Formulele lui Frenét

Formulele lui Frenét

Dependenta triedrului lui Frenét de parametrul ales pe curba

Data fiind curba si o functie , definita pe un domeniu din , derivabila de mai multe ori in toate punctele domeniului de definitie, cu exceptia unui numar finit dintre ele, putem defini curba: .

Toate punctele curbei sunt pe curba Γ. De fapt curba chiar coincide cu Γ ca multime de puncte daca multimea valorilor functiei coincide cu D. Mai ales cand functia este o bijectie a lui D pe , convenim chiar sa identificam curbele Γ si . In aceasta situatie spunem ca sunt considerate
doua parametrizari pe aceeasi curba.

Conditia ca functia t(u) sa fie bijectiva este indeplinita daca ne restrangem la un arc de curba situat in vecinatatea unui punct al curbei, astfel ca:

si in multe probleme este convenabila aceasta restrictie.

De exemplu, sa pornim de la faptul ca triedrul lui Frenét se defineste folosind, fireste, o parametrizare. Ne punem problema daca acest triedru ramane neschimbat daca se foloseste o alta parametrizare a curbei. Vom arata in continuare ca raspunsul este afirmativ.

Teorema. Fie I si doua intervale pe dreapta reala si o functie bijectiva, derivabila de mai multe ori pe intervalul si o curba pe care se considera parametrizarea:

.

Daca prima derivata a functiei este pozitiva pe (deci functia este crescatoare), atunci versorii triedrului lui Frenét definiti cu cele doua parametrizari in orice punct al curbei Γ coincid.

Demonstratie. Fie vectorii triedrului lui Frenét, definiti de parametrul t intr-un punct oarecare al curbei si:

(3.11)

vectorii triedrului lui Frenét in acelasi punct al curbei, calculati cu ajutorul parametrului u.

Avem:

, (3.12)

deci vectorii tangenti definiti de cele doua parametrizari au aceeasi directie si acelasi sens, deoarece numarul este pozitiv. Mai departe:

(3.13)

Folosind relatiile anterioare, obtinem:

de unde se vede ca, in ipoteza ca este pozitiv, vectorii binormali definiti de cele doua parametrizari au aceeasi directie si acelasi sens.

Rezulta atunci din (3.11) ca vectorii si au aceeasi directie si
acelasi sens. Q.E.D.

Observatie. Din demonstratie rezulta ca, daca este negativ, atunci versorul tangent si versorul binormala isi schimba sensul cand se trece de la o parametrizare la cealalta. In schimb, versorul normalei principale, calculat cu cele doua parametrizari, va fi acelasi.

Lungimea arcului de curba

Teorema. Fie A si B doua puncte pe curba , astfel ca:

,

unde I este un interval al multimii a numerelor reale.

Lungimea arcului curbei Γ de la punctul A la punctul B se calculeaza cu formula:

. (3.14)

Demonstratie. Fie o diviziune a intervalului , a carei norma (adica cea mai mare distanta dintre doua puncte alaturate) este notata cu δ si consideram suma:

. (3.15)

Aceasta suma este lungimea liniei poligonale care uneste punctele
,, corespunzatoare valorilor ale parametrului t. Lungimea liniei poligonale aproximeaza cu atat mai bine lungimea curbei cu cat distanta dintre puncte este mai mica. Continuitatea functiei inseamna ca norma δ a diviziunii Δ sa fie cat mai mica.

Deci lungimea curbei este limita lungimii liniei poligonale, adica a
sumei cand δ tinde catre zero.

Aplicand teorema lui Lagrange functiilor pe fiecare din intervalele , rezulta, pentru fiecare i, trei numere aflate in intervalul , astfel incat:

(3.16)

Inlocuind in (3.15), obtinem:

. (3.17)

Consideram functia reala f , definita pe cubul prin relatia:

. (3.18)

In ipotezele privind functiile , functia f este continua, iar domeniul ei de definitie fiind compact (adica o multime inchisa si marginita), rezulta ca functia f este uniform continua. Aceasta inseamna ca exista o functie reala depinzand de variabila reala pozitiva ρ, functie care tinde la zero cand ρ tinde la zero si care indeplineste conditia:

, (3.19)

pentru orice pereche de puncte din cubul considerat, aflate la distanta cel mult egala cu ρ.

Folosind notatia (3.18), suma din (3.17) poate fi descompusa in doua sume:

Prima dintre aceste sume are limita: , cand norma diviziunii tinde catre zero. Ramane sa aratam ca a doua suma tinde catre zero. Deoarece numerele se afla in intervalul , a carui lungime nu depaseste norma δ a diviziunii, rezulta ca distanta dintre punctele si este cel mult egala cu . Folosind .19), obtinem:

Q.E.D

Exemplu

Lungimea arcului de spirala

Consideram curba si A punctul de pe curba corespunzator pentru , adica punctul de intersectie al spiralei cu
axa Ox. In locul punctului B consideram punctul , corespunzator unei valori oarecare a parametrului t.

Conform formulei stabilite, lungimea arcului de curba de la punctul A la punctul este:

Rezultatul obtinut are o interpretare geometrica interesanta. Sa ne inchipuim cilindrul pe care este infasurata spirala, confectionat din hartie, si, taindu-l dupa generatoarea punctului A, sa-l asternem pe plan.

Cercul de baza se va desfasura si va deveni o dreapta perpendiculara in A pe generatoarea lui A. Pe aceasta perpendiculara se va afla si proiectia a punctului pe cercul de baza. Spirala va deveni o curba plana care uneste punctul A cu punctul .

S-a format triunghiul , dreptunghic in . Lungimile laturilor acestui triunghi sunt: . Cum este oarecare si lungimea arcului de curba plana de la A la este egala cu distanta de la punctul A la punctul , rezulta ca acea curba plana este o linie dreapta. Asadar, prin desfasurarea pe plan a cilindrului, spirala devine o linie dreapta pornind din origine.

Figura 3.3

Parametrul natural al unei curbe

Sa consideram, pe curba , punctul fixat A si punctul mobil P, astfel incat:

.

Lungimea arcului curbei Γ de la punctul fixat A la punctul mobil P depinde de valoarea lui t, deci o notam . Dupa (3.14),

, (3.20)

de unde rezulta ca derivata functiei s(t) este:

. (3.21)

Din faptul ca derivata este pozitiva (ceea ce era de asteptat, deoarece functia este strict crescatoare), rezulta ca functia este inversabila. Notam inversa ei.

Functia ne da posibilitatea sa consideram pe s ca parametru pe curba, adica sa definim curba Γ astfel:

. (3.22)

Parametrul s, care se poate considera pe orice curba, se numeste parametrul natural al curbei. El are urmatoarea interpretare geometrica: este lungimea arcului de curba de la punctul fixat A al curbei la punctul P care indeplineste conditia . De exemplu, in cazul spiralei, am gasit: .

In cazul general functia este greu de explicitat. Totusi, se pot efectua derivatele acestei functii fara a fi explicitata, lucru care va fi folosit in continuare.

Variatia versorilor triedrului lui Frenét

Fie o curba oarecare si versorii triedrului lui Frenét intr-un punct oarecare al curbei. Am stabilit ca acestia se pot calcula folosind parametrul natural s al curbei Γ, deoarece derivata este pozitiva. Preferam sa exprimam in functie de parametrul natural pentru a deduce variatia triedrului lui Frenét in raport cu deplasarea punctului pe curba.

Pe de alta parte, din (3.21) deducem ca:

adica este versor. Deoarece are directia si sensul vectorului tangent, rezulta:

. (3.23)

Egalitatea inseamna si ca functia din membrul stang este constanta in raport cu s. Ca urmare, prin derivare, obtinem:

. (3.24)

Folosind relatiile .23) si (3.24), obtinem vectorul binormala si vectorul normala principala:

adica vectorul are directia si sensul versorului normalei principale:

.

Pe de alta parte, . Am obtinut astfel formula:

, (3.25)

unde am notat: .

Relatia (3.25) este cunoscuta sub numele de prima formula a lui Frenét. Formula exprima faptul ca derivata versorului tangentei in raport cu parametrul natural al curbei are directia normalei principale. Numarul , care depinde de s, se numeste curbura curbei in punctul definit de valoarea s a parametrului natural al curbei. Inversul numarului se numeste raza de curbura a curbei in punctul respectiv.

Denumirea de curbura se justifica prin faptul ca, potrivit formulei (3.25), acest numar reprezinta «viteza de schimbare a directiei tangentei».

A doua formula a lui Frenét descrie derivata in raport cu s a versorului binormalei. Considerand ca versorii triedrului lui Frenét constituie o baza a spatiului vectorial, rezulta ca exista trei numere: a, b, c, astfel incat:

. (3.26)

Inmultind ambii membri ai acestei egalitati cu versorul binormalei si tinand seama ca cei trei versori sunt perpendiculari doi cate doi, rezulta, pe de o parte: , iar, pe de alta parte, relatiile (3.24) arata ca derivata oricarui versor este perpendiculara pe versorul respectiv. Rezulta atunci: .

Inmultind scalar ambii membri ai egalitatii (3.26) de data asta cu versorul tangentei, obtinem:

. (3.27)

Reamintim ca este versorul , adica: , de unde, folosind regula de derivare a produselor dintre functiile scalare si vectoriale, obtinem:

. (3.28)

Din cei trei termeni din partea dreapta a egalitatii (3.28), cel din mijloc este nul, iar ceilalti doi sunt perpendiculari pe vectorul . Ca urmare, inmultind scalar ambii membri ai egalitatii (3.28) cu , se obtine: , adica, conform relatiei (3.27), . Relatia (3.26) devine:

, (3.29)

in care am notat . Relatia (3.29) este cunoscuta sub numele de a doua formula a lui Frenét. Ca si prima formula, aceasta exprima faptul ca si derivata versorului binormalei in raport cu parametrul natural al curbei are directia normalei principale.

Scalarul , care depinde de s, se numeste torsiunea curbei in punctul pentru care valoarea parametrului natural este s. Denumirea de «torsiune» se explica prin faptul ca, potrivit formulei (3.29), marimea sa, care este marimea vectorului , reprezinta viteza de schimbare a planului osculator in raport cu deplasarea punctului pe curba. Ne inchipuim ca schimbarea planului osculator la o deplasare mica a punctului presupune o «rasucire» a curbei.

Tinand seama ca , din relatiile (3.25) si (3.29) se obtine a treia formula a lui Frenét:

. (3.30)

Calculul curburii si torsiunii

Din prima formula a lui Frenét rezulta . Dar este util sa scriem expresia curburii sub o alta forma, tinand seama ca vectorul este derivata versorului si deci este perpendicular pe acest vector. Rezulta ca:

. (3.31)

Deoarece , din (3.31) rezulta ca .

Pentru calculul torsiunii folosim a doua formula a lui Frenét, (3.29), pe care o inmultim scalar in ambii membri cu versorul :

In produsul scalar de mai sus, primul factor este suma a trei termeni, din care cel din mijloc este nul, iar primul termen este perpendicular pe al doilea factor. Ramane numai al treilea termen. Tinand seama ca , obtinem:

. (3.32)

Formulele (3.31) si (3.32) permit calcularea curburii si torsiunii folosind parametrul natural s. In continuare, din aceste formule vom obtine altele, pentru calculul curburii si torsiunii, care sa foloseasca parametrul t. In acest scop vom folosi regulile de derivare a functiilor compuse:

Inlocuind in formula (3.31), obtinem:

,

de unde, tinand seama ca , rezulta:

. (3.33)

Inlocuind acum in (3.32), se obtine:

.

Factorul din mijloc contine doi termeni, din care al doilea poate fi eliminat deoarece este coliniar cu primul factor. Apoi, din cei trei termeni ai celui de-al treilea factor, ultimii doi pot fi eliminati deoarece al doilea termen este coliniar cu al doilea factor al produsului mixt, iar al treilea termen este coliniar cu primul factor al produsului mixt. Ca urmare,

.

Tinand seama de formula (3.33) si de faptul ca , se obtine:

.