Matricea Exponentiala

Matricea    Exponentiala

11.1 Prezentare generala:

Matricea exponentiala este un mijloc puternic de a reprezenta solutia la n liniare, coeficienta constanta a ecuatiilor diferentiale. Problema initiala a valorii pentru un astfel de sistem poate fi scris: x (t) = Ax (t)

x (0) = x

unde A este n-cu-n matrice de coeficienti. Prin analogie cu 1-de-1 caz, am putea astepta x (t) = eAtu (11.1) sa detina. Asteptarile noastre sunt acordate in mod corespunzator daca vom avea eAt. Ai putea vedea de ce, pur si simplu exponentiala la fiecare element de ce u va fi suficient? Exista cel putin 4 distincte (dar desigur echivalente) abordari pentru a definii    in mod corespunzator eAt. Primele doua analogii sunt naturale ale singur caz variabila in timp ce acesta din urma doua faca uz de mai grele algebra matrice utilaje.

Matricea exponentiala ca o limita de puteri (sectiunea 11.2) 2. Matricea exponentiala ca o suma de puteri (sectiunea 11.3)
3. Matricea exponentiala prin intermediul Transformarea Laplace (Sectiunea 11.4)
4. Matricea exponentiala prin intermediul Eigenvalues si vectorii proprii (sectiunea 11.5)

Va rugam sa vizitati fiecare din aceste module pentru a vedea    definitiile noastre si o serie de exemple. Pentru o aplicare concreta a acestor metode la un adevarat sistem dinamic, va rugam sa vizitati Modulul Mass-Primavara -Damper

(sectiunea 11.6).Indiferent de abordare, matricea exponentiala poate fi afisata sa se supuna celor 3 proprietati.

d/dt=eAt= AeAt = eAtA

2. eA(t1+t2) = eAt1eAt2

3. eAt este nesingular si (eAt)-1 = e-(At)

Sa ne confirmati fiecare dintre acestea cu privire la suita de exemple folosita in submodule.

Exemplul 11.1

Daca atunci

1.

2.

3.

Exemplul 11.2

Daca atunci

1. si

Veti recunoaste aceasta declaratie ca o identitate trig de baza

Utilizarea de expansiune cofactor gasim

Exemplul 11.3:

Daca

Atunci

Matricea exponentiala ca o limita de puteri:

Va amintiti de calcul faptul ca pentru orice numere a si t se poate realiza e ^At prin intermediul e^at lim_k->( at/k)^k   

Definitia naturala a matricei este, prin urmare e^At lim_k->(I + At/k)^k    (11.3) in cazul in care I este n-cu- n matrice de identitate.

Exemplul 11.4

Cel mai simplu caz este cazul diagonala, de exemplu,.. De atunci... si asa mai departe (amintind (11.2) de mai sus).... Retineti ca acest lucru NU este exponentiala a fiecarui element de A.

Exemplul 11.5

Ca un exemplu concret sa presupunem...de la....

Am discerne un model: polinoame chiar si elementele de pe diagonala sunt egale, in timp ce elementele de pe diagonale sunt egale, dar opuse polinoamelor ciudate. Gradul polinomului va creste cu k si in limita ne ''recunoastem '.

Exemplul 11.6

Daca ... atunci... pentru fiecare valoare a lui k si asa mai departe

Matrice exponentiala ca o suma de puteri

Va amintiti de calcul faptul ca pentru orice numere a si    t se poate realiza e^At prin intermediul ... (11.4)

Definitia naturala a matricei este, prin urmare, este .. 11.5) unde A^o=I este n-cu-n matrice de identitate.

Exemplul 11.7

Cel mai simplu caz este cazul diagonala, de exemplu... de atunci..... si asa mai departe (amintind (11.4) de mai sus)... Retineti ca acest lucru NU este exponentiala a fiecarui element de A.

Exemplul 11.8

Ca un al doilea exemplu sa presupunem... Noi recunoastem ca ii ciclu de puteri, si anume,.....si asa mai departe....

Exemplul 11.9

Daca..atunci..si asa mai departe.

Matricea exponnetiala , prin intermediul transformarii Laplace:

Va amintiti de la modulul transformarii Laplace, care poate realize e^At prin intermediul 11.6). Matricea naturala de noastere este, prin urmare....(11.7) in cazul in care I este n-cu-n matrice de identitate.

Exemplul 11.10

Cel mai simplu caz este cazul diagonala, de exemplu.... de atunci.... si asa mai departe (amintind (11.6) de mai sus)....

Exemplul 11.11

Ca un al doilea exemplu sa presupunem.... si se poate calcula, in Matlab,

Exemplul 11.12

Daca ..atunci....

Matricea exponentiala prin intermediul valorii proprii si vectorii proprii:

In acest modul vom exploata faptul ca matricea exponentiala a unei matrice diagonale este matricea diagonala a unui element exponential. In scopul de a exploata aceasta trebuie sa ne amintim ca toate matricele sunt aproape diagonalizable. Sa incepem cu cazul curata: daca A este n-cu-n si are valori proprii distincte n si vectorii proprii liniar, prin urmare, s_j, apoi notam faptul ca.... poate fi scris...(11.8) unde... este matricea plin de vectorii proprii si .....

e ... este matricea diagonala de valori proprii. Un motiv bun pentru scrierea lui A    ca in (11.8) este ca.... si, in general..

Daca vom plug acest lucru in definitia de la Matricea Exponnetiala ca o suma de puteri (sectiunea 11.3), vom gasi..unde...este pur si simplu...

Sa ne exercitam acest lucru din suita noastre standard de exemple.

Exemplul 11.13

Daca..atunci....si asa mai departe.. Acest lucru a fost prea usor!

Exemplul 11.14

Ca un al doilea exemplu sa presupunem... si se calculeaza in Matlab..

Exemplul 11.15

Daca.... apoi matlab ofera...

Deci, zero este o valoare proprie dublu, dar cu un vector propriu.. Prin urmare s nu este inversabila si nu putem invoca ((11.8)). Generalizarea a ecuatiei ((11.8)) este adesea numit forma canonica a lui Jordan sau Reprezentarea Spectrala(sectiunea 9.4). Acesta din urma citeste...unde sunt valori proprii distincte ale    lui A in timp ce, in termeni de dizolvant.... este asociat eigen-proiectie si de..... este asociat eigen-nilpotent. In fiecare caz,