cu presiunea si temperatura dupa o lege de forma

(22)

Densitatea r este inlocuita deseori cu volumul specific v, care se defineste prin relatia

(23)

Ca urmare, (15) (17) si (19) (22) se transforma succesiv dupa cum urmeaza

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Proprietatile termodinamice se exprima prin intermediul caldurilor specifice la presiune constanta C_p, respectiv la volum constant C_v, care se definesc din punct de vedere matematic prin relatiile

si (31)

(32) unde i si u reprezinta entalpia, respectiv energia interna a fluidului.

Exista numeroase situatii in care curgerea fluidelor se caracterizeaza din punct de vedere termodinamic printr-o ecuatie de compresibilitate de forma

(33) In acest caz procesele respective nu depind de temperatura absoluta curenta T, iar fluidele implicate sunt numite barotrope.

Primul exemplu se refera la curgerile in care schimbul de caldura dintre fluid si mediul ambiant este neglijabil. Acest gen de miscari este numit adiabatic. Ecuatia (33) are forma

(34) Ea admite solutia

.    (35)

Cel de-al doilea exemplu este cazul curgerii politropice, in care ecuatia (33) are expresia

(36) De aici obtinem mai departe

.    (37)

Frecarea fluida se apreciaza cu ajutorul coeficientilor de vascozitate dinamica m, respectiv cinematica n, intre care exista legatura

(38) Unitatile de masura ale acestora in sistemele SI si CGS sunt [m]_SI 1 kg/(m s) si [n]_SI 1 m²/s, respectiv [m]_CGS 1 g/(cm s) 1 P (Poise) si [n]_SI 1 cm²/s 1 St (Stokes).

Vascozitatea lichidelor variaza cu temperatura si presiunea dupa legi de forma

(39) unde b_T 0,0156, iar b_p 10^-3. In cazul gazelor coeficientul de vascozitate dinamica creste cu temperatura, dependenta putand fi aproximata prin relatia

(40)

Constanta C depinde de natura gazului. Pentru aer C

Daca curgerea fluidelor este laminara, adica daca ea se desfasoara in straturi paralele, tensiunea de frecare se determina folosind relatia lui Newton

,    (41)

unde n desemneaza coordonata curbilinie normala vitezei locale. Fluidele care respecta relatia (41) sunt numite newtoniene. Miscarea si echilibrul fluidelor nenewtoniene sunt analizate in cadrul unei discipline aparte, numita Reologie.

P 1-O conducta de diametru d 400 mm si lungime L 1000 m functioneaza la presiunea p₀ 5 at. Etanseitatea ei se verifica prin pomparea apei in interior la presiunea p₁ 12 at. Daca dupa un timp oarecare de la incetarea pomparii presiunea din interior scade la valoarea p₂ 8 at, se cere sa se determine cantitatea de lichid pierduta prin neetanseitatile conductei, daca modulul de compresibilitate al apei are valoarea b Pa , iar densitatea la presiunea atmosferica normala este r_at 1 g/cm³.

Rezolvare:

Conform relatiei (22), densitatea apei la presiunea p₁ are valoarea

.

Pe de alta parte, variatia densitatii apei datorita scaderii presiunii de incarcare de la p₁ la p₂ are valoarea

Prin urmare, cantitatea de apa care se pierde este

P 2-Se considera cricul din fig. 3, care este folosit pentru a ridica sarcina G 10⁴ daN la inaltimea H 100 mm prin intermediul unui ulei hidraulic, caracterizat la presiune atmosferica normala prin densitatea r_at 920 Kg/m³ si coeficientul de compresibilitate b Pa Se cere sa se determine numarul necesar n de curse ale pistonului, precum si variatiile densitatii, respectiv greutatii specifice a uleiului din interior, daca se cunosc diametrul pistonului D 130 mm si volumul pompat la fiecare cursa activa a pistonului V₀ 32 cm³.

Fig. 3

Rezolvare:

Suprapresiunea care se dezvolta asupra uleiului aflat in interiorul incintei cricului dupa aplicarea sarcinii G are valoarea

Mai departe, volumul total V de ulei necesar ridicarii sarcinii G la inaltimea H se exprima tinand cont de relatia (30) si de numarul n de curse ale pistonului, dupa cum urmeaza

De aici rezulta

In sfarsit, conform relatiei (16), variatiile densitatii si greutatii specifice a uleiului au valorile:

P 3-O autoclava avand volumul V₀ este umpluta cu apa si inchisa ermetic. Se cere sa se determine cresterea de presiune din interior daca apa este incalzita cu Dq C, stiind ca apa are coeficientul de dilatare termica izobara a K , iar coeficientul de compresibilitate izoterma are valoarea b Pa In aceasta aplicatie se neglijeaza deformatiile autoclavei.

Rezolvare:

Volumul initial V₀ este egal cu cel final V. Prin urmare, din relatia (30) se obtine

De aici rezulta

.

P 4-O placa plana de arie A si masa m aluneca pe un plan inclinat cu unghiul a (fig. 4). Intre plan si placa exista o pelicula de ulei de grosime h, care are densitatea r si coeficientul de vascozitate cinematica n. Se cere sa se determine viteza maxima V₀ de deplasare a placii pe planul inclinat, daca A 0,8 m², m 4 Kg, a , h 2 mm, r 0,9 g/cm³ si n 4,5 St.

Fig. 4

Rezolvare:

Placa se deplaseaza pe planul inclinat datorita actiunii componentei a greutatii proprii . Acesteia i se opune rezultanta a fortelor de frecare elementare , care actioneaza pe fiecare element de arie a suprafetei de contact (S) dintre placa si lichid.

Intrucat viteza V₀ este constanta, placa din punct de vedere mecanic se afla in stare de echilibru. Acesta se exprima prin ecuatia

.

Tinand cont de (10), (41) si (38), avem succesiv

De asemenea,

.

Ca urmare, proiectia pe directia miscarii a ecuatiei de mai sus se prezinta sub forma

.

De aici se obtine

P 5-Arborele din fig. 5 se roteste in jurul axei proprii cu turatia n constanta. Intre arbore si lagarul radial se afla o pelicula de ulei, care are coeficientul de vascozitate dinamica m. Se cere sa se determine puterea W_fr consumata pentru invingerea vascozitatii peliculei. Se cunosc H 150 mm, d 160 mm, D 160,2 mm, m 4,5 P (la temperatura de 40 C) si n 3 rot/s.

Rezolvare:

Avand in vedere configuratia geometrica a sistemului mecanic, se efectueaza schimbarea de variabile

Suprafata (S) de contact dintre arbore si pelicula de ulei se caracterizeaza in noul sistem de coordonate prin r d/2, qI p si z I 0, H . Fiecare element de arie

se deplaseaza cu viteza

si este actionat in sens contrar de forta elementara de frecare . In baza relatiilor (10) si (41), expresia acesteia se obtine in modul prezentat mai jos

Fig. 5

In sfarsit, puterea necesara invingerii vascozitatii uleiului din pelicula se determina dupa cum urmeaza

.

P 6-Arborele din fig. 6 se roteste in jurul axei proprii cu turatia n constanta. Intre arbore si lagarul sau radial se afla o pelicula de ulei, care are coeficientul de vascozitate cinematica n si densitatea r. Se cere sa se determine puterea W_fr consumata pentru invingerea vascozitatii uleiului din pelicula. Se cunosc d₁ 80 mm, d₂ 120 mm, D 80,2 mm, H 60 mm, h₁ 0,15 mm, h₂ 0,2 mm, n 4 St, r 0,89 g/cm³ si n 250 rot/min.

Fig. 6

Rezolvare:

Avand in vedere configuratia geometrica a sistemului mecanic din fig. 6, mai intai se efectueaza schimbarea de variabile

.

Fig. 7

Apoi, se observa ca arborele are trei suprafete distincte de contact cu pelicula de ulei din lagar. Prima dintre ele este suprafata (S ) circulara de diametru d In noul sistem de coordonate ea se caracterizeaza prin r I 0, d₁/2 qI p si z 0. Asa cum se arata in fig. 7-a, fiecare element de arie

se deplaseaza cu viteza

si este actionat in sens contrar de forta elementara de frecare . In baza relatiilor (10) si (41), expresia acesteia devine succesiv

Rezulta ca puterea W_fr1 necesara invingerii vascozitatii uleiului din pelicula pe suprafata (S ) se determina dupa cum urmeaza

.

Cea de-a doua suprafata (S ) este o coroana circulara limitata de diametrele d₁ si d₂. Ea se caracterizeaza prin r I d /2, d₂/2 qI p si z H + h₂. Procedand ca mai sus, rezulta ca puterea W_fr2 necesara invingerii vascozitatii uleiului din pelicula pe (S ) se determina astfel

.

In sfarsit, ultima suprafata (S ) este cilindrica. Ea are diametrul d₁, inaltimea H + h₂ si se caracterizeaza conform notatiilor din fig. 7-b prin r d₁/2, qI p si z I 0, H + h₂ . Fiecare element de arie

se deplaseaza cu viteza

si este actionat in sens contrar de forta elementara de frecare . In baza relatiilor (10) si (41), expresia acesteia se obtine in modul prezentat mai jos

.

Puterea necesara invingerii vascozitatii uleiului din pelicula pe suprafata (S ) se determina dupa cum urmeaza

Rezulta ca puterea totala consumata pentru invingerea vascozitatii uleiului din pelicula are valoarea

P 7-Un compresor aspira debitul masic Q_m de aer la presiunea p₁ p_at si temperatura q Acesta este refulat in partea superioara a unui hidrofor, care are volumul V si temperatura q (fig. 8). Se cere sa se determine presiunea p₂ la care ajunge aerul in hidrofor dupa Dt minute de functionare continua a compresorului. Se neglijeaza compresibilitatea apei din hidrofor. Date numerice: Q_m 8 Kg/min, p_at 1,013 bar, V 5 m³, q C, q C, Dt 12 minute si R 287,14 m²/ s² K

Rezolvare:

Ecuatia de stare a gazelor se aplica mai intai starii initiale notata cu 1

si apoi celei finale notata cu 2

.

Mai departe se tine cont de egalitatea evidenta

.

Din relatiile de mai sus rezulta succesiv

Fig. 8