SOLID SUPUS LA LEGATURI CU FRECARE

O scara omogena AB de lungime 2l si greutate P este rezemata pe sol si pe un perete vertical La distanta d de extremitatea B se afla un om de greutate G. Coeficientul de frecare intre scara si sol este m , iar cel intre scara si perete este m (fig.1).

la care se adauga doua conditii de frecare exprimate la limita de echilibru. Rezolvand sistemul de ecuatii rezulta:

Din ecuatia de echilibru a momentelor obtinem expresia

,

care, in cazul unei scari de greutate neglijabila, devine independenta de greutatea G a omului

.

. Bara AB, sprijinita cu frecare pe un plan orizontal, este mentinuta in echilibru cu ajutorul unei contragreutati P.(fig.2). Cunoscand coeficientul de frecare m, unghiul b de inclinare a firului, sa se determine greutatea Q si unghiul a la echilibru.

Fig.2

R. Ecuatiile de echilibru in raport cu sistemul xAy sunt

Pentru ca bara sa nu alunece pe plan este necesara conditia . Din primele doua ecuatii se obtin fortele si valorile greutatii Q la echilibru

.

Din ecuatia de momente obtinem pozitiile posibile de echilibru

.

Acestor valori ale unghiului a vor corespunde urmatoarele forte de legatura

.

Un paralelipiped    omogen ABCD de greutate G, se sprijina cu fata AB pe un plan orizontal. La distanta AE = a pe fata AD actioneaza o forta variabila P (fig.3). Cunoscand coeficientul de frecarem, sa se studieze echilibrul paralelipipedului in functie de P.

R. Se scriu trei ecuatii de echilibru

din care deducem

Daca , blocul nu aluneca si nu se rostogoleste atunci cand; pierderea echilibrului are loc prin alunecare pentru .

Daca , paralelipipedul nu aluneca si nu se rostogoleste pentru ; iesirea din repaus se produce prin alunecare si prin rostogolire in jurul punctului B.

O bara AB = l de greutate G se sprijina pe doua suprafete perpendiculare. Bara este actionata in B de o contragreutate P (fig.4). Cunoscand: greutatea G, unghiul de inclinare a si coeficientul de frecare la alunecare m., sa se determine forta de frecare, reactiunile in A, B si limitele greutatii P ca bara sa ramana in echilibru.

R. Ecuatiile de echilibru sunt

din care rezulta

Fig.4

Capatul A al barei are tendinta de a aluneca spre dreapta pentru valori mari ale greutatii P. Daca P ia valori mici atunci apare posibilitatea alunecarii in sens opus. Din conditiile de echilibru cu frecare rezulta

.

Un disc de raza R si de greutate G este mentinut in echilibru pe un plan inclinat cu ajutorul unui fir paralel cu planul (fig.5). Cunoscand coeficientii de frecare de alunecare m si de rostogolire s, sa se studieze echilibrul discului in functie de greutatea P.

Fig.5

R. Asupra discului actioneaza fortele exterioare G, P reactiunea N, forta de frecare de alunecare T si cuplul de frecare de rostogolire M_r, reprezentate in ipoteza ca tendinta de alunecare si de rostogolire sunt amandoua in sus. Ecuatiile scalare de echilibru sunt

Ca sa nu apara alunecarea in sus sau in jos sunt necesare conditiile , din care rezulta , iar pentru a evita rostogolirea in ambele sensuri trebuie scrise noi conditii , care conduc la

.

Sa se studieze echilibrul unei roti de raza r si greutate G, situata pe un plan inclinat sub unghiul a fata de orizontala, careia i se aplica un cuplu motor de moment M₀. In centrul rotii actioneaza forta de rezistenta la inaintare F. Coeficientul de frecare la alunecare este m iar coeficientul de frecare la rostogolire este s (fig.6).

Fig.6

R. In raport cu sistemul de axe, ecuatiile de echilibru sunt

din care rezulta , , .

Deoarece forta de frecare are in permanenta acelasi sens, conditia de echilibru cu frecare la alunecare este , de unde rezulta .

Pentru a inlatura posibilitatea rostogolirii rotii in ambele sensuri, vom scrie conditiile

, care conduc la rezultatul

.

Un disc de raza R si greutate G este mentinut in echilibru pe un plan inclinat cu unghiul a cu ajutorul unui fir care este paralel cu planul si sustine o contragreutate P (fig.7).    Cunoscand coeficientii de frecare de alunecare si de rostogolire s sa se determine:

fortele de legatura;

limitele greutatii P pentru asigurarea echilibrului la

a)      alunecare;    b) rostogolire.

R. In ipoteza ca tendintele de alunecare si de rostogolire sunt orientate in sus, asupra discului actioneaza fortelesi, la care se adauga in punctul de contact A reactiunea normala , forta de frecare si momentul de frecare de rostogolire .

In raport cu reperul Axy, ecuatiile de echilibru sunt

Fig.7

Ca sa nu apara alunecarea si rostogolirea in ambele sensuri vom scrie conditiile urmatoare

, .

Introducand, mai intai se obtin limitele fortei P pentru ca discul sa nu alunece

,

iar apoi conditia ca discul sa nu se rostogoleasca

.

Un troliu este constituit din doua roti coaxiale de raze r si R. Pe roti sunt infasurate doua fire la capetele carora se afla greutatile P si Q (fig.8). Cunoscand coeficientul de frecare in lagarsi raza axului troliului r , sa se determine raportul celor doua greutati la echilibru. Greutatea troliului este considerata neglijabila.

Rezolvand sistemul de ecuatii obtinem

.

O bara cotita ABC de greutate 3G si dimensiuni AB = 2l si BC = l este articulata in A. In B actioneaza forta P pe directia CB iar in C o alta forta orizontala Q. Cunoscand unghiul a, raza r a articulatiei si coeficientul de frecaredin articulatie, sa se determine relatia intre P, Q si G (fig.9).

R. Fiind o articulatie sferica, torsorul fortelor de legatura este format din forta rezultanta (X, Y, Z) si momentul de frecare . Ecuatiile generale de echilibru sunt:

din care rezulta

Fig.9

Inlocuind reactiunea si momentul de frecare din lagar

in conditia de frecare , se obtine relatia intre fortele P, Q si G::

Pe un plan orizontal se afla o bara de lungime l si greutate G. Sa se determine cuplul motor minim necesar rotirii barei in jurul centrului sau de greutate, cunoscand coeficientul de frecare la alunecare m (fig.10).

Fig.10

R. Presupunand o distributie constanta de presiuni, reactiunea normala pe suprafata elementara dA =1. dx este , iar forta de frecare de alunecare maxima, corespunza-toare cuplului motor minim, se scrie .

Momentul fortei de frecare in raport cu axa de pivotare este .

Integrand aceasta ecuatie, rezulta momentul minim necesar rotirii barei, care va fi egal cu momentul maxim de frecare de pivotare:

.