Modele reologice

Modele reologice

1. Modelul fluidului newtonian

Fluidul newtonian este un fluid de ordinul intai a carui ecuatie constitutiva este de forma ecuatiei ( 3.7). Raportata la sistemul de coordonate carteziene plan ecuatia constitutiva are forma:

(3.23)

deoarece in care este viscozitatea dinamica a fluidului newtonian. Sub forma tensoriala ecuatia constitutiva are forma:

(3.24)

2. Modelul fluidelor nenewtoniene

Forma generala a ecuatiei constitutive pentru fluide nenewtoniene incompresibile este de forma:

(3.25)

in care este "viscozitatea" fluidului.

Ecuatia (3.25) nu descrie dezvoltarea si relaxarea eforturilor normale in curgeri de forfecare simple, deoarece se anuleaza instantaneu daca = 0, deci la indepartarea deformatiei. Daca numai componentele de forfecare ale lui sunt nenule , ca in curgerea de forfecare simpla, atunci singurele componente nenule ale lui sunt de asemenea cele de forfecare, deoarece este definita drept o cantitate scalara.

In consecinta, fluidul nu dezvolta eforturi normale intr-0 curgere de forfecare simpla. Din ecuatia (3.7) rezulta:

(3.26)

unde .

Intre invariantul direct al tensorului simetric:

(3.27)

si invariantul compus al tensorului simetric exista relatia: valabila pentru fluide incompresibile.

In locul invariantului se poate utiliza marimea lui :

(3.28)

si deci

(3.29)

Modelul "legea puterii" sau Ostwald de Waele.

Pentru acest model viscozitatea aparenta este data de relatia:

(3.30)

in care este indicele de consistenta cu dimensiunea si este indicele de curgere ( exponentul legii puterii ) adimensional.

Intr-o reprezentare dublu logaritmica respectiv pentru curgerea unidirectionala rezulta o dreapta. Multe fluide prezinta o astfel de comportare cel putin pe o decada de valori a vitezei de deformare prin forfecare, iar pe mai multe decade reprezentarea poate fi o curba.

Variatia viscozitatii aparenta in raport cu viteza de deformare prin forfecare, figura 3.5. prezice o valoare infinita a viscozitatii aparente, pentru fluide pseudoplastice cand viteza de deformare tinde spre zero si o valoare infinita pentru fluide dilatante cand viteza de deformare tinde spre infinit, ceea ce nu corespunde observatiilor experimentale. Aceleasi anomalii se constata la viteze de deformare tinzand spre infinit pentru fluide pseudoplastice si spre zero pentru fluide dilatante, cand viscozitatea aparenta ar trebui sa se anuleze. Deci, ecuatia (3.30) nu descrie extremitatile curbei, viscozitatile respective rezultand prin extrapolare, figura 3.6.

Exemple de fluide pseudoplastice: suspensii de particule asimetrice; solutii ale polimerilor derivati de la celuloza ( hidroxi etil celuloza (HEC), carboxi metil celuloza (CMC) ); ciment; maioneza; suspensii de detergenti.

Cu toate deficientele semnalate, ecuatia este mult utilizata, avand o forma algebrica simpla si continand numai doi parametri ( constante ajustabile ).

Pentru curgerea unidirectionala ecuatia constitutiva a modelului Ostwald de Waele are expresia:

. sau (3.31)

Parametrii modelului Ostwald de Waele nu vor depinde de geometria in care au fost determinati, deci conditia de invarianta la transformarea axelor de coordonate devine acum usor de inteles.

Parametrii modelului Ostwald de Waele pot fi determinati dintr-un set de date experimentale , reprezentand grafic intr-o diagrama dublu logaritmica, functie de .figura 3.4.

Fig.3.4. Determinarea parametrilor modelului Ostwald de Waele

din date experimentale

Prin logaritmarea ecuatiei (3.31) se liniarizeaza:

Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale, si si se calculeaza panta dreptei:

din care rezulta unul din parametrii, indicele de curgere . Celelalt parametru , indicele de consistenta se determina din relatia:

Fig.3.5. Variatia viscozitatii aparente Fig.3.6. Valorile extrapolate ale

functie de viteza de deformare viscozitatii aparente

prin forfecare:

1 - fluid pseudoplastic;

2 - fluid dilatant

Aplicatia 3.1.

Datele masuratorilor reologice pentru o solutie apoasa 1 % guma la sunt prezentate in tabelul . Sa se determine parametrii modelului legii puterii si sa se reprezinte grafic variatia viscozitatii aparente in raport cu viteza de deformare prin forfecare.

Rezolvare:

Fig. 3.7. Variatia efortului de forfecare functie de viteza de deformare prin

forfecare

Fig. 3.8. Diagrama dublu logaritmica, efort de forfecare functie de viteza de

deformare prin forfecare

Parametrii modelului reologic sunt: indicele de curgere: n = 0,598;

indicele de consistenta: m = 0,672

Fig. 3.9. Compararea valorilor efortului de forfecare experimental cu cel

calculat functie de viteza de deformare prin forfecare

Fig.3.10. Variatia viscozitatii aparente functie de viteza de

deformare prin forfecare

Aplicatia 3.2.

Sa se determine parametri modelului Ostwald de Waele pentru urmatoarele date experimentale obtinute la extrudarea polietilenei de inalta presiune la 220 C intr-o capilara:

Rezolvare:

Experimental se pot determina cele doua viscozitati, viscozitatea aparenta la viteza de deformare nula si viscozitatea aparenta la viteza de deformare infinita pentru un fluid pseudoplastic masurand viteza de deformare functie de efortul de forfecare, figura 3.7.

Fig.3.7. Variatia vitezei de deformare functie de efortul

de forfecare pentru un fluid pseudoplastic

Modelele Ellis si Sisko

Modelele empirice cu mai mult de doi parametri permit calculul viscozitatii limita in conditii extreme de forfecare, de exemplu modelul Ellis si modelul Sisko. Modelul Ellis permite estimarea in cazul fluidelor pseudoplastice a viscozitatii limita la eforturi de forfecare mici si in cazul fluidelor dilatante, a viscozitatii limita la eforturi de forfecare mari. Modelul Ellis este valabil numai pentru fluide pseudoplastice si permite calculul viscozitatii limita la eforturi de forfecare mari. Ecuatiile constitutive au urmatoarele expresii:

modelul Ellis (3.32)

modelul Sisko (3.33)

in care:

;

;

;

.

Determinarea parametrilor modelului Ellis se face prin liniarizarea ecuatiei (3.32) care se scrie sub forma:

sau .

In cazul in care se dispune de un set de date experimentale si se reprezinta grafic intr-o diagrama dublu logaritmica se obtine o dreapta. Din panta dreptei se obtine , figura 3.8:

Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale, si si se calculeaza panta dreptei:

iar parametrul rezulta din relatia: .

Fig.3.8. Determinarea parametrilor Ellis din date experimentale

Determinarea parametrilor modelului Sisko se face prin liniarizarea ecuatiei (3.33) care se scrie sub forma:

In cazul in care se dispune de un set de date experimentale si se reprezinta grafic intr-o diagrama dublu logaritmica se obtine o dreapta. Din panta dreptei se obtine indicele de curgere , figura 3.9:

Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale, si si se calculeaza panta dreptei:

iar parametrul rezulta din relatia: .

Fig.3.9. Determinarea parametrilor modelului Sisko din date experimentale

Modelul Bingham

Modelul Bingham are urmatoarea expresie a ecuatiei constitutive:

pentru (3.34)

pentru (3.35)

in care:

reprezinta pragul de curgere.

Pentru curgerea simpla a fluidelor incompresibile , ecuatia constitutiva se scrie sub forma:

(3.36)

Determinarea parametrilor modelului Bingham se face astfel: in cazul in care se dispune de un set de date experimentale si se reprezinta grafic intr-o diagrama obisnuita cu diviziuni echidistante se obtine o dreapta. Din ordonata la origine se determina pragul de curgere iar din panta dreptei se obtine viscozitatea limita , figura 3.10:

Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale, si si se calculeaza panta dreptei:

Fig.3.10. Determinarea parametrilor modelului

Bingham din date experimentale

Exemple de fluide Bingham: suspensii de particule solide; noroaie de foraj; margarina; pasta de hartie.

Aplicatia 3.3.

. O suspensie 54,6 % bentonita cu densitatea r = 1280 kg×m^-3este supusa unor determinari reologice intr-un viscozimetru cu cilindri coaxiali. Se obtin urmatoarele date:

Sa se determine parametrii modelului Bingham ce descrie comportarea reologica a

bentonitei.

Rezolvare:

Aplicatia 3.4.

In tabelul 1 se prezinta datele experimentale pentru ciocolata cu lapte la . Sa se determine parametrii reologici ai modelelor reologice Bingham si Casson ce caracterizeaza pasta de ciocolata cu lapte:

- modelul Bingham

- modelul Casson

Se determina parametrii modelelor reologice pentru trei domenii ale vitezei de deformare prin forfecare: , , .

Rezolvare:

Modelul Bingham:

Modelul Herschel - Bulkley

Acest model descrie compoertarea plastica si vascoasa ( nenewtoniana de tip legea puterii):

(3.37)

in care:

- reprezinta parametrii modelului Herschel - Bulkley.

Modelul Prandtl - Eyring

Ecuatia constitutiva are expresia:

(3.38)

in care:

reprezinta parametrii modelului.

Pentru liniarizarea ecuatiei (3.38) se imparte prin si se aplica functia :

sau .

Pentru valori mari ale efortului de forfecare: rezulta si se obtine din ecuatia anterioara:

Se logaritmeaza in baza logaritm zecimal, si se obtine:

sau .

Reprezentand grafic intr-o diagrama semilogaritmica se obtine o dreapta pentru valori mari ale efortului de forfecare, figura 3.11.

Fig.3.11. Determinarea parametrilor modelului Prandtl - Eyring

din date experimentale

Se considera doua puncte pe dreapta ce aproximeaza cel mai bine datele experimentale, si si se calculeaza panta dreptei:

din care rezulta parametrul A.

Celalalt parametru se obtine din relatia: .