Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale

Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale

Aplicatia 1

Fie ecuatia diferentiala cu conditia initiala y(0) = 1. Sa se determine prima si a doua derivata in punctul x₀ = 0 utilizand metoda dezvoltarii in serie Taylor.

Calculam valoarea primei derivate in punctul x₀:

Rezulta:

Calculam valoarea celei de a doua derivate in punctul x₀:

Rezulta:

Aplicatia 2

Dinamica incalzirii/racirii traductoarelorde temperatura poate fi descrisa de o ecuatie de tipul:

unde: T - temperatura asociata semnalului generat de traductor;

T₁ este temperatura mediului in care este introdus traductorul

(T₁ = 90⁰C);

a - constanta de timp (a = 2).

Sa se determine valorile aproximative y₁, y₂,.y₁₀ utilizand algoritmul metodei Euler

Rescriem ecuatia sub forma:

unde. T = y, t = x, in conditia initiala: y₀ = 20 (temperatura mediului ambiant).

Aplicand algoritmul lui Euler, cu relatia generala:

se obtine:

Rezulta:

s.a.m.d.

y₃ = 81,25; y₄ = 85,625; y₅ = 87,8125; y₆ = 88,90625; y₇ =89,44312; y₈ = 89,72656; y₉ = 89,86328; y₁₀ = 89.93264.

Aplicatia 3

Sa se solutioneze ecuatia diferentiala de la aplicatia 2 cu algoritmul Runge-Kutta de ordinul patru si sa se compare cu rezultatul obtinut prin algoritmul lui Euler.

Aplicand relatiile algoritmului Runge-Kutta de ordinul patru, se obtine:

a.      pentru i = 0:

Rezulta:

b. pentru i = 1:

Rezulta:

Tabel comparativ intre metodele Euler si Runge-Kutta, raportate la valorile calculate analitic:

Obs. Comparand rezultatele obtinute prin cele doua metode, se evidentiaza urmatoarele concluzii:

-metoda Runge-Kutta este mai laborioasa insa mult mai exacta;

-metoda Euler poate fi utilizata atunci cand sunt necesare evaluari rapide, cu rezultate aproximative.