Utilizarea dezvoltarii in serie Taylor la derivarea numerica

Utilizarea dezvoltarii in serie Taylor la derivarea numerica

Presupunand ca pasul diviziunii este h iar functia este cunoscuta in punctele x₀, x₁,.x_n, se poate folosi formula Taylor cu rest sub forma Lagrange, pentru exprimarea valorilor functiei f(x) in punctele x_i-1, si x_i+1:

₍₁₉₎

unde , respectiv,

Prin scaderea si, respectiv, insumarea celor doua dezvoltari, rezulta expresiile derivatelor si

₍₂₀₎

daca, pentru aproximarea derivatelor se folosesc formulele:

₍₂₁₎

atunci erorile acestor aproximari admit evaluarile:

, i=1,2,.,n-1. (22)

S-a presupus ca , pentru .

Formulele de mai sus sunt exprimate cu ajutorul a trei puncte x_i-1, x_i, x_i+1, centrate fata de x_i. O precizie mai buna se poate obtine prin utilizarea a patru sau cinci puncte consecutive. Daca punctele folosite se afla la dreapta lui x_i se obtin formulele progresive, in vreme ce, daca punctele sunt situate la stanga lui x_i se obtin formulele centrate de aproximare.

In continuare sunt date relatiile aproximative pentru primele trei derivate:

I.Prima derivata

a.formule progresive:

1.in doua puncte: ; (23)

2.in trei puncte: ; (24)

3.in patru puncte: ; (25)

b.formule regresive:

1.in doua puncte: ; (26)

2.in trei puncte: ; (27)

3.in patru puncte: ; (28)

c.formule centrate:

1.in doua puncte: ; (29)

2.in trei puncte: ; (30)

3.in patru puncte: ; (31)

II.A doua derivata

a.formule progresive:

1.in trei puncte: ; (32)

2.in patru puncte: ; (33)

b.formule regresive:

1.in trei puncte: ; (34)

2.in patru puncte: ; (35)

c.formule centrate:

1.in trei puncte: ; (36)

2.in patru puncte: (37)