Valori extreme ale unei functii

Valori extreme ale unei functii.

Definitie: Fie functia numerica f : A  R, I  A. Daca exista x₀  I astfel incat f(x)  f(x₀), x  I, atunci f(x₀) se numeste maximumul local al functiei f pe multimea I si scriem f(x₀) = maxf(x). Punctul x₀ pentru care se obtine valoarea maxima a lui f pe I se numeste punct de maxim local pentru functia f pe I. Daca exista x₁  I astfel incat f(x)  f(x₁), x  I, atunci f(x₁) se numeste minimumul local al functiei f pe multimea I si scriem f(x₁) = minf(x). Punctul x₁ pentru care se obtine valoarea minima a lui f pe I se numeste punct de minim local pentru functia f pe I. Valoarea maxima sau minima a lui f pe I se numesc valoari extreme ale functiei pe I. Exemplu: f : R  R f(x) = x³ - x²

Punctul x₀ de maxim sau x₁ de minim se numeste punct de extrem local pentru functia f pe I. Exemplu: Graficul de mai sus este graficul functiei: f : R  R ; f(x)=x¹⁷-8x¹⁵

Exemplu: Functia f definita prin tabelul de valori are valoarea maxima egala cu 8 si se

atinge pentru x = -6.

Deci maxf = f(-6)= 8. Punctul x = -6 este punct de maxim pentru functie. Valoarea minima a lui f este egala cu -5 si se obtine pentru x = 0. Deci min f = f(0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al functiei. In final, valorile extreme ale

functiei sunt -5 si 8, iar punctele de extrem sunt 0 si respectiv -6.