Ecuatia piezometrica

Ecuatia piezometrica

Pornim de la ecuatia de miscare pentru un fluid ideal

Ipoteze     - fluid oarecare

- fluid in miscare nepermanenta

se deduce formula Euler a ecuatiei de miscare (pentru fluid ideal)

In repaus, intre fluidul real si fluidul ideal nu este nicio deosebire, adica repausul fluidelor reale si ideale este guvernat de aceleasi legi (respectiv ecuatii).

Conditia necesara si suficienta ca ecuatia de miscare Euler sa fie aplicabia repausului (pentru intregul interval) este ca forta masica unitara sa derive dintr-un potential [se poate demonstra necesitatea si suficienta].

Deocamdata, daca (si implicit acceleratia este nula)

inmultim scalar egalitatea cu

iar conform conditiei

deci

se numeste functie de presiune.

Deci repausul fluid se mai poate exprima prin constanta sumei dintre potentialul fortei masice U si functia de viteza P.

Problema integrarii acestei ecuatii este conditionata de cunoasterea dependentei dintre densitate si presiune, dar daca ne rezumam la fluide incompresibile (lichide)

unde

Ecuatia devine

In camp gravitational potentialul fortei masice devine o functie cunoscuta conform rationamentului de mai jos

Deci nu exista decat proiectia dupa Oz ( si forta masica gravitationala este independenta de x,y)

Determinam constanta prin conditii la limita (puncte ale fluidului in repaus de coordonate cunoscute, cu parametrii de stare cunoscuti)

O problema de piezometrie, oricat ar fi de lung lantul piezometric, se rezolva usor, respectand trei etape:

1. se alege un nivel de referinta unic (z=0)

2. se parcurge traseul piezometric intr-un singur sens, identificand suprafetele de separatie intalnite

3. se aplica ecuatia piezometrica intre doua suprafete de separatie consecutive, parcurgand traseul piezometric in acelasi sens.

Problema II-2

In figura alaturata, toate fluidele sunt la aceeasi temperatura t=20°C . Determinati

diferenta de presiune intre A si D.

z₁=0 nivel de referinta

____________________

Problema II-3

Intr-un tub in forma de U, peste glicerina se toarna apa, inaltimile coloanelor adaugate fiind h=20 cm, H₂=44 cm

Sa se determine denivelarile Δh si ΔH (prin calcul)

Problema II-4

Sa se determine presiunea relativa a gazului din rezervorul la care este atasat un micromanometru cu brat inclinat cu alcool, daca deplasarea citita pe bratul inclinat este L=200 mm.

Se cunosc :    - inclinarea tubului α=45°

- diametrul rezervorului micromanometrului D=25 mm

- diametrul interior al tubului inclinat d=5 mm

- densitatea alcoolului.

Care este eroarea absoluta si relativa daca se neglijeaza Δh, iar L are valoarea maxima posibila L=200  mm ?

Neracordat la rezervorul R, conform principiului vaselor comunicante nivelul in rezervorul micromanometrului si in brat este acelasi (nivel 0) dupa racordare daca p_R>p_at nivelul in brat creste in 2.

Deci, suprapresiunea in rezervorul R este p_R=p_at+ρ_alcool gh

din principiul conservarii masei

In consecinta, daca se neglijeaza Δh si L=200 mm (lungimea bratului), eroarea absoluta ε_abs este

eroarea relativa ε_rel (procentual)

Problema II-5

Un recipient cu gaz rarefiat se conecteaza la un manometru cu rezervor. Manometrul contine mercur si apa, iar indicatia sa este Δh=80 mm. Raportul sectiunilor tubului si al rezervorului este A _tub /A_rez=1/144

Cunoscand greutatile specifice ale mercurului si ale apei

sa se calculeze presiunea gazului din rezervor

egalitatea presiunilor la nivelul A-A ofera egalitatea   

1 atm - o atmosfera fizica

p_at= 1atm=

Problema II-6

Un micromanometru este format din doua vase cilindrice de diametrul D, unite printr-un tub in forma de U de diametrul d. In ele se toarna doua lichide imiscibile de greutati specifice apropiate γ₁ si γ₂.

Sa se exprime diferenta de presiune Δp in functie de deplasarea x a suprafetei de separatie a celor doua lichide.

Se scriu ecuatiile de echilibru in cele

doua situatii   

conservarea masei

Partea a II-a

Forte hidrostatice pe suprafete plane (conexiune curs)

unde e este excentricitatea de actiune a fortei hidrostatice in raport cu G (centrul de greutate).

Problema II-7

Recipientul din figura este prevazut cu o gura de vizitare a carei inchidere este asigurata de un capac plan de forma patrata cu latura a.

Sa se determine forta de presiune pe capac precum si punctul de aplicatie al acesteia cunoscand :

a=1 m ; H= 4 m ; p₀= 1,5 bari (sc.abs);ρ=1000 kg/m³;θ=45°;p_at=1 bar (sc.abs)

Etapele de abordare a problemei sunt:

1. se stabileste planul manometric;
2. se ataseaza un sistem de axe ;
3. se face calculul modulului fortei de presiune si al pozitiei punctului de aplicatie.

Prin ecuatia piezometrica se stabileste pozitia planului PM (PS) h_m (tubul piezometric este virtual)

Pentru stabilirea punctului de aplicatie lucram in planul xOy (inclinat)

m

Problema II-8

Pentru datele geometrice din figura

Sa se determine forta de presiune pe capac, atunci cand p₀<p_at adica perna de gaz din rezervor se gaseste in depresiune.

p₀=0,8 bari (sc.abs)

Pentru ce valoare a presiunii din perna de gaz, forta de presiune pe capac se anuleaza (schimba de sens)

Dupa cum rezulta din reprezentarea grafica, de data asta nivelul in tubul piezometric coboara sub cel al suprafetei libere din rezervor si numim aceasta cota h_vav - cota vacuumetrica.

Analog se stabileste modulul fortei de presiune

Calculul pozitiei centrului de presiune il facem determinand excentricitatea ei.

Analiza fortei de presiune pe capac

dar

[discutia rezultatului]

Problema II-9

O conducta pentru colectarea apelor uzate cu diametrul D=200 mm patrunde intr-un rezervor deschis, in care nivelul liber al apei se afla la h = 1m deasupra axei conductei. Conducta este inchisa la un capat cu o clapeta eliptica articulata in 0 si inclinata cu unghiul θ=60° fata de orizontala.

Sa se determine inaltimea H a apei din conducta la care clapeta se deschide (in ipoteza neglijarii frecarilor in articulatie).

_apa=1000 kg/m³, greutatea clapetei G=100 N

Conditia mecanica (pentru deschiderea clapetei)

pozitiile centrelor de presiune

constructia lui

si ecuatia de moment devine

Bibliografie

Iamandi, Constantin ; Petrescu, Virgil; Sandu, Lucian; Damian, Radu Mircea; Anton, Anton ; Degeratu, Mircea - Hidraulica instalatiilor. Elemente de calcul si aplicatii, Editura Tehnica, Bucuresti, 1985

ANCUSA, Victor - Culegere de probleme de Mecanica Fluidelor si Masini Hidraulice, editia a II-a, revizuita si completata, Universitatea Tehnica, Timisoara, 1993.

GILES, Ranald - Theory and Problems of Fluid Mechanics and Hydraulics, 2^nd edition, Schaum´s Outline Series, McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1983

FLOREA, Julieta; ZIDARU Gheorghe; PANAITESCU, Valeriu, - Mecanica Fluidelor - Probleme, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976.

TODICESCU, Alexandru; BENCHE, Victor; TURZO, Gabriel; CRACIUN, O. M.; IVANOIU Mircea; UNGUREANU, Virgil- Barbu, FILIP, Natalia - Mecanica Fluidelor si Masini Hidropneumatice - Culegere de probleme,Universitatea din Brasov, 1989

FLOREA, Julieta; SETEANU, Ion; ZIDARU, Gheorghe; PANAITESCU, Valeriu - Mecanica Fluidelor si Masini Hidropneumatice - Probleme , Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982

BACIU, I.D. ; IOSIF, Anton; ANTON, Liviu; BORDEASU, Ilarie; VELESCU, C.; DUMITRAS, C. - Culegere de probleme. Mecanica Fluidelor si Masini Hidraulice, Universitatea Tehnica Timisoara, Facultatea de Mecanica, Catedra de Masini Hidraulice, Timisoara 1993