Centre de greutate

Centre de greutate

Definitie

Dreapta determinata de un varf al unui tetraedru si centrul de greutate al fetei opuse acelui varf se numeste mediana a tetraedrului. Un tetraedru are patru mediane.

Teorema 19

Medianele unui tetraedru [ABCD] sunt concurente.

Demonstratie

Medianele tetraedrului care pleaca din
D si A sunt secante in G, deoarece in ∆ ADM ,

(M mijlocul lui (BC)), G_A I (DM), G_D I (AM).,

iar AM si DM sunt mediane in triunghiurile [DBC] si [ABC],

iar G_A si G_D sunt centre de greutate ale acelorasi triunghiuri.

Deoarece T G_AG_D // DA.

Din asemanarea triunghiurilor [MG_DG_A] si [MDA] se deduce ca G_AG_D=1/3 AD.Medianele DG_D si AG_A fiind continute in planul (AMD) se intalnesc intr-un punct G. Rezulta ca triunghiurile [GG_AG_D] si [GAD] sunt asemenea, de unde AG=3GG_A si DG=3 GG_D, deci punctul G este situat pe fiecare mediana la ¾ din lungimea ei de la varf sau ¼ de la piciorul medianei.

La fel se arata ca medianele din B si C intersecteaza mediana din D la ¾ din DG_D, adica trec tot prin G. Punctul G astfel determinat se numeste centrul de greutate al tetraedrului.

Definitie

Planul care trece printr-o muchie a tetraedrului si prin mijlocul muchiei opuse se numeste plan median.

Teorema 20

Cele sase plane mediane ale unui tetraedru sunt concurente.

Demonstratie

Se tine seama de teorema 19 si rezulta ca planul median (ADM) trece prin G. Analog se arata ca toate planele mediane ale tetraedrului trec prin G.

Teorema 21

Centrul de greutate G₀ al unui sistem alcatuit din patru mase punctiforme egale, plasate in punctele necoplanare A,B,C,D coincide cu centrul de greutate G al tetraedrului [ABCD].

Demonstratie

Punctele materiale B,C dau ca rezultanta un punct material M de masa dubla, plasat in mijlocul lui BC. Deci G₀ se afla in planul (ABM). Analog se constata apartenenta lui G₀ la celelalte plane mediane, deci G₀ coincide cu punctul G.

Teorema 22

Fie tetraedrul [ABCD] si punctele M I (AD) , N I (BD), P I (BD). Planul (MNP) trece prin centrul de greutate al tetraedrului G daca si numai daca : (

Demonstratie

Fie K centrul de greutate al ∆ ABC.

Necesitatea : Daca (MNP) // (ABC) atunci :

si rezulta imediat formula enuntata (

Daca planul (MNP) taie planul (ABC)

dupa o dreapta d, fie E,F,H punctele in

care d taie dreptele GN,GP,GM.

Aplicand succesiv teorema lui Menelaus pentru triunghiurile [DAK],[DBK],[DCK] taiate de transversalele M,G,H, respectiv G,P,F si G,N,E se deduc relatiile (1), (2), si (3) .

∆ DAK si transversala M,G,H T , de unde .

Deci: (1);

∆ DBK si transversala G,P,F T , de unde T

(2);

∆ DCK si transversala G,N,E. Rezulta : , de unde . Deci:

(3).

Adunand membru cu mebru egalitatile (1), (2) si (3) se obtine :

Dar,

Notam cu : Vom arata ca S₁ =3.

Daca BC // d, atunci , unde L = AK ∩BC.

Daca BC taie d in I, din teorema lui Menelaus aplicata triunghiurilor [CLK] ,

BLK] taiate respectiv de transversalele H,E,T si F,H,T.

∆ CLK si transversala H,E,T:

de unde . Deci :

    (4),

∆ BLK si transversala F,H,T:

, (5).

Adunand (4) si (5) obtinem:

. Dar BL=CL si TC+TB = TL+LC+TB = TL+(BL+TB) = 2TL.

Deci:

, de unde rezulta ca:

Suficienta: Fie R punctul in care DK taie planul (MNP) . Daca (MNP) // (ABC) se obtine :

.

Din se obtine: , dar, , de unde rezulta ca G = R.

Daca (MNP) taie (ABC) dupa o dreapta, pastrand notatiile de la prima parte a demonstratiei, cu singura modificare ca in loc de G apare R, se obtine relatia :

S-a demonstrat in prima parte (fara a tine seama de pozitia lui R pe DK) ca :

si deci se obtine acum: RD= 3RK si rezulta din nou R=G.

Ipoteza suplimentara din cadrul suficientei ca planul (MNP) nu este paralel medianei DK nu este restrictiva: in calculele de mai sus ar fi atras formal , deci S=S₁, absurd.

Observatie Teorema 22 poate fi considerata ca generalizare a urmatoarei probleme din plan.

Fie ∆ ABC, G centrul sau de greutate si

punctele M IAB, N IAC.

Dreapta MN trece prin G daca si numai daca :