Reprezentari analitice ale curbelor in spatiu

Reprezentari analitice ale curbelor in spatiu

Se folosesc doua moduri de reprezentare analitica a curbelor in spatiu: reprezentarea implicita si reprezentarea parametrica.

Reprezentarea implicita

Curba Γ este definita ca multimea punctelor din spatiu ale caror coordonate carteziene satisfac un sistem de doua ecuatii:

Se considera ca functiile F si G sunt derivabile de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, cu exceptia unei multimi neglijabile de puncte. Gandim curba Γ ca o multime de puncte care dispune numai de un singur grad de libertate. Intr-adevar, cele doua ecuatii, functionand ca niste restrictii, diminueaza cu doua unitati numarul trei al gradelor de libertate ale unui punct din spatiu.

Un exemplu remarcabil ni-l ofera cazul cand F si G sunt functii de gradul intai. In acest caz, curba Γ este o linie dreapta. Fiecare dintre cele doua ecuatii reprezinta o multime avand doua grade de libertate, adica o suprafata. In cazul cand ecuatia este de gradul doi, suprafata este o cuadrica. Ca urmare, daca o ecuatie este de gradul intai si cealalta este de gradul doi, atunci curba se obtine prin sectionarea cuadricei cu planul reprezentat de ecuatia de gradul intai.

In cazul general gandim curba Γ ca multimea punctelor comune ale suprafetelor determinate de cele doua ecuatii.

Reprezentarea parametrica

Curba Γ este definita ca multimea punctelor din spatiu ale caror coordonate sunt functii de unul si acelasi parametru real, pe care-l notam de obicei cu litera t:

in care D este, de regula, o reuniune finita de intervale, care pot fi inchise, deschise sau inchise numai la un capat.

Ca si in cazul curbelor plane, reprezentarea parametrica se poate scrie sub forma vectoriala:

,

unde

.

Vectorul este deci vectorul de pozitie al unui punct de pe curba. Functiile se considera derivabile de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, in afara unui numar finit dintre acestea. Aceasta conditie este indeplinita de functiile elementare. Asadar functia vectoriala este derivabila si, ca urmare, este continua. Rezulta ca daca domeniul de definitie este un interval inchis si marginit, adica, geometric vorbind, un segment de dreapta, atunci ne putem imagina ca Γ este obtinuta prin deformarea continua a segmentului.

La fel ca in cazul curbelor plane, este comod sa notam functiile chiar cu literele , astfel ca reprezentarea parametrica se scrie sub forma:

respectiv

.

Un exemplu este oferit de cazul cand cele trei functii sunt de gradul intai:

In acest caz, curba Γ este o linie dreapta. Coeficientii de gradul intai, adica numerele , au urmatoarea interpretare geometrica: ele reprezinta parametrii directori ai directiei dreptei.

In acest capitol ne concentram atentia asupra curbelor care nu sunt situate intr-un plan. Un exemplu tipic de curba care nu este continuta in nici un plan este spirala, a carei reprezentare analitica este aratata in continuare.

Exemplu

Spirala

Fie curba Γ definita astfel:

Ne propunem sa stabilim forma curbei. Observam ca pentru orice punct de pe curba coordonatele sale verifica ecuatia: . Aceasta ecuatie reprezinta cilindrul avand ca baza cercul din planul xOy, cu centrul in origine si de raza egala cu a. Generatoarele cilindrului sunt paralele cu axa Oz. Prin urmare curba Γ este infasurata pe acest cilindru.

Pentru parametrul t gasim o interpretare geometrica. Fie proiectia unui punct oarecare P de pe curba pe planul xOy. Fireste, punctul se afla pe cercul de baza al cilindrului. Coordonatele punctelor P si difera numai prin cota. Abscisa si ordonata sunt aceleasi. Dar, din faptul ca punctul din planul xOy are coordonatele , rezulta iarasi ca punctul se afla pe cercul cu centrul in origine si de raza egala cu a, iar unghiul, masurat in sens trigonometric, de la axa Ox la raza vectoare a punctului difera de t printr-un multiplu de .

In concluzie, daca t se afla in intervalul [0,2π], atunci el este unghiul format de axa Ox cu raza vectoare a proiectiei a punctului P
pe planul xOy. Ca urmare imaginea curbei este cea sugerata de figura 3.1.

Figura 3.1