Curburile principale, liniile de curbura; clasificarea punctelor de pe suprafata

Curburile principale, liniile de curbura; clasificarea punctelor de pe suprafata

Teorema perechilor de forme patratice

Prezentam in continuare una dintre teoremele de baza ale algebrei liniare, a carei importanta in studiul curburii unei suprafete, dupa cum se va vedea, este remarcabila.

Teorema. Fie in spatiul vectorial real V o forma patratica pozitiv definita o forma patratica oarecare. Notam A, respectiv B matricele celor doua forme patratice intr-o baza a spatiului. In aceste conditii:

1) Radacinile ale ecuatiei sunt numere reale.

2) Exista o baza a spatiului, astfel incat in aceasta baza matricea lui φ este , iar matricea a formei ψ este o matrice diagonala, avand pe diagonala radacinile reale .

3) Coordonatele ale vectorului satisfac sistemul omogen:

Demonstratie. Deoarece matricea A are valorile proprii strict pozitive,
ea este inversabila si exista o matrice reala X, astfel incat . Mai precis, ecuatia matriciala are cel putin o solutie si are exact solutii distincte daca valorile proprii ale matricei A sunt distincte. Notam una dintre aceste solutii si inversa ei. Fie .

Deoarece A si B sunt simetrice, rezulta ca matricea C este simetrica, iar valorile sale proprii, pe care le notam , sunt numere reale si exista o matrice ortogonala U, astfel incat:

Sa observam acum ca valorile proprii ale matricei C sunt tocmai radacinile ecuatiei . Intr-adevar, polinomul caracteristic al matricei C este:

Cu aceasta am demonstrat prima afirmatie din enuntul teoremei.

Mai departe sa notam , care este matrice inversabila, deoarece este un produs de matrice inversabile. Rezulta ca matricea T poate fi considerata matricea de trecere de la baza la o alta baza , adica este satisfacuta relatia matriciala:

.

Matricea formei φ in noua baza este:

,

unde am tinut seama ca A este simetrica si ca U este matrice ortogonala.

Matricea formei ψ in noua baza este:

si deci este verificata a doua afirmatie din enuntul teoremei.

Pentru a demonstra a treia afirmatie pornim de la faptul ca, pentru
vectorul al noii baze, coordonatele sale in vechea baza sunt elementele coloanei i a matricei , care este produsul dintre matricea si coloana i a matricei U:

,

unde am notat cu elementele coloanei i a matricei U.

Pe de alta parte, din felul cum a fost definita matricea U, coloana i a acestei matrice este alcatuita din coordonatele unui vector propriu al matricei C, corespunzator valorii proprii , adica:

ceea ce atesta ultima afirmatie a teoremei.

Formula lui Euler

Fie suprafata definita prin ecuatia vectoriala si P un punct fixat pe suprafata, astfel incat . Aplicam teorema precedenta in spatiul tangent la suprafata in acest punct. Deci in rolul spatiului V consideram spatiul vectorilor situati in acest plan. O baza a acestui spatiu este constituita din vectorii .

In rolul bazei consideram tocmai aceasta baza, iar φ si ψ sunt prima, respectiv a doua forma patratica, considerate in punctul P. Ipoteza teoremei referitoare la forma φ este indeplinita, deoarece, pentru orice vector din spatiul tangent, .

Notam vectorii noii baze din spatiul tangent , in loc de , pentru a sublinia ca ei fac parte din spatiul tangent. Potrivit teoremei, notand si coordonatele unui vector al spatiului tangent in aceasta baza, avem:

,

unde sunt radacinile ecuatiei:

,

care se scrie sub forma:

. (4.54)

Directia vectorului al noii baze se determina rezolvand sistemul omogen in du si dv:

si analog se afla directia vectorului . Aceste directii din planul tangent se numesc directiile principale in punctul P.

Curbele situate pe suprafata care au proprietatea ca tangenta in orice punct are una sau cealalta dintre directiile principale se numesc liniile de curbura ale suprafetei. Prin fiecare punct al suprafetei trec doua linii de curbura. Curbura sectiunii normale care contine tangenta la una sau cealalta din liniile de curbura ce trec prin acel punct este egala cu curbura principala corespunzatoare, sau . Aceasta insa nu este in general egala cu curbura liniei de curbura in acel punct.

Curbura sectiunii normale a suprafetei in punctul P, continand vectorul este:

, (4.55)

in care am notat: . Deoarece vectorii constituie o baza ortonormata, rezulta ca a este tocmai unghiul format de vectorul cu vectorul , masurat de la la , in sensul de la catre .

Pentru , obtinem si, din formula (4.55), se obtine ; pentru , obtinem si, din formula (4.55), se obtine . Asadar radacinile ale ecuatiei (4.54) sunt tocmai curburile sectiunilor suprafetei cu planele ce contin normala la suprafata in punctul P si vectorul , respectiv din planul tangent. Acestea se numesc curburile principale ale suprafetei in punctul P.

Formula (4.55) este cunoscuta sub numele de formula lui Euler. Ea exprima curbura sectiunii normale in directia unui vector din planul tangent, in functie de curburile principale si de unghiul format de vectorul cu vectorul .

Sa observam ca toate curburile sectiunilor normale sunt cuprinse intre cele doua curburi principale. Intr-adevar, presupunand , obtinem:

(4.56)

Puncte eliptice, puncte hiperbolice si puncte parabolice ale unei suprafete

Pozitia suprafetei fata de planul tangent in punctul P este determinata de semnele curburilor principale. Reamintim ca, potrivit teoremei lui Meusnier, exprimata prin formula (4.45):

, (4.57)

in care este versorul normalei la suprafata in punctul P, R este raza de curbura a unei curbe situate pe suprafata Σ, trecand prin punctul P. Tangenta la aceasta curba are directia vectorului , iar versorul normalei principale este .

In cazul cand curba este sectiunea suprafetei cu planul ce contine vectorii si , normala principala se afla in acest plan si este, ca si normala la suprafata, perpendiculara pe tangenta. Deci normala principala are aceeasi directie cu normala la suprafata. Sensul normalei principale este indreptat catre centrul cercului osculator al curbei, adica in sensul in care este curbata curba. Asadar, in acest caz, membrul drept din (4.56) este , dupa cum vectorul are sensul in care este curbata curba sau sensul opus.

Sa presupunem ca in punctul P curburile principale sunt nenule si au acelasi semn. Rezulta atunci din (4.56) ca toate curburile sectiunilor normale ale suprafetei in punctul P, fiind cuprinse intre , vor avea acelasi semn cu acestea. Daca ele sunt pozitive, inseamna ca toate sectiunile normale sunt curbate in aceeasi parte fata de planul tangent ca si normala la suprafata. Daca sunt negative, inseamna ca sectiunile normale sunt la fel, curbate toate in aceeasi parte fata de planul tangent, iar normala la suprafata este indreptata in sensul opus.

Definitie. Punctul P al suprafetei se numeste punct eliptic daca in acest punct curburile principale sunt nenule si de acelasi semn. In acest caz, intr-o vecinatate a punctului P, suprafata se afla in intregime de aceeasi parte a planului tangent.

In cazul cand curburile principale sunt nenule si de semn contrar, sa analizam variatia curburii sectiunii normale care contine vectorul din planul tangent, cand vectorul se roteste in acest plan in jurul lui P, pornind de la catre si mai departe pana se suprapune peste opusul lui .

Cum curbura este o functie continua de vectorul si curburile sunt de semne contrarii, inseamna ca exista vectorii in care curbura este nula, mai precis putem realiza urmatoarea diagrama in planul tangent:

Figura 4.8

Cand vectorul se afla in zona cuprinsa intre suporturile vectorilor , care contine vectorul , curbura normala va avea semnul curburii principale . In cealalta zona, va avea semnul opus.

Definitie. Punctul P se numeste punct hiperbolic daca in acest punct curburile principale sunt nenule si de semne contrarii. Directiile vectorilor din planul tangent se numesc directii asimptotice. Intr-o vecinatate a punctului P, suprafata Σ se prezinta astfel: in portiunea dintre , in care se afla suportul vectorului , suprafata se afla de o parte a planului tangent, iar in cealalta zona, suprafata se gaseste de cealalta parte a planului tangent.

Definitie. Daca in punctul P una dintre curburile principale este nula, iar cealalta este nenula, atunci punctul se numeste punct parabolic. Intr-un astfel de punct, suprafata se gaseste de aceeasi parte a planului tangent, dar planul tangent contine o directie in care sectiunea normala are curbura nula, prezentand, de exemplu, o inflexiune.

Definitie. Daca ambele curburi principale in punctul P sunt nule, atunci acest punct se numeste punct plat.

Ecuatia (4.54) a curburilor principale permite calcularea unor expresii ce depind de curburile principale, si anume:

, (4.58)

numita curbura medie si

, (4.59)

numita curbura totala, care se mai noteaza K.

Deoarece numitorul din formula (4.59) care defineste curbura totala este pozitiv, rezulta ca semnul curburii totale este semnul numaratorului. Ca urmare punctul este eliptic sau hiperbolic, dupa cum expresia: este strict pozitiva sau strict negativa.

In cazul cand , punctul poate fi parabolic sau plat, dupa cum curbura medie este nenula sau nula, adica dupa cum expresia: este nenula, respectiv nula.

In sectiunea anterioara am numit directii asimptotice in planul tangent acele directii in care curbura sectiunii normale este nula, deci acele directii care anuleaza forma a doua fundamentala:

.

Asa cum am remarcat, in punctul P al suprafetei exista doua directii asimptotice sau nici una, dupa cum expresia este strict negativa sau strict pozitiva.

Prin urmare in planul tangent in punctul P la suprafata exista doua directii asimptotice sau nici una, dupa cum punctul P este hiperbolic sau eliptic.

In cazul cand si punctul P este parabolic, planul tangent in acest punct are o singura directie asimptotica. Daca punctul este plat, atunci toate directiile din planul tangent sunt directii asimptotice. Este lesne de verificat ca pentru planul xOy, in care consideram parametrizarea , forma a doua fundamentala in toate punctele este nula, deci toate punctele planului sunt puncte plate.

Exemple

Sfera

Folosim pentru sfera cu centrul in origine si de raza egala cu R urmatoarea ecuatie vectoriala:

,

in care θ este unghiul dintre axa Oz si vectorul de pozitie al punctului de pe sfera, iar φ este unghiul polar al proiectiei acestui punct pe planul xOy.

Obtinem:

Curbura sectiuni normale intr-un punct al sferei este deci:

.

Rezultatul obtinut inseamna ca, in orice punct de pe sfera, curburile tuturor sectiunilor normale sunt egale cu curbura cercului de raza egala cu R. Semnul minus inseamna ca centrele de curbura ale sectiunilor normale se afla in partea opusa fata de sensul normalei, care este acelasi cu al vectorului de pozitie al punctului de pe sfera.

Deoarece in baza formata din vectorii cele doua forme fundamentale au forma redusa, inseamna ca liniile de curbura sunt tocmai curbele de coordonate, adica meridianele si paralelele. Interesant ca pentru paralela ce trece prin punctul P, considerata ca linie de curbura, curbura sa nu este egala cu curbura sectiunilor normale, acestea din urma fiind cercuri cu centrul in centrul sferei.

Observam, pe de alta parte, ca toate sectiunile normale ale tuturor punctelor sferei, fiind cercuri mari pe sfera, au acelasi centru de curbura. Pentru un cerc de pe sfera care nu are centrul in centrul sferei, centrul sau este proiectia centrului sferei in planul acestui cerc, asa cum prevede teorema lui Meusnier in cazul general.

Paraboloidul eliptic

Consideram suprafata definita de ecuatia implicita sau, sub forma parametrica, exprimata vectorial:

.

In aceasta parametrizare, parametrii u si v sunt abscisa, respectiv ordonata punctului de pe suprafata. Ca urmare:

Ca urmare, ecuatia curburilor principale este:

.

Se observa ca, in toate punctele suprafetei, curbura totala

este strict pozitiva, deci suprafata are numai puncte eliptice. Ca urmare planul tangent la suprafata in orice punct al ei nu are directii asimptotice.

Paraboloidul hiperbolic

Suprafata Σ, definita de ecuatia explicita , se poate reprezenta prin ecuatia vectoriala:

,

de unde se obtine:

Se observa ca in toate punctele suprafetei curbura totala este strict negativa:

,

deci toate punctele suprafetei sunt hiperbolice. In fiecare punct al suprafetei planul tangent contine doua directii asimptotice distincte, care se gasesc rezolvand ecuatia:

Cum u si v sunt tocmai abscisa si ordonata punctului de pe suprafata, relatiile obtinute inseamna ca proiectiile directiilor asimptotice pe planul xOy sunt paralele cu prima si a doua bisectoare a acestui plan.

Prin urmare directiile asimptotice din planul tangent la suprafata intr-un punct oarecare P sunt intersectiile planului tangent cu planele ce trec prin P si sunt paralele cu planul ce contine axa Oz si una sau cealalta dintre bisectoarele unghiului xOy.

Tangentele liniilor de curbura ce trec prin punctul P sunt, fireste, bisectoarele unghiului format de directiile asimptotice din planul tangent. Dar proiectiile pe planul xOy ale acestor bisectoare nu mai sunt bisectoarele proiectiilor directiilor asimptotice: proiectiile directiilor asimptotice sunt paralele cu bisectoarele unghiului xOy, iar bisectoarele unghiului format de aceste proiectii sunt paralele cu axele Ox si Oy.

Suprafete de rotatie

Consideram ca suprafata Σ este obtinuta prin rotirea, in jurul axei Oz, a unei curbe situate in planul yOz, definita prin ecuatia , care ia numai valori pozitive. Ecuatia vectoriala a unei astfel de suprafete este:

,

in care φ este unghiul polar al proiectiei, in planul xOy, a punctului de pe suprafata, iar z este cota acestui punct. Vom scrie uneori ρ in loc de .

Curbele de coordonate ale acestei suprafete se obtin sectionand suprafata cu plane perpendiculare pe axa Oz (din care rezulta traiectoriile circulare ale punctelor curbei ce se roteste in jurul axei Oz) si sectiunile cu semiplane ce contin axa Oz (care reprezinta pozitiile succesive ale curbei in rotirea sa in jurul axei). Cum , inseamna ca in toate punctele suprafetei curbele de coordonate sunt perpendiculare.

Ecuatia curburilor principale este:

. (4.60)

Observatii

I. Remarcam ca forma a doua fundamentala in baza formata din vectorii are forma redusa, deci curbele de coordonate sunt, in acelasi timp, liniile de curbura ale suprafetei.

Curbura principala corespunde sectiunii perpendiculare pe axa Oz. Observam ca ea nu este egala cu curbura acestei sectiuni, care este un cerc de raza egala cu ρ. In schimb, curbura principala este chiar curbura, in punctul corespunzator, a curbei care se roteste.

II. Curbura totala are semnul opus lui . Rezulta ca, daca , curbura totala este strict pozitiva sau strict negativa, dupa cum este strict negativ sau strict pozitiv. Deci punctul este eliptic sau hiperbolic, dupa cum se afla intr-o portiune bombata sau scobita a curbei. In punctele eliptice, planul tangent este in exteriorul suprafetei, pe cand in punctele hiperbolice, planul tangent sectioneaza suprafata (avem in vedere o vecinatate suficient de mica a punctului).

In punctele in care , curba care se roteste prezinta in general o inflexiune. Planul tangent in acest punct sectioneaza suprafata dupa o directie asimptotica. Este deci un punct parabolic, deoarece cealalta curbura principala este nenula.

Figura 4.9

In continuare vor fi considerate unele exemple semnificative privind functia ρ.

Cazul suprafetelor cu curbura totala identic nula

Daca in toate punctele suprafetei curbura totala este nula, inseamna ca , de unde rezulta . Daca , atunci dreapta care se roteste este paralela cu axa de rotatie si se obtine deci un cilindru. Daca , atunci dreapta care se roteste intersecteaza axa de rotatie si deci suprafata este un con.

Asadar conul si cilindrul sunt singurele suprafete de rotatie avand curbura totala nula in toate punctele.

Hiperboloidul cu doua panze

Consideram suprafata obtinuta prin rotirea hiperbolei echilatere de ecuatie din planul yOz in jurul axei Oz. Consideram numai ramura a acestei hiperbole. Obtinem:

.

Se observa ca toate punctele suprafetei sunt eliptice. Planul tangent in toate punctele este exterior suprafetei.

Hiperboloidul cu o panza

Rotim acum hiperbola echilatera de ecuatie din planul yOz in jurul axei Oz. Se obtine:

;

prin urmare toate punctele suprafetei sunt hiperbolice. In toate punctele suprafetei planul tangent sectioneaza suprafata (pentru o vecinatate suficient de mica a punctului considerat de pe suprafata).

Rotirea cosinusoidei

Consideram suprafata obtinuta prin rotirea curbei de ecuatie in jurul axei Oz. Rezulta:

Asadar punctele care au cota cuprinsa intre zero si sunt eliptice, cele care au cota cuprinsa intre si sunt hiperbolice, iar cele avand cota egala cu sunt parabolice, asa cum este sugerat in figura 4.10.

Figura 4.10

Catenoidul

Ne punem problema sa gasim suprafetele de rotatie care au curbura medie nula in toate punctele. Folosind relatia (4.60), care da expresia curburii medii, problema revine la rezolvarea ecuatiei diferentiale:

,

care are solutia .

Rezulta:

,

deci toate punctele suprafetei sunt hiperbolice.

Figura 4.11

Pseudosfera

Consideram in planul yOz curba definita de ecuatiile parametrice:

in care, pentru orice punct al curbei, θ este unghiul ascutit format de tangenta la curba in acel punct cu axa Oz. Aceasta curba are proprietatea ca, in toate punctele ei, lungimea segmentului de tangenta de la punctul de pe curba pana la intersectia tangentei cu axa Oz este constant egala cu a. Pentru a demonstra proprietatea, notam Y si Z coordonatele unui punct de pe tangenta la curba
intr-un punct oarecare P.

Panta tangentei la curba este:

si deci ecuatia tangentei este:

.

Cota punctului M de intersectie a tangentei cu axa Oz se obtine inlocuind pe Y cu 0 in ecuatia tangentei. Se obtine: , de unde:

.

Curba se numeste tractrice, deoarece ea constituie traiectoria unui obiect -aflat initial pe axa Oy, la distanta egala cu a de origine - care este "tractat", pornind din origine in directia axei Oz, cu un cablu a carui lungime este egala cu a.

Figura 4.12

Suprafata obtinuta prin rotirea tractricei in jurul axei Oz se numeste pseudosfera. Denumirea exprima faptul ca, asa cum vom arata, curbura totala este aceeasi in toate punctele suprafetei, ca si in cazul sferei, dar este negativa.

Ecuatia vectoriala a suprafetei este:

,

de unde rezulta:

Ecuatia curburilor principale este:

de unde se obtin curburile principale:

si deci curbura totala:

este aceeasi in toate punctele suprafetei.