![]() | Biologie | Chimie | Didactica | Fizica | Geografie | Informatica |
Istorie | Literatura | Matematica | Psihologie |
ELEMENTE DE COMBINATORICA
Definitie:O multime impreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale este o multime ordonata.
Fie A o multime (finita) cu n elemente
Permutari Definitie: numarul de multimi ordonate care se formeaza cu cele n elemente ale multimii A se numesc ,,permutari de n '' nN notate cu Pn.
()n1 Pn=n! unde n! =123 . . . .n
Observatie: 1!=1 si convenim 0!=1
Aranjamente de n elemente luate cate k sunt numarul de submultimi ordonate ale multimii de n elemente, fiecare avand cate k elemente;0kn, n,k numere naturale
=n(n-1)(n-2) . . . .(n-k+1)
Combinari
de n elemente luate cate k sunt
numarul de submultimi ale multimii de n elemente, fiecare avand
cate k elemente; 0kn, n,k numere naturale.
Proprietati:
Formula combinarilor complementare: ,0kn
Formula de recurenta: cu 0kn
BINOMUL LUI
Fie a si b
numere (a+b)n= se nume]te formula binomului lui
(a-b)n=
Coeficientii
se numesc coeficienti binomiali.
Pentru
ca
coeficientii binomiali din
dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii
sunt egali intre ei.
{n
dezvoltarea (a+b)n termenul de rang k+1 notat Tk+1= iar in dezvoltarea (a-b)n
avem Tk+1=
Se poate stabili si o relatie de recurenta intre termenii consecutivi ai dezvoltarii
Exercitii rezolvate:
1)Sa se
afle nN daca
Rezolvare:C.E.
Ecuatia se
scrie:
n2-25=0
deci n=5
C.E. xN x0
Ecuatia
devine deducem dupa simplificarile de
rigoare
care conduce la solutia x=16
3)Sa se
afle n daca
4)Solutia
ecuatiei este a)16; b)17; c)18; d)19; e)20;
5)Sa se
rezolve sistemul Rezolvare:Conditiile x,yN*
; y-30;
xy-2; xy-3;
deci
Sistemul devineGasim solutia x=12
]i y=7
6)Sa se
rezolve sistemul:
7)Precizati termenul din dezvoltarea:care il contine pe x4
a)b)
c)
d)
e)
Rezolvare: Tk+1=
Din conditia
k=3 si termenul T3+1 deci
T4 =
sau T4=
Observatie: pentru ecuatia obtinuta in necunoscuta k se impunea conditia pentru k sa fie numar natural ]i k13.Deci raspunsul corect este e)
8)Sa se
determine termenul din dezvoltarea binomului in care nu apare x.Rezolvare:nu apare x
apare x0 deci Tk+1=
deci
unde kN si k 21.Rezulta
k=6 si termenul cerut este T7=
Exercitii propuse:
1)Sa se
afle rangul termenului din dezvoltarea binomului care il contine pe x7.
2)Termenul care
nu-l contine pe x din dezvoltareaeste:
a)-20; b)-10; c)10 d)20 e)15
3)Termenul din
dezvoltarea binomiala care il contine pe y2,
este:
a)T3 b)T4 c)T7
4)Sa se
determine x ]tiind ca al treilea termen al dezvoltarii este egal cu 360.000
5)Diferenta
dintre coeficientul binomial al celui de al treilea termen ]i coeficientul
binomial al celui de al doilea termen al dezvoltarii este 27. Pentru ce valori ale lui x,
termenul de rang doi este 900?
6)Se considera
dezvoltarea
a)sa se determine n pentru care coeficientii termenilor 1,2,3 ai dezvoltarii, formeaza o progresie aritmetica;
b)pentru n=8 sa se gaseasca termenii dezvoltarii astfel incat puterea lui y sa fie numar natural.
7){n dezvoltarea
, suma coeficientilor binomiali de
rang par este egala cu 128.Sa se gaseasca termenul care il
contine pe a3.
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate