Clasa a V-a

1. a) Fie numarul 1234567891011121314 . 200520062007. Sa se suprime 100 de cifre astfel incat numarul ramas sa fie cel mai mare posibil. b) Sa se determine cel mai mic numar natural de forma , k 1, care verifica relatia: .

Pentru rezolvarea temei de vacanta, bunica ii da Anei cate o surpriza Barbie imediat ce termina de rezolvat o noua problema. Ana constata de fiecare data ca, adunand cifrele numarului de surprize primite pana atunci, cu cifrele numarului de probleme care i-au ramas de rezolvat, obtine 11. Cate surprize Barbie va avea Ana la terminarea temei?

In figura alaturata avem un sistem de drumuri care leaga localitatile A, B, C, D, E, F, G. Fiecare drum existent intre doua localitati vecine are lungimea un numar intreg de kilometri. O localitate se numeste "Nod impar" daca suma lungimilor drumurilor care pleaca din ea este un numar impar de kilometri. Sa se arate ca localitatile nu pot fi toate "noduri impare".

(Concursul ,, Florica Campan

4. a) Aratati ca numarul A = 1+2¹+2²+2³+ . +2²⁰⁰⁷ este divizibil cu 15. (Dumitru Aurel) b) La un concurs de matematica au participat elevi din clasele a V-a A, a V-a B si a V-a C. 27 de elevi nu sunt din clasa a V-a C, iar 39 de elevi nu sunt din clasa a V-a A. Numarul elevilor din clasa a V-a A este de doua ori mai mic decat numarul elevilor din clasa a V-a C. Cati elevi au participat din fiecare clasa?

Se considera sirul de numere naturale: 1, 3, 7, 15, 31, 63, . . a) Observand o regula de formare a termenilor acestui sir, aflati urmatorii doi termeni ai sirului; b) Daca p este termenul de pe locul 2008, demonstrati ca p+1 este patrat perfect, iar p 2²⁰⁰⁷ nu este patrat perfect. (Lungu Ioan)

Sa se determine numerele de forma stiind ca: +11(a+b+c) = .

(O.L.M. Vaslui,2007)

a) Aflati numarul xIN din egalitatea: 2⁰+2¹+2² 2007². b) Se da numarul: A = +2 . Aratati ca A2007.

(Mihai Pirvu si Stela Turcu)

In laboratorul de informatica sunt 7 monitoare si 4 imprimante care costa la un loc 1396 lei. Pentru completarea laboratorului mai sunt necesare 4 monitoare si 7 imprimante, care vor costa 1387 lei. a) Cat costa impreuna 11 monitoare si 11 imprimante? b) Cat costa un monitor? Cat costa o imprimanta? c) Cu 2655 lei se pot cumpara 21 de monitoare si imprimante la un loc. Aflati numarul de obiecte de fiecare fel. (Adrian Osman)

Aflati numarul natural a, stiind ca impartind numarul 2111 la numarul (a²+a) se obtine catul 15 si restul maxim. (Nicolae Jurubita)

Fie A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, . , submultimi ale multimii numerelor naturale astfel incat: A₁ = ; A₂ = ; A₃ = ; A₄ = ; a) Determinati cardinalul fiecareia dintre multimile: A₁, A₂, A₃, A₄. b) Determinati A₅. c) Calculati suma cardinalelor multimilor: A₁, A₂, A₃, . , A₁₀₃. d) Determinati primul element al multimii A₄₄ si justificati daca 2007IA₄₄. (Marian Sisu) Subiecte selectate de Ecaterina Fratila, Adrian Osman, Stela Turcu, Mihai Pirvu si Ecaterina Botan.

(O.L.M. Constanta,2007)

Clasa a VI-a

1. Aflati numarul stiind ca are loc egalitatea: .

2. a) Aratati ca: , nIN*. b) Demonstrati inegalitatea: . c) Daca sunt direct proportionale cu si a_n a_n = (n 1)(n+2), atunci si . (Mircea Berca)

Unghiurile in jurul unui punct O, AOB, BOC, COA, au respectiv bisectoarele [OX, [OY, [OZ, iar sunt direct proportionale cu 5, 6, 7. Aflati: a) masurile unghiurilor AOB, BOC, COA; b) masura unghiului format de bisectoarele unghiurilor BOX si COZ.

(O.L.M. Vaslui,2007)

4. a) Daca a b = 55, atunci B = 3⁴⁺⁴ 125ⁿ a 81ⁿ 5³ⁿ b (3ⁿ 5³ⁿ⁺¹ a se divide cu 11. b) Aflati numerele naturale de forma , stiind ca impartite la 7 dau catul si restul a.

Se considera multimile: A = si B = . a) Calculati suma elementelor multimii A si suma elementelor multimii B. b) Justificati ca prin eliminarea unui singur element din multimea A sau din multimea B, suma elementelor ramase in multimea A nu este egala cu suma elementelor ramase in multimea B. (Ecaterina Fratila)

a) Fie punctele A, B, C, D coliniare, in aceasta ordine, astfel incat: AB+2BC+3CD = 2AD. Aratati ca AB = CD. b) Se dau punctele A₁, A₂, A₃, , A₁₀, distincte doua cate doua. Determinati numarul minim si numarul maxim de drepte determinate de aceste puncte.

Unghiul COD este interior unghiului AOB. Stiind ca unghiurile AOB si COD sunt suplementare si m( AOB) = 2 m( COD), calculati masura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC si BOD. Subiecte selectate de Ecaterina Fratila, Adrian Osman, Stela Turcu, Mihai Pirvu si Ecaterina Botan.

(O.L.M. Constanta,2007)

Clasa a VII-a

Fie: , . a Scrieti douǎ elemente din A si douǎ elemente din B. b) Determinati cardinalul multimii A B.

2. a) Fie . Arǎtati cǎ 2007 < < 2008. b) Se dau numerele pozitive , astfel incat Notǎm cu Arǎtati cǎ 2 < S < 3. (Vasile Berghea)

Fie DABC oarecare in care MN BC, MI[AB], NI[AC], si RI[MN]. Construim PR AB si RQ AC, unde PI[BC], QI[BC]. a) Aratati ca, dreptele MP, AR si NQ sunt concurente intr-un punct O. b) Stabiliti pozitia lui O in functie de cazurile: BC > 2 MN si BC < 2 MN.

c) Analizati problema in cazul Cum sunt dreptele MP, AR si NQ in aceastǎ situatie? (Teodor Mǎrcut)

Se dǎ trapezul ABCD in care AB CD, AD = CD = BC, , M este mijlocul lui [AB] si AC BD = . a) Arǎtati cǎ BMDC este romb. b) Aflati raportul dintre ariile patrulaterelor BMOC si ABCD. (Simona Dumitrescu)

(O.L.M Sibiu,2007)

5) a) Fie . Sa se determine valorile lui x astfel incat AIN. b) Daca x,yIQ* si , atunci x+y = 0. 2) Daca , sa se arate ca: . (Baciu Nicolae)

6) a) Fie a,bIR. Aratati ca daca , atunci . b) Daca a,bIR*₊ astfel incat 9a+10b = 450, atunci . (Baciu Nicolae) 2) Aflati a,bIQ astfel incat: . (Varga Eva)

Fie ABCD un patrat cu latura de lungime a. De aceeasi parte a planului patratului se ridica perpendiculare in A si D pe planul patratului, pe care se considera punctele M si N astfel incat AM = 2a si DN = a. a) Aratati ca: sin30 sin60 . b) Determinati d(B;(ACN)). (Bud Adrian)

In trapezul ABCD (AB||CD); AD = DC = CB = 6 cm si AB = 12 cm. Daca AC BD = , MO (ABC) si MO = 6 cm, sa se calculeze: a) raportul ariilor triunghiurilor DOC si AOB; b) distanta de la punctul M la dreptele AB si AD; c) distanta de la punctul A la planul (MDB). (Varga Andrei)

(O.L.M. Satu Mare,2007)

Clasa a VIII-a

Consideram 9 puncte dispuse ca in figura alaturata. O furnica pleaca din A si ajunge in B trecand prin fiecare punct o singura data, pe un drum fara autointersectie si mergand pe laturile sau diagonalele "patratelor mici" care se pot forma cu punctele din retea. Daca lungimea laturii "patratului mic" este 1, aratati ca lungimea minima a drumului strabatut de furnica este 8 si cea maxima este . (Gheorghe Iurea)

Fie piramida triunghiulara VABC astfel incat AV BV, BV CV, CV AV si care are produsul oricaror doua muchii opuse egal cu P. Asociem fiecarei muchii a piramidei cea mai mica dintre ariile triunghiurilor care au drept baza muchia respectiva si varful pe muchia opusa a piramidei. a) Demonstrati ca V este egal departat de muchiile bazei ABC. b) Daca suma muchiilor piramidei este S si distanta de la V la una dintre muchiile bazei este d, calculati in functie de S si d suma celor sase arii asociate muchiilor piramidei. (Julieta Grigoras)

Fie . a) Determinati numarul de elemente rationale din multimea A. b) Determinati numarul elementelor multimii A. Justificati raspunsul dat. (Claudiu Popa)

(Concursul ,, Florica Campan

Fie triunghiul ABC cu AC = 15 cm, AB = 6 cm. Pe latura [AC] se ia punctul D astfel incat AD = BD = 5 cm, iar pe perpendiculara in D pe planul triunghiului se ia punctul P astfel incat PD = 3 cm. Bisectoarea unghiului BDC intersecteaza BC in punctul E. Sa se calculeze distantele PE si BC.

Demonstrati ca: , nIN*

Fie nIN Aratati ca numarul a = 3n⁴+6n³+3n²+2 se poate scrie ca suma patratelor a trei numere intregi consecutive.

Fie multimile: A = si B = Aratati ca suma elementelor numere intregi ale multimilor A si B este un numar prim. (Florica si Vasile Ginta)

(O.L.M. Mures, 2007)

Subiecte clasa a V - a

La problemele 1 - 8 rezolvati si alegeti varianta corecta.

Cel mai mare numar natural cu care se poate simplifica numarul .este :

a) 32; b) 44; c) 49; d) 61; e) 73.

Daca x, y N si 4x + 5y = 70, valoarea maxima a sumei x + y este :

a) 5; b) 8; c) 12; d) 17 ; e) 23.

Stiind ca numarul natural "n" da la impartirea prin 27 restul 12, iar impartit la 49 da restul 14,

atunci restul impartirii numarului "n" la 21 este :

a) 11; b) 8; c) 0; d) 17; e) 1.

Care este numarul divizorilor al mediei aritmetice a primelor 2007 numere naturale impare?

a) 2007; b) 9; c) 223; d) 3; e) 6.

Suma cifrelor numarului 2²⁰⁰⁶ ∙5²⁰⁰⁷ - 2007 este :

a) 18036; b) 18042; c) 18050; d) 19001; e) 18057.

Cel mai mare numar natural n cu propietatea ca : este :

a) 497; b) 499; c) 500; d) 503; e) 496.

Stabiliti daca fractia : este :

a) subunitara; b) echiunitara; c) supraunitara; d) simplificabila prin 7; e) simplificabila prin 25.

Fie multimile : A=

B= .

Daca notam cu "a" numarul elementelor multimii A si cu "b" numarul elementelor multimii B, atunci are loc relatia :

a) a > b;    b) a = b; c) a < b ; d) 2a = b; e) 2b = a.

Rezolvati integral pe foaia de concurs:

Determinati cifrele a, b, c ale sistemului zecimal si numerele naturale n si p stiind ca ,

, iar , sunt simultan multiplii de 9.

Se considera numerele :

a = 1 ² + 3 ² + 5 ² + ^{. . .}+2007 ²

b = 2007 ∙2006 + 2005 ∙ 2004 + . .+ 3 ∙ 2.

Sa se arate ca numai unul dintre numerele a + b si a - b este patrat perfect.

Subiecte pentru clasa a VI-a

PARTEA I

1. Numarul natural x solutie a ecuatiei : 11x² = 1+2-3+4+5-6+7+8-9 + . . . +97+98-99 este :

a)24 b)96 c)18 d)12 e)36

. Valoarea naturala a lui n pentru care egalitatea : este adevarata , este :

a)2004 b)2000 c)333 d)334 e)1998

Daca cifrele numarului satisfac relatia :, atunci numarul este divizibil cu :

a)3    b)9 c)5 d)4 e)11

4 Stiind ca raportul intre suplementul complementului unui unghi si suplementul acestui unghi este , atunci masura unghiului este :

a)36° b)18° c)40° d)30° e)60°

Daca a = 2⁰ + 2¹ + 2² + . ., . +2²⁰⁰⁷ si b = [(8⁸ )³ : ( 4⁵ )⁷]·(32² : )³ atunci valoarea naturala a lui n din proportia : este :

a)1004 b)503 c)504 d)2004 e)2005

Fie triunghiul ABC isoscel [AB]≡[AC] si m( A) = 40°. Fie punctele EI(AB) si FI(AC) astfel incat m( ABF) = 15° si m( ACE) = 30°, atunci m( AFE) este :

a)105 b)95 c)100 d)120 e)110

.In triunghiul ABC, m( B)=45 . Daca [CD este bisectoarea unghiului ACB, DI(AB) si CE AB astfel incat [AE] ≡ [ED], iar AM BC, MI(BC) si AM∩CE = atunci m( ANB) este:

a)100 b)115 c)90 d)120 e)110

La un cerc de matematica profesorul imparte 6n + 26 probleme la un numar de 2n + 3 elevi. Stiind ca numarul elevilor prezenti este mai mare decat 14 atunci numarul elevilor participanti la cerc este :

a) 27 b) 31 c)19 d)17 e)23

PARTEA a II-a

1. Un numar se poate scrie ca suma a 13 numere naturale consecutive,sau ca suma a 23 de numere naturale consecutive, sau ca suma a 29 de numere naturale consecutive. Demonstratica numarul se poate scrie ca suma a 13 numere naturale consecutive sau ca suma a 17 numere naturale consecutive.

Prof. Cristinel Mortici

2. Se considera triunghiul isoscel ABC, cu [AB]≡[AC] si m( A) = 30 . Fie DI(AC) astfel incat m( CBD)=30 si FI(AC) astfel incat [AF]≡[DF].

a)     Daca DM AB stabiliti natura triunghiului DMF.

b)     Aratati ca BD este bisectoarea CBF.

Prof. Gheorghe Achim

Subiecte clasa a VII - a

La problemele 1 - 8 rezolvati si alegeti varianta corecta.

Fie a, b , ab si ; ; .

Ordinea descrescatoare a numerelor x; y; z este :

a) x; y; z    b) y; x; z c) y; z; x d) x; z; y e) z; x; y

Nici un numar de forma , n 2 nu este :

a) divizibil cu 3; b) natural; c) mai mic decat 10ⁿ; d) divizibil cu 37 ; e) patratul unui numar intreg.

Intr-un triunghi dreptunghic ipotenuza este a = 8, iar raza cercului inscris este r = Daca b, c sunt catetele triunghiului atunci este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Fie . Atunci :

a) ; b) ; c) ; d); e) .

Pentru a, b, c > 0, >2, valoarea expresiei este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) 1.

Numarul solutiilor intregi ale ecuatiei : unde si este :

a) 5; b) 3; c) 4; d) 6; e) 8.

Pe latura AD a paralelogramului ABCD se considera punctul E astfel incat . Fie F punctul de intersectie al dreptei BE cu diagonala AC. Valoarea raportului este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) 2007.

Daca in patratul ABCD, M (AD), AB = a si distanta de la punctul B la MC este egala cu , atunci lungimea segmentului DM este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

Rezolvati integral pe foaia de concurs:

Fie si .

a)     Aratati ca prima zecimala a numarului a _n este 4;

b)     Care este prima zecimala a numarului A_n ? Justificati.

In patrulaterul ABCD, punctele M, N, P si Q sunt mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA. Daca :

S_[AMPD] ∙ S_[MBCP] = S_[ABNQ] ∙ S_[NQDC] = (S_[ABCD])² demostrati ca patrulaterul ABCD este paralelogram.

Clasa a VIII - a

La problemele 1 - 8 rezolvati si alegeti varianta corecta.

1. Valoarile rationale ale lui x pentru care este numar rational sunt :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

2. Minimul expresiei : E (x; y) = 4 x ² + 12xy + 10y ² - 20x - 32y + 33, x, y R este :

a) 3; b) 4; c) 5; d) 6; e) 7.

3. Daca x, y, z R, atunci valoarea lui z care verifica simultan relatiile : este :

a) ; b) z = 3; c) z = 5; d) z = 1; e) z = .

4. Intr-un tetraedru regulat de muchie , distanta dintre mijloacele a doua muchii opuse este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

5. Solutia naturala a ecuatiei : pentru este :

a) x = 4; b) x = 2; c) x = 1; d) x = 3; e) x = 5.

6. Numarul de solutii intregi ale ecuatiei : este :

a) 4; b) 0; c) 2; d) 1; e) 3.

7. In cubul ABCDA'B'C'D' de latura "a", distanta de la centrul fetei ABB'A' la diagonala AC' este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

8. Fie triunghiul ABC dreptunghic cu m (A) = 90⁰, avand varful C in planul α, iar varfurile A si B de aceeasi    parte a planului α . Daca , , iar distantele de la punctele A si B la planul α sunt "a" si respectiv "2a", atunci cosinusul unghiului diedru format de planele α si (ABC), este :

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;

Rezolvati integral pe foaia de concurs:

9. a) Gasiti o pereche de numere naturale ( x; y) pentru care ;

b) Aratati ca pentru a, b, x, y numere reale avem : .

c) Aratati ca exista o infinitate de perechi de numere naturale (x, y) pentru care

10. Fie ABCD un patrat, avand AB = a,    AC ∩ BD = , VO (ABCD). VO = b

(a >0, b>0). Aflati lungimea minima a perpendicularei comune dintre dreptele VA si BC.

Concursul de Matematica RURAL MATH

Editia I, 21 aprilie 2007

Problemele au fost selectate de :

prof. Stanica Nicolae Catalin - insp. Matematica I.S.J. Braila

Clasa a V-a

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

1. Rezultatul calculului    2 + 8 ∙ 7 este

a) 58 b) 7 c) 70 d) 65

2. Dintre numerele 5454; 5445; 4554 si 4455 cel mai mic este numarul

a) 5454 b) 5445 c) 4455 d) 4554

3. La un concurs de atletism concurentii au fost numerotati cu numere de la 1 la 50. De cate ori s-a folosit la numerotarea concurentilor cifra cinci?

a) 5 ori b) 4 ori c) 6 ori d) 7 ori

4. In gradina, trei pisici pandesc sase pasari. Cate picioare sunt in total?

a) 20 b) 24 c) 18 d) 22

5. Suma numerelor naturale multipli de 5, cuprinse intre 1 si 101 este egala cu

a) 1050 b) 1000 c) 1100 d) 2100

6. Gaseste numarul care lipseste 1; 2; 4; 8; 16; ? ; 64.

a) 20 b) 32 c) 34 d) 24

7. Pentru fiecare tinta atinsa la un concurs de tir se obtin 10 puncte, iar pentru fiecare tinta ratata se scad 6 puncte. Un concurent a obtinut 36 de puncte din 10 incercari. De cate ori a nimerit tinta?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

8. Suma tuturor numerelor de forma , scrise in baza 10, patrate perfecte divizibile cu 10 este egala cu

a) 1300 b) 1400 c) 1500 d) 1600

9. Rezultatul calculului 2007 ∙ 2006 - 2006 ∙2005 - 2 ∙ 2004 este egal cu

a) 3 b) 10 c) 2007 d) 4

10. Catul impartirii cu rest a numarului 70 la 4 este egal cu

a) 18 b) 17 c) 16 d) 15

11. Media aritmetica a numerelor 16 si 24 este egala cu

a) b) 30 c) 20 d) 40

12. Inmultind doua numere diferite din multimea se poate obtine numarul

a) 16 b) 7 c) 18 d) 11

13. Suma de 250 lei se plateste in 40 de bancnote de 5 lei si 10 lei. Cate bancnote de 5 lei s-au folosit ?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40

14. Daca si , atunci rezultatul calculului este egal cu

a) 20 b) 15 c) 25 d) 30

15. Ultima cifra a numarului 2²⁰⁰⁷ ∙ 6²⁰⁰⁷ - 2007 este

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

16. Numarul perechilor de numere naturale (x;y), care verifica relatia este

a) 4 b) 0 c) 2 d) 1

17. Daca atunci numarul natural este egal cu

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

18. Daca fractia nu se mai poate simplifica, N*, atunci fractia este:

a) echiunitara b) subunitara c) supraunitara d) echivalenta cu

Clasa a VI-a

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

1. Cate autobuze a 35 de locuri fiecare sunt necesare pentru a transporta 185 de elevi intr-o tabara ?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4

2. Din 20 de elevi ai unei clase, 8 participa la concursul de matematica Rural Math. Cat la suta din numarul elevilor participa la concurs ?

a) 40% b) 20% c) 30% d) 50%

3. Complementul unghiului cu masura de 30⁰ are masura de:

a) 150⁰ b) 60⁰ c) 40⁰ d) 70⁰

4. Doua drepte concurente se intersecteaza in punctul A. Daca suma masurilor a trei unghiuri proprii cu varful in A este 340⁰, atunci masura unui unghi din cele patru este egala cu

a) 10⁰ b) 30⁰ c) 40⁰ d) 20⁰

5. Termenul necunoscut din proportia este egal cu

a) b) 40 c) 45 d) 70

6. Cel mai mic numar dintre  7,50(01) ; 7,5(001) ; 7,(5001) ; 7,5001 este

a) 7,50(01)  b) 7,5(001)  c) 7,(5001)  d) 7,5001

7. Pe o dreapta se considera punctele distincte A, B, C, D astfel incat AB = 12 cm,

BC = 6 cm si CD = 6 cm. Calculand AC + BD se obtine

a) 24cm b) 30cm c) 18cm d) 34cm

8. Daca masura unui unghi este jumatate din complementul sau, atunci masura unghiului este egala cu

a) 45⁰ b) 40⁰ c) 35⁰ d) 30⁰

9. Daca suma a sapte numere intregi consecutive este 4, atunci produsul lor este 

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0

10. Determinati cifra a astfel incat numerele si sa fie direct proportionale cu numerele 2 si 9.

a) 2 b) 8 c) 7 d) 6

11. ABC este un triunghi isoscel cu m(A) = 100⁰ . Masura unghiului B este egala cu

a) 60⁰ b) 40⁰ c) 70⁰ d) 50⁰

12. Rezultatul calcului este

a) b) c) d) 4

13. Suma elementelor multimii este egala cu

a) 7 b) 4 c) 6 d) 8

14. Bisectoarea unui unghi cu masura de 80⁰ formeaza cu laturile sale unghiuri cu masura de 

a) 10⁰ b) 40⁰ c)100⁰ d) 30⁰

15. Care dintre urmatoarele numere nu sunt multipli de 3 ?

a) 703 b) 351 c) 462 d) 207

Cate numere prime se afla in multimea A=?  

a) 4 b) 5 c) 7 d) 3

Cel mai mic numar natural, care trebuie inmultit cu numarul 234 pentru a obtine

un patrat perfect, este

a) 26 b) 2 c) 3 d) 13

Radu si Alexandra au impreuna 10 lei. Ei hotarasc sa cumpere impreuna o carte, participand cu sume egale de bani. Radu este nevoit sa imprumute de la

Alexandra1 leu, iar dupa cumpararea cartii Alexandra ramane cu 5 lei. Cati lei a

avut Alexandra inainte de cumpararea cartii?

a) b) 7,5 c) 8,5 d) 7

Clasa a VII-a

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

I. (50 puncte) pe foaia de examen scrieti numai rezultatul.

1. Scrieti un numar natural cuprins intre si .
2. Solutia ecuatiei x - 2 = 6 este egala cu .
3. Media geometrica a numerelor 2 si 50 este .
4. Opusul numarului 5 este numarul .
5. Daca atunci valoarea expresiei este egala cu .
6. Un patrat de latura 5 cm are aria egala cu cm²
7. Daca bazele unui trapez au lungimile de 10 cm si 30 cm, atunci lungimea liniei mijlocii a trapezului are lungimea egala cu cm
8. Diagonala dreptunghiului cu lungimea de 8 cm si latimea de 6 cm este egala cu cm.
9. Rezultatul calculului sin 30⁰ - cos 60⁰ este egal cu .
10. In triunghiul ABC m(BAC) = 90⁰, m(ABC) = 30⁰ si AC = 8 cm. Segmentul BC are lungimea egala cu cm.

II. ( 40 puncte ) - pe foaia de examen scrieti rezolvarile complete.

11. a) Calculati  ;

b) Rezolvati ecuatia  x² = 121;

c) Determinati A + B si A - B stiind ca A = 2x +5 si B = - 5x + 9;

d) Calculati

12. a) Desenati un triunghi isoscel.

In triunghiul isoscel ABC avem AB = AC = 12 cm si m(A) = 30⁰, punctul D este

piciorul perpendicularei din B pe AC, si M mijlocul segmentului BD.

b)    Aratati ca BD = 6 cm.

c)     Calculati aria triunghiului ADB.

d)    Calculati distanta de la punctul M la dreapta BC.

Clasa a VIII-a

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 2 ore.

I. ( 32 puncte ) Pe foaia de examen, scrieti rezultatul corect langa numarul din fata exercitiului.

Rezultatul calculului 2007 - 1989 este egal cu . .

Solutia ecuatiei x +2 = 17 este egala cu . .

Media geometrica a numerelor 1 si 9 este egala cu . .

Catul impartirii numarului 70 la 4 este egal cu . .

Perimetrul patratului cu lungimea unei laturi de 7 cm este egal cu cm

Aria discului cu raza de 6 cm este egala cu . cm

Volumul uni cub cu latura 6 cm este egal cu . cm

Un con circular drept are raza bazei de 3 cm, iar generatoarea de 5 cm. Aria laterala a conului este egala cu . π cm

II. ( 12 puncte) Pe foaia de examen, scrieti rezultatul corect langa numarul din fata exercitiului.

Dintre cele patru variante de raspuns, scrise la fiecare cerinta, doar una este corecta.

Fie functia f : R → R, f (x) = 2x - 1. Calculand valoarea functiei pentru x = 3 se obtine

A. - 1 B. 2 C. 5 D. 3

La scrierea numerelor naturale de la 10 la 40, cifra 3 se repeta de

A. 12 ori B. 11 ori C. 10 ori D. 13 ori

Un trapez are bazele de 8 cm si de 10 cm. Calculand lungimea liniei mijlocii a trapezului se obtine

A. 9 cm B. 18 cm C. 4 cm D. 5 cm

Pe o dreapta se considera punctele A, B, C, D in aceasta ordine, astfel incat

AD = 15 cm, BC = 3 cm si AB = CD. Calculand lungimea segmentului AB se obtine

A. 4 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 4,5 cm

III. ( 46 puncte ) Pe foaia de examen, scrieti rezolvarile complete.

Intr-o cutie se afla 120 CD-uri. Dintre acestea 25 sunt inregistrate cu muzica, 40% cu filme si 32 cu programe. Restul de CD - uri sunt neinregistrate.

a)     Cate CD-uri cu filme sunt in cutie ?

b)    Daca se alege la intamplare un CD din cutie, care este probabilitatea ca acesta sa fie neinregistrat.

Fie expresia E(x)= (2x +1)² - (x - 1)² + (x - 2)( x +2) - 3x² + 14, cu x numar real

a)     Aratati ca E (x) = x² + 6x +10.

b)    Calculati valoarea expresiei E(x) pentru x = - 3.

c)     Determinati numerele intregi x astfel incat E(x)=2.

a) Desenati o piramida triunghiulara regulata.

In piramida triunghiulara regulata DABC, inaltimea DO = 4 cm si aria bazei ABC este

egala cu cm²

b)    Aratati ca lungimea apotemei piramidei este egala cu 5 cm.

c)     Calculati volumul piramidei.

d)    Punctul M este mijlocul laturii BC. Calculati valoarea tangentei unghiului dintre

planele ( ABD) si (AMD).

Clasa a V-a

Sa se arate ca nu exista un numar natural a astfel incit a(a+1)=.

Ana Maria Dobanda si Titus Dobanda, Faget, Timis

Rezolvare

Observam ca a(a+1) este un numar par pe cand este un numar impar avand ultima cifra 7 deci nu exista un numar natural a astfel incit a(a+1)=.

Clasa a VI-a

Fie unghiurile si , astfel incat AD si (BX, (CY bisectoarele celor doua unghiuri. Notam si

a) Daca m( si m( , aratati ca MP si BC nu sunt paralele.

b) Exista masuri ale celor doua unghiuri, si , pentru care MP

Justificati raspunsul.

Stanica Nicolae, Braila

Solutie:

a) Pp. R.A. ca MP

T triunghiul PMC isoscel TPC=PM.

si cum T triunghiul MBP echilateral T PB=PM.

3. Din 1 si 2 avem ca triunghiul PBC isoscel, cu PB=PC ceea ce contrazice si

b) Notam si

Daca MP, atunci triunghiurile BPM si PBC fiind isoscele, avem ca si cum ABP este alungit, avem si sunt suplementare. Voi demonstra ca aceasta conditie este suficienta pentru ca dreptele MP si BC sa fie paralele.

Construim prin P o paralela la BC care taie BX in T si CY in S.

T triunghiul SPC isoscel T CP=PS.

T triunghiul PBT isoscel T PB=PT.

3. Deoarece si sunt suplementare T T CP=PB.

Din 1, 2 si 3 obtinem PS=PT , adica TSM si MP

Clasa a VII-a

Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC Bisectoarea unghiului ABC taie CD in Q si AD in P. Fie [DT bisectoarea unghiului PDQ, TI(BP).

Daca CT AD= si AT CD=, aratati ca SQ=DM.

Nicolae Stanica, Braila

Solutie:
DDTCDPTA (L.U.L.)
Din aceasta congruenta avem: AT=TC, PAT DCT si PTA DTC (1)
Dar m( PTA)=90 +m( DTA)=m( ATC)+ m( DTA)=m( DTC) ( conform (1)), deci m( ATC)=90 (2)
Avem acum: DSTCDMTA (C.U.), de unde rezulta ca SC=AM si cum AD=BC=CQ, obtinem MD=SQ.

Clasa a VIII-a

Sǎ se determine numerele naturale pentru care 81x + 10y = 2007.

E. Blǎjut, Bacǎu

Solutie:

Deoarece U(10y) = 0 rezultǎ cǎ ultima cifrǎ a numǎrului 81x trebuie sǎ fie 7, deci ultima cifrǎ a numǎrului x trebuie sǎ fie 7.

Cazul I Dacǎ x = 7 atunci 81∙ 7 + 10y = 2007 , de unde 10y = 1440 si deci y = 144;

Cazul II. Dacǎ x = 17, atunci 81∙ 17 + 10y = 2007, de unde 10y = 630 si deci y = 63;

Cazul III. Dacǎ x = 27, atunci 81∙ 27 + 10y = 2007, de unde 10y = -180, fals.

Asadar solutiile ecuatiei si

Clasa a IX-a

Sa se arate ca daca a,b,c reprezinta lungimile laturilor unui triunghi, atunci

.

Gheorghe Stoica ,Petrosani

Solutie.Fie Din inegalitatea mediilor avem: si

care inmultite dau si apoi

Cu aceasta avem: =

Luand

rezulta ca =

Presupunand ca rezuta ca Folosind inegalitatea lui Cebasev.avem:

Clasa a X-a

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia:

.

Gabriel TICA, Bailesti

Rezolvare:

Ecuatia este echivalenta cu: .

Daca

Daca

Daca , solutie.

Daca .

Daca .

Deci, singura solutie a ecuatiei este .