Moduri de definire a unei functii

Moduri de definire a unei functii.

Dupa cum am vazut in capitolul introductiv, indiferent de modul in care este definita o functie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizeaza: domeniul de definitie, codomeniul si legea de corespondenta.

Exista in principal doua moduri fundamentale de definire a functiilor: sintetic si respectiv analitic.

In cele ce urmeaza voi exemplifica cele doua moduri de definire in sens general dar si particular pentru functiile elementare studiate.

a. Functii definite sintetic corespund acelor functii f : A B pentru care se indica fiecarui element x din A elementul y = f (x) din B sau altfel spus corespondenta este precizata "element cu element"

Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu sageti, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou.

Acest mod de a defini o functie se utilizeaza cand A=domeniul de definitie este o multime finita.

Exemplu: Fie f :  definita prin f (1) = a f (2) = b, f (3) = c.

In diagrama cu sageti sunt reprezentate multimile prin diagrame, iar legea de corespondenta prin sageti. Faptul ca fiecarui element x din A ii corespunde un unic

element y = f (x) din B inseamna pentru diagrama cu sageti ca din fiecare element din A pleaca o singura sageata.

Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenta    inseamna ca intr-un astfel de element pot ajunge una, mai multe sageti sau chiar niciuna.

Un contraexemplu de lege de corespondenta ce nu reprezinta o functie (ci doar o relatie) este reprezentat in diagrama de mai jos:

Elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu porneste nici o sageata inspre un element din B.

Contraexemplul de mai sus specifica o alta situatie in care elementului 2 A nu-i corespunde nici un element din B sau din 2 nu porneste nici o sageata inspre un element din B si elementului 1 A ii corespund doua elemente din B, f(1)=a si f(1)=b.

Aceleasi functii definite la exemplele de mai sus le putem descrie si utilizand tabelele de valori, acestea fiind formate din doua linii, in prima linie se trec elementele multimii pe care este definita functia (domeniul de definitie al functiei) iar pe linia a doua valorile functiei in aceste elemente.

Definitie: Prin multimea f(A) = intelegem imaginea multimii A prin intermediul functiei f aceasta notandu-se si Imf, aceasta fiind o submultime a codomeniului nu neaparat egala ca multime cu codomeniul.

Exemplu: In functia f :  definita cu ajutorul tabelului de valori de mai jos.

Atunci Imf = =  B.

Exemplu: Functia f :  definita prin f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 4, f(4) = 2 poate fi reprezentata sub forma unui tablou unde in prima linie avem domeniul de definitie iar in linia a doua sunt valorile functiei in punctele domeniului (3 este valoarea lui f in x = 1, 1 este valoarea lui f in x = 2, etc.). O astfel de functie se numeste permutare de gradul patru. O astfel de reprezentare este f=

Observatie. Nu putem defini sintetic o functie al carui domeniu de definitie are o infinitate de elemente.

b. Functii definite analitic. Functiile f : A B (unde A,B )definite cu ajutorul unei (sau a unor) formule, sau a unor proprietati sunt functii definite analitic. Corespondenta f leaga intre ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa y = f(x).

Exemplu:

1) Fie functia f : R  R, f(x) = x²+1. Aceasta functie asociaza fiecarui numar real x numarul x²+1.

2x - 1, daca x este par

2) Functia f : Z  Z, f(x)=

2x + 1, daca x este impar,

este exemplu de functie definita prin doua formule.

Functiile definite prin mai multe formule se numesc functii multiforme.

Observatie. In cazul functiilor multiforme, fiecare formula este valabila pe o anumita submultime a lui A si deci doua formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia si aceluiasi element.

Cea mai frecventa reprezentare a unei functii in matematica este printr-o formula. In acest caz, elementele domeniului de definitie si ale domeniului valorilor nu pot fi decat numere sau "obiecte matematice" pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunzatoare. De exemplu: y = f(x) = 4x - 2. f: R R.

Observatie: Cand asupra domeniului de definitie nu s-au facut ipoteze speciale, se considera ca facand parte din acesta toate numerele reale, carora din formula respectiva li se pune in corespondenta o anumita valoare.

De exemplu in cazul functiei y = 4x - 2, domeniul de definitie este alcatuit din multimea numerelor reale.

Definitie. Fie f : A  B, g : C  D doua functii; f, g sunt functii egale (notand f = g) daca: A = C (functiile au acelasi domeniu de definitie)

B = D (functiile au acelasi codomeniu)

f(x) = g(x), x  A (punctual, functiile coincid).

Definitie. Fie f : A  B. Se numeste imaginea reciproca a unei parti B' a lui B, notata f ^-1 (B'), submultimea lui A formata din acele elemente ale caror imagini prin f apartin lui B'. Deci, f^-1(B') = .

Exemplu: Se considera functia f :  definita prin diagrama cu

sageti. In acest caz, f^-1() = , deoarece f(0) = 1; f^-1() = pentru ca f(-1) = f(1)

= 2; f^-1() = , deoarece f(-1) = 2, f(0) = 1, f(1) = 2.