Sfera

Sfera

Definitie. Se numeste sfera, locul geometric al punctelor din spatiu , egal departate de un punct fix.

1 Forme ale ecuatiei sferei

Fie vectorul de pozitie al centrului sferei si vectorul de pozitie al punctului curent pe sfera.

este ecuatia vectoriala a sferei.

Tinand seama de expresiile analitice ale vectorilor si se obtine:

ecuatia carteziana , sub forma restransa .

Sau:

ecuatia carteziana sub forma generala, unde: .

Pentru alte forme ale ecuatiei unei sfere se introduc asa numitele coordonate sferice.

Un punct din spatiu este determinat de proiectiile sale pe axele de coordonate . El mai poate fi complet determinat si de :

"" = distanta sa pana la originea axelor de coordonate;

"" = colatitudine = unghiul pe care-l face vectorul sau de pozitie cu axa

;

"" = longitudine = unghiul pe care-l face proiectia vectorului sau de

pozitie, pe planul , cu axa .

se numesc coordonatele sferice ale punctului .

Deci: reprezinta relatiile dintre coordonatele carteziene ale unui punct din spatiu si coordonatele sale sferice ,

unde .

Daca se efectueaza o translatie asupra unui sistem de coordonate , ducand originea intr-un punct de vector de pozitie , legatura dintre coordonatele ale unui punct oarecare din spatiu, fata de vechiul sistem, si coordonatele ale aceluiasi punct fata de noul sistem, este data de formulele:

Revenind la ecuatia sferei, se efectueaza o translatie a sistemului de axe , in centrul al sferei si se considera drept parametrii , si , respectiv unghiurile si determinate de vectorul de pozitie al unui punct curent de pe sfera, , cu axa sau si respectiv proiectia lui cu axa sau .

Daca este de coordonate , formulele de translatie sunt: .

Fata de sistemul , coordonatele sferice ale punctului sunt:

, obtinand astfel o reprezentare parametrica a sferei:

.

Ecuatia unei sfere cu centrul in origine , in coordonate sferice este: .

Pozitia unui punct in spatiu poate fi complet determinata si de :

"" = distanta dintre punct si proiectia sa pe planul = cota punctului;

" " = distanta dintre proiectia punctului pe planul si originea axelor

de coordonate;

" " = unghiul pe care-l determina proiectia pe planul , a vectorului

de pozitie al punctului, cu axa .

se numesc coordonatele cilindrice ale punctului .

Relatiile: cu reprezinta legatura dintre coordonatele carteziene ale unui punct in spatiu , si coordonatele sale cilindrice .

2 Intersectia unei sfere cu un plan. Probleme de tangenta

Daca distanta de la centrul unei sfere la un plan este mai mica decat raza, planul intersecteaza sfera dupa un cerc, ale carui ecuatii sunt chiar cele doua ecuatii ale sferei si ale planului: .

Pentru a gasi centrul al cercului, se intersecteaza planul cu o dreapta perpendiculara pe el, ce trece prin centrul sferei ; pentru gasirea razei , se foloseste relatia : .

Daca distanta de la centrul sferei la plan este egala cu raza, planul este tangent sferei.

a)      Plan tangent sferei intr-un punct al acesteia,

Fie de vector de pozitie si sfera de ecuatie .

Fie un punct curent al planului. Atunci au loc relatiile:

ecuatia planului tangent la sfera in punctul .

Se observa ca aceasta ecuatie a fost obtinuta prin dedublarea ecuatiei sferei.

Forma scalara a ecuatiei este:

sau:

.

b)      Plane tangente sferei, paralele cu un plan dat

Fie , planul dat. Totalitatea planelor paralele cu el au ecuatia: . Punand conditia ca distanta de la centrul sferei, la acest fascicol de plane paralele, sa fie egala cu raza, se determina cele doua valori ale lui , corespunzatoare celor doua plane tangente sferei:

si

c) Plane tangente sferei, ce trec printr-o dreapta data

Fie , dreapta data .Totalitatea planelor care trec prin ea au ecuatia:

deci:

.

Scriind ca distanta de la centrul sferei , la aceste plane, este egala cu raza, se obtin cele doua plane tangente, ce trec prin dreapta data.

si

3 Intersectia unei sfere cu o dreapta. Puterea unui punct fata de o sfera

Fie si

.

Pentru intersectie, se egaleaza sirul de rapoarte al dreptei cu un parametru si se obtine:

,

unde cu s-a notat membrul stang al ecuatiei sferei, in care , au fost inlocuite cu .

Ecuatia de gradul doi in , obtinuta, poate avea:

a)      radacini complexe dreapta nu intersecteaza sfera;

b)      radacini reale confundate dreapta este tangenta sferei;

c)      radacini reale distincte dreapta intersecteaza sfera in doua puncte, ale caror coordonate se pot calcula, inlocuind si in expresiile de mai sus, pentru .

Se numeste putere a unui punct , fata de o sfera, , produsul segmentelor determinate de punct si sfera pe o dreapta oarecare, ce trece prin punct. Daca vectorul director al dreptei este versor, deci daca atunci :

Puterea unui punct fata de o sfera se obtine inlocuind coordonatele punctului, in membrul stang al ecuatiei sferei.

Se considera patru sfere : si , ale caror centre, luate cate trei, nu sunt coliniare.

Se numeste plan radical, a doua sfere, locul geometric al punctelor care au aceeasi putere fata de aceste doua sfere.

Scriind ca puterile sunt egale, se obtine ecuatia locului:

ecuatia planului radical.

Se numeste ax radical a trei sfere, locul geometric al punctelor care au aceeasi putere fata de aceste trei sfere.

Cele trei plane radicale ale sferelor luate cate doua, sunt concurente si oricare doua dintre ele determina axul radical:

Se numeste centru radical a patru sfere, punctul care are aceeasi putere fata de patru sfere. El este punctul de concurenta a celor patru axe radicale ale sferelor luate cate trei.

Observatie. Planul radical a doua sfere este perpendicular pe linia centrelor si in cazul sferelor secante , este planul cercului de intersectie.

4 Fascicol de sfere

Se numeste fascicol de sfere totalitatea sferelor, care trec prin cercul de intersectie a doua sfere date, si .

Ecuatia unei sfere oarecare din fascicol este:

, sau pentru , unde .

Se verifica usor ca:

a)      printr-un punct din spatiu trece o singura sfera din fascicol;

b)      centrele sferelor din fascicol sunt coliniare;

c)      fascicolul poate fi obtinut si cu ajutorul unei singure sfere si a planului radical comun sferelor fascicolului.

daca s-a notat cu si cu , adica planul radical.

PROBLEME PROPUSE

PP.1 Sa se scrie ecuatia unei sfere in urmatoarele cazuri:

a)      trece prin si are centrul in ;

b)      punctele si sunt extremitatile unui diametru;

c)      are centrul in si este tangenta planului .

PP.2 Sa se scrie ecuatia unei sfere care are centrul pe dreapta :

si care este tangenta planelor si

PP.3 Sa se scrie ecuatia sferei tangenta dreptei in punctul si planului in punctul

PP.4 Sa se scrie ecuatia planului tangent la sfera in punctele in care dreapta taie sfera.

PP.5 Sa se scrie ecuatia planelor care trec prin axa si sunt tangente la sfera

TEST DE AUTOEVALUARE

TAev.1 Sa se scrie ecuatia sferei care are centrul in si care taie pe dreapta o coarda de lungime egala cu 16.

TAev.2 Sa se scrie ecuatia sferei tangente la dreapta in si la dreapta in

TAev.3 Sa se afle centrul si raza cercului :

TAev.4 Se da sfera Sa se gaseasca ecuatiile sectiunilor facute de planele de coordonate in sfera, centrele si razele acestor sectiuni.

TAev.5 Sa se determine ecuatiile axei radicale a sferelor: