Polinomul Newton de interpolare de prima speta

Polinomul Newton de interpolare de prima speta

Fie functia pentru care se cunosc valorile: in punctele x₀, x₁,.x_n, presupuse echidistante, adica , unde h > 0 este pasul retelei.

Se cere sa se determine un polinom de grad mai mic sau egal cu n, care sa satisfaca conditiile:

i = 0,1,.n (23)

pentru aproximarea functiei f vom considera un polinom de forma:

sau, folosind puterile generalizate pentru x:

(24)

Se pune problema determinarii coeficientilor c_i.

Din relatiile 23 rezulta: (25)

Pentru x =x₀ rezulta: c₀ = y₀ .

Pentru determinarea coeficientilor c_i, consideram diferentele de ordin I ale lui P_n(x), tinand cont de relatiile

(26)

(27)

Pentru x =x₀:

Pentru determinarea coeficientului c₂ consideram diferentele finite de ordinul 2 ale lui P_n(x):

In general, pentru determinarea coeficientului c_i consideram diferentele finite de ordinul i ale lui P_n(x):

Pentru x =x₀:

Rezulta ca polinomul P_n(x) va fi:

Acest polinom se numeste polinomul de interpolare Newton cu diferente finite la dreapta, deoarece diferentele finite care apar se definesc de la x₀ la dreapta.

Alta forma a acestui polinom este:

sau pentru diferente finite la stinga:

(29)

Obs. Diferentele finite la stanga se definesc cu relatia:

sau aplicand relatia variabilei independente x:

Obs. Efectuand schimbarea de variabila , tinand cont de relatiile:

(30)

rezulta:

Rezulta ca expresia polinomului Newton nu va mai depinde de nodurile de interpolare, adica:

( 31)

sau:

(32)

sau:

(33)

Obs. Polinomul Newton cu diferente finite la dreapta se utilizeaza cand se aproximeaza functia pentru valori ale lui x apropiate de x₀ (inceputul tabelei de valori) in vreme ce polinomul lui Newton cu diferente finite la stanga 0 cand se aproximeaza functia pentru valori ale lui x apropiate de x_n (sfarsitul tabelei de valori).