FUNCTIA EXPONENTIALA

Definitie: se numeste functie exponentiala;

0 < a < 1 y a > 1 y

1 1

x' x x' x

y' y'

Proprietati:

1. a^x > 0

< a <1 functia este monotona strict descrescatoare a^x1< a^x2 x₁ < x₂;

a>1 functia este monotona strict crescatoare a^x1< a^x2 x₁ > x₂;

3. functia este bijectiva a^x1= a^x2 x₁ = x₂;

Fie a > 0, b > 0,

8.

9.

7.a⁰=1    11. n2, nN.

12.Functia exponentiala este functie continua pe R;

13.Functia exponentiala este functie derivabila pe R;

14.Functia exponentiala admite primitive

C   

15.y=a^x

Functia exponentiala este inversabila; inversa se numeste functia logaritmica.

Definitie: A=a^x, A>0, a>0, a1.

FUNCTIA LOGARITMICA

Definitie: , a>0, a1, se numeste functie logaritmica.

y y

0<a<1 a>1

x' 1 x x' 1 x

y' y'

x 0 1 + x 0 1 +

+ + + + 0 - - - - - - - - 0 + + + +

2) 0 < a < 1 functia este strict descrescatoare < x₁ > x₂

a > 1 functia este strict crescatoare <x₁ < x₂

3) Functia este bijectiva x₁ = x₂

Fie A si B doua numere pozitive

11) b>0, b1;

12)

13)

14)

15)Functia logaritmica este functie continua pe domeniul de definitie

16)Functia logaritmica este functie derivabila

17)Functia logaritmica admite primitive

18)Functia logaritmica este inversabila si inversa sa este functia exponentiala;

ECUATII EXPONENTIALE SI ECUATII LOGARITMICE

I Ecuatia exponentiala este ecuatia in care necunoscuta este la exponent sau o ecuatie care este exponent o expresie care contine necunoscuta.

1)Ecuatii de forma cand b se poate exprima ca putere a lui a:

are solutia x;

2)Ecuatii de forma cand b nu se poate exprima ca putere a lui a:

2^x=3  lg 2^x=lg 3  x lg2 = lg 3 solutia este

3)Ecuatii exponentiale in care facand substitutii, obtinem ecuatii cunoscute de grad I sau II sau etc.

a)    4^x + 2^x = 272; notam 2^x = y; y > 0;  y² + y - 272 = 0; cu y₁=16; y₂ = - 17; cum y > 0 deci 2^x = 16  2^x = 2⁴  x = 4;

b)    C.E. x² - 25  0; ; notam ; t > 0; ecuatia devine t² - 6t + 8 = 0; t₁ = 4,t₂ = 2;

Deci

Deci C.E.x

X²-5=x²-4x+4; x=9/4 , deci este solutie.

x=3 este solutie

Solutia ecuatiei este

c) C.E x

Notam 5^x=t > 0 ecuatia devine t  1  t₁=3 si t₂=5/4

Revenind la notatii avem 5^x=3 

5^x=5/4  sau

4)Exercitii propuse:

Sa se rezolve ecuatiile:

4^x - 2 ^x+1 - 3 = 0;

2^x+1 + 2^x + 2^x-1 = 14;

4^x + 2^x+1 = 80;

3  4^x + 2  9^x = 5  6^x;

2^4x  2

2^1+x + 2^1+2x = 4;

II Ecuatiile logaritmice sunt ecuatiile in care expresiile ce contin necunoscuta apar la baza sau ca argument al unor logaritmi.

a) C.E.

Exemplu:C.E.

x=2 este solutia ecuatiei date pentru care sunt indeplinite conditiile de existenta

b)  (x)=g(x) cu C.E.

Exemplu:

C.E.

Tinand seama de injectivitatea functiei logaritmice ecuatia data devine:

3x² - 5x - 3 = 4x - 3 3x² - 9x = 0  x₁=0 x₂=3.Unica solutie a ecuatiei este

x=3

c)ecuatii care in baza proprietatilor logaritmilor se ajunge la ecuatii de forma precedenta;

Exemplu:

C.Ex>1. prin urmare . Egalitatea nu are sens  ecuatia data nu are solutie.

d)ecuatii logaritmice care facand substitutii se ajunge la ecuatii

algebrice de grad intai,doi,etc.

Exemplu: C.E.x > 0;Observam

Notam si ecuatia devine 4t² - 7t = 0t₁=0 si t₂=7/4

}i din x=1 / 5 respectiv x=

Exercitii propuse:

Sa se rezolve ecuatiile:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

INECUATII LOGARITMICE SI EXPONENTIALE

Rezolvarea unor astfel de inecuatii se bazeaza pe proprietatile de monotonie ale functiilor exponentiale si logaritmice

1) 2^2x - 5  2^x + 4  0;Notam 2^x = y y² - 5y + 4  0  y1,4 1  y  4 

2⁰  2^x  2²  0  x  2  x0,2

C.E. x²+2x <1

Deci

C.E.x>0

Scriem

Notamecuatia devine 1  x  9 solutia inecuatiei date.

Exercitii propuse:

Sa se rezolve inecuatiile