Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale

Rezolvarea numerica a ecuatiilor diferentiale si a sistemelor de ecuatii diferentiale

Ecuatiile diferentiale cum sunt de exemplu cele de ordinul intai

sau ) (1)

pot fi folosite ca model matematic pentru o varietate mare de fenomene.

Fie ecuatia diferentiala

(2)

cu conditia initiala:

(3)

Problema gasirii functiei y = y(x), care sa verifice ecuatia (2) se numeste problema lui Cauchy sau problema cu conditii initiale.

Obs 1. Considerand o ecuatie de ordin n,de forma generala:

(4)

exista mai multe functi y(x) care satisfac aceasta ecuatie.

Determinarea solutiei unice se face cu ajutorul informatiilor suplimentare, cunoscute sub numele de conditii la limita; pentru determinarea solutiei unice sunt necesare n astfel de conditii.

Obs. 2. Considerandu-se ecuatia diferentiala de ordinul doi:

(5)

pentru care se introduc notatiile: si y₂ = y, devine:

(6)

Introducand notatiile vectoriale, sistemul poate fi pus sub forma:

unde ; (7)

Ecuatia (7) este similara cu ecuatia (1). Datorita acestui fapt, algoritmii utilizati pentru rezolvarea numerica a unei ecuatii diferentiale sunt aplicabili si la solutionarea sistemelor de ecuatii diferentiale.

Pentru rezolvarea ecuatiilor si a sistemelor se apeleaza la "metodele aproximative", care sunt de doua tipuri:

a.metode analitice, care dau aproximarea solutiei sub forma unor expresii analitice;

b.metode numerice, in cadrul carora solutia se obtine sub foma unui sir de valori, plecand de la o valoare initiala a solutiei.

Dintre metodele analitice amintim: metoda aproximatiilor succesive si metoda determinarii solutiei sub forma unei serii de puteri.

Metodele numerice pot fi: cu pasi separati (monopas) sau cu pasi legati (multipas).

Rezolvarea numerica a problemei cu conditii initiale consta in determinarea unui numar de puncte y₁, y_n care aproximeaza valorile adevarate y(x₁),.y(x_n) ale curbei y = y(x), curba care trece prin punctul initial (x₀, y₀).

Se considera pasul de integrare h = x_i+1-x_i.

La metodele cu pasi separati este necesar, pentru calculul ordonatei (aproximantei) y_i+1, cunoasterea punctului anterior (x_i, y_i) si marimea pasului de integrare.

Foarte mult se apeleaza la dezvoltarea in serie Taylor a functiei y = y(x) in jurul unui punct:

(8)

La metodele cu pasi legati se utilizeaza relatia:

(9)

unde integrala se aproximeaza printr-un polinom de interpolare.

Exemple de metode numerice:

-cu pasi separati: metoda dezvoltarii in serie Taylor, metoda Euler, metoda generala Runge-Kutta;

-cu pasi legati: Adams-Multon, Adams-Basforth.

1.Metoda dezvoltarii in serie Taylor

Fie ecuatia diferentiala cu conditia initiala y(x₀) = y₀.

Ne propunem sa gasim o aproximanta pe care o notam cu y₁, a valorii reale y(x₁) de pe curba integrala y = y(x).

Daca admitem ca functia y(x) este dezvoltabila in serie Taylor in jurul lui x₀, atunci:

(10)

sau pentru x = x₁ si h = x₁-x₀ :

Pentru determinarea valorii y(x₁) trebuie sa determinam valorile , h fiind constant.

Din conditia initiala avem:

y(x₀) = y₀.

Folosind ecuatia diferentiala data se poate calcula.

(12)

In continuare:

Rezulta:

(13)

s.a.m.d.

Din cauza derivarilor, pe masura ce avansam, calculele se complica. De aceea, se retine din dezvoltarea (10) numai un mic numar de termeni, ceea ce conduce la obtinerea unei valori aproximative y₁ in locul valorii reale y(x₁). Odata determinata aproximanta y₁ se poate calcula, prin acelasi procedeu, y₂, s.a.m.d.

In final, se obtine un tabel de valori in care, in afara de y₀, celelalte valori vor fi aproximative.

2.Metoda lui Euler (metoda liniilor poligonale)

Consideram dezvoltarea in serie Taylor:

(14)

Retinand primii doi termeni ai dezvoltarii:

, ceea ce revine, din punct de vedere geometric la a inlocui curba y =y(x) cu tangenta ei in punctul (x₀,y₀).

Continuand rationamentul se obtine algoritmul metodei Euler pentru generarea valorilor aproximative: plecand de la valoarea initiala cunoscuta y₀:

h = x_i+1-x_i (i = 0,1..,n). (16)

Din punct de vedere geometric, metoda consta in a inlocui curba y = y(x), solutia ecuatiei diferentiale cu conditia initiala cunoscuta, prin linia poligonala M₀M₁; M₁M₂; .M_iM_i+1, unde punctele sunt:

M₀(x₀,y₀); M₁(x₁,y₁);. M_i(x_i,y_i);.

Observam ca numai M₀ coincide cu punctul analog de pe curb{ iar segmentul M₀M₁ este tangent la curba.

3.Metoda generala Runge-Kutta

Fie ecuatia diferentiala cu conditia initiala y(x₀) = y₀. Retinerea unui numar mare de termeni din dezvoltarea (10) este mult prea laborioasa pentru a ne conduce la un calcul usor, cu o aproximare buna (din cauza derivarilor). Pentru a inlatura acest neajuns, construim o functie de h, de o anumita forma, usor de calculat, odata ce se cunoaste f(x, y). Apoi vom pune conditia ca dezvoltarea in serie a solutiei exacte y(x₁) = y(x₀+h) pana la o putere cat mai mare a lui h, independent de functia f(x, y).

Ar fi indicat ca expresia lui y₁, aproximanta lui y(x₁) sa nu contina derivate.

Fie y₁ de forma:

(17)

unde: r este un numar intreg;

p_rj - constante ce trebuie determinate;

k_j - anumite valori ale functiei f(x,y) in punctele vecine punctului (x₀,y₀), valori inmultite, apoi, cu h, de forma:

unde: j = 2,.,r sunt constante. (18)

Valorile initiale sunt:

Rezulta:

In functie de valorile pe care le ia numarul intreg r se determina mai multe formule de tip Runge-Kutta.

Pentru r = 1:

care este algoritmul general al metodei Euler.

Pentru r = 2:

Din relatiile(17 si (18), dupa dezvoltare, rezulta:

(20)

Considerand dezvoltarea in serie Taylor a lui y(x₁) in jurul lui x₀:

(21)

Exprimand aceasta relatie cu ajutorul lui f(x,y) si a derivatelor sale in (x₀,y₀), rezulta:

(22)

unde:

Dezvoltand aceasta relatie dupa puterile lui h:

(23)

Punem conditia ca cele doua dezvoltari sa coincida pana la termenul al treilea (cel care-l contine pa h²) independent fata de f(x,y). Rezulta sistemul de trei ecuatii liniare cu patru necunoscute:

(24)

Solutia sistemului nu este unica. Din conditia ca poate rezulta solutia: (25)

si se obtine:

(26)

sau, inlocuind pe k₁ si k₂:

(27)

Fiind cunoscuta y₁ se poate determina y₂:

(28)

Relatia generala este:

(29)

sau, scris ca formulele lui Runge-Kutta de ordinul doi:

(30)

Pentru r = 3 se obtin formulele lui Runge-Kutta de ordinul trei:

(31)

Pentru r = 4 se obtin formulele lui Runge-Kutta de ordinul patru:

(32)